高等数学教案

第一章 函数与极限 §1.1 映射与函数 1.直积或笛卡儿乘积: 设A，B是任意两个集合， A?B?{(x , y)x?A且y?B}. 2.两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形区域. 例如 .

3.点a是数轴上一点，??0，点a的?邻域:

(a?? , a??)

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[a , b]?[c , d]?{(x , y)x?[a , b] , y?或 {xa???x?a??} 或 {xx?a??} 记为U(a , ?).

4.点a的去心?邻域:

(a?? , a)?(a , a??)

或

{xa???x?a或a?x?a??} 或 {x0?x?a??} 记为U(a , ?). 5.点a的左?邻域: (a?? , a).

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?6.点a的右?邻域: (a , a??).

7.函数是实数集到实数集的映射f.单值函数是指对于定义域Df内的任何实数x，在值域

Rf中有唯一的实数y与之对

应，记作

y?f(x)， x?Df， 其中x称为自变量，y称为因变量.

8.函数的自然定义域: 通常

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指使得函数算式有意义的一切实数组成的集合. 9.绝对值函数:

?x , x?0 ,x?? ??x , x?0 .10.符号函数:

? 1 , x?0,?sgn(x)?? 0 , x?0,

??1 , x?0.?11.取整函数: ?x??n , n?x?n?1 (n?0 , ?1 , ?2 , ? ).

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其中?x? 表示不超过x的最大整数. 例如?3.2??3，??3.2???4，?3??3，?0.5??0.

?x?0③.解: 令，得 P4?212?1?x?0?1?x?0或0?x?1，

即定义域为

[?1 , 0)?(0 , 1]. 练习1.求函数的定义域.

1 . f(x)?lnx?3 -----高等数学教案 第一章 函数与极限 第5页 共94页-----

?x?3??1 , ?x?2 , 解: 令??x?3?0 , 得??x?3 ,??x?3?1 ,??x?4 ,定义域为

D?(?? , 2)?(2 , 3)?(3 , 4)?(4 , ??).

练习2.求函数的定义域.

y?cosx2.

解: 令cosx2?0，得

0?x2??22k???2?2?x?2k??2，

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即

或 即定义域为

???x??x?

22??或?2k???x??2k??

22或

??2k???x?2k??

22(k?1 , 2 , ?)}.

12.函数的有界性: 设f(x)的定义域为D，数集X?D. ①.如果存在数K1，使得

f(x)?K1，

对任一x?X都成立，则称f(x) -----高等数学教案 第一章 函数与极限 第7页 共94页-----

在X上有上界，而K1为f(x)在X上的一个上界.

②.如果存在数K2，使得

f(x)?K2，

对任一x?X都成立，则称f(x)在X上有下界，K2为f(x)在X上的一个下界.

③.如果存在正数M，使得

f(x)?M，

对任一x?X都成立，则称f(x)在X上有界.

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④.如果对于任何正数M，总存在x0?X，使得

f(x0)?M，

则称f(x)在X上无界.

13.函数的单调性: 设f(x)的定义域为D，区间I?D. ①.如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1?x2时，恒有

f(x1)?f(x2)，

则称f(x)在区间I上是单调增加的.

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②.如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1?x2时，恒有

f(x1)?f(x2)，

则称f(x)在区间I上是单调减少的.

14.函数的奇偶性: 设函数f(x)的定义域D关于原点对称，

①.如果对于任一x?D，

f(?x)??f(x)

恒成立，则称f(x)为奇函数. ②.如果对于任一x?D，

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f(?x)?f(x)

恒成立，则称f(x)为偶函数.

15.函数y?f(x)的定义域为

Df，值域为Rf，如果f是一一

映射，则f存在逆映射f:

?1Rf?Df，即对于任意y?Rf，

有唯一的x?Df，使得f(x)?y，称f为f的反函数，记作

?1x?f(y)， y?Rf.

?1 16.设函数y?f(u)的定义域为Df，值域为Rf; 函数u?g(x) -----高等数学教案 第一章 函数与极限 第11页 共94页-----

的定义域为Dg，值域为Rg，且

Rg?Df，则由下式确定的函数

y?f[g(x)] ，x?Dg，

称为由u?g(x)与y?f(u)构成

的复合函数. x自变量，u中间变量，y因变量.

x2y?e④.解： . P1422 y?e?e?1，y?e?e?e. 17.基本初等函数:

?①.幂函数y?x （?为实

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x2102x2212数）.

②.指数函数xy?a (a?0 , a?1) ，特例

y?ex.

③.对数函y?logax (a?0 , a?1)，y?logex?lnx. ④三角函数

y?sinx ，y?cosx，y?tanx，y?cotx，y?secx，y?cscx .

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数特例 ⑤反三角函数

y?arcsinx，y?arccosx ， y?arctanx， y?arccotx . 18.初等函数: 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数. 19.双曲函数

e?e①双曲正弦shx?. 2x?xe?e②双曲余弦chx?. 2x?x -----高等数学教案 第一章 函数与极限 第14页 共94页-----

shxe?e?x?x. ③双曲正切thx?chxe?ex?x§1.2 数列的极限

1.如果按照某一法则，对每

?个n?N，对应着一个确定的数xn，这些实数xn按照下标n从小到大排列得到的一个序列 x1 , x2 , ? , xn , ? 叫做数列，简记为数列?xn?，数列中的每一个数叫做数列的项，第n项xn叫做数列的一般项.

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