概率统计练习册习题解答（定）

习题1-1 样本空间与随机事件

1．选择题

（1）设A,B,C为三个事件，则“A,B,C中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ） （A）ABACBC （B）ABC （C）ABCABCABC （D）ABC

（2）设三个元件的寿命分别为T1,T2,T3，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t”可表示为（ D ）

A ?T1?T2?T3?t? B ?TT12T3?t? C min?T1,T2,T3??t D max?T1,T2,T3??t 2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间?与随机事件A：

（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件A表示“点数之和大于10”。

????，4，5，?,18 ；A＝11,12,?,18。 解：?＝3（2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A表示“射击次数不超过5次”。

????1，2，3，??；A＝?1，2，3，4，5?。 解：?＝?（3）车工生产精密轴干，其长度的规格限是15±0.3。现抽查一轴干测量其长度，事件A表示测量

长度与规格的误差不超过0.1。 解：?＝?x;x-15?0.3? ；A＝?x;x-15?0.1? 。

3．设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件： （1） （2） （3） （4） （5）

A，B，C都发生：解： ABC； A，B，C都不发生：解：ABC ABC（或A－B－C）；

A发生，B与C不发生：解：A，B，C中至少有一个发生：解：A?B?C A，B，C中不多于两个发生：解：A?B?C； 4．设某工人连续生产了4个零件，Ai表示他生产的第i个零件是正品（i?1,2,3,4），试用Ai表示

下列各事件：

（1）只有一个是次品； （2）至少有一个次品；

A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4 A1?A2?A3?A4 （3）恰好有两个是次品；

A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4 （4）至多有三个不是次品；A1?A2?A3?A4 。 习题1-2 随机事件的概率及计算

1．填空题

（1）已知A?B，P(A)?0.4，P(B)?0.6，则

P(A)? 0.6，P(AB)? 0.4，

P(A?B)? 0.6，P(AB)? 0.2 ，P(AB)? 0 ，P(AB)? 0.4。

（2）设事件A与B互不相容，P(A)?0.4,P(B)?0.3，则P(AB)= 0.3 ，P(AB)= 0.6 。

（3）盒子中有10个球，其中3个红球，接连不放回抽取五次，第一次抽到红球的概率 0.3 ，第三次抽到红球的概率 0.3 。

（4）一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中任取3件产品，其中恰有1件次品的概率为

12C5C453C50=0.2526。 （5）某寝室住有6名学生，至少有两个同学的生日恰好在同一个月的概率为

6C126!13431???0.7772。 17281262．选择题

（1）如果A与B互不相容，则（C ）

(A) AB?? (B) A?B (C ) AB?? (D) AB??

（2）设A、B是任意两事件，则P(A?B)?（ B、C ）。

(A) P(A)?P(B) (B) P(A)?P(B)?P(AB) (C) P(A)?P(AB) (D) P(A)?P(B)?P(AB) （3）如果P(AB)?0，则（ C ）

(A) A与B互不相容 (B) A与B互不相容

(C) P(A?B)?P(A) (D) P(A?B)?P(A)?P(B)

（4）设10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则在前3个购买者中恰有一人中

奖的概率为( D )

32(A) C10?0.7?0.3 (B) 0.3 (C) 7/40 (D) 21/40

(5) 两个事件A与B是对立事件的充要条件是（ C ）

（A） P(AB)?P(A)P(B) （B）P(AB)?0且P(A?B)?1 （C） AB??且A?B?? （D）AB??

3．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率； （3）5只中至多有一只坏的概率。

5C37p1?5C40=0.6624 解：（1）3C37C32p2?5C40（2）=0.0354 415C37C3?C37p3?5C40（3）=0.963 4．向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余两个军火库的

概率各为0.1。只要炸中一个另外两个必然爆炸，求军火库发生爆炸的概率。 解：设A,B,C分别表示击中第一、二、三个军火库爆炸，D表示军火库爆炸， 易知事件A,B,C互不相容，且P(A)?0.025，P(B)?P(C)?0.1 则P(D)?P(A)?P(B)?P(C)?0.025?0.1?0.1?0.225

5．两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两艘轮船停靠泊位的时间分别为1个小时和2个小时。求有一艘轮船停靠泊位时需要等待的概率。

解：设x,y分别为甲、乙船到达时刻，甲停靠时间为1小时，乙停靠时间为2小时，0?x,y?24 设A?“一艘轮船停靠泊位时需要等待”，则A发生当且仅当 0?y?x?1，0?x?y?2

P(A)?1?22?22?23?23139??0.1206597 24?24?21152习题1-3 条件概率

1．选择题：

（1）设A，B为两个相互对立事件，且P(A)?0，P(B)?0，则( C )。

（A）P(BA)?0 （B）P(AB)?P(A) （C）P(AB)?0 （D）P(AB)?P(A)P(B) （2）已知P(A)?0.3，P(B)?0.5，P(AB)?0.15，则( ＡＢＣＤ )。

（A）P(BA)?P(B) （B）P(BA)?P(B) （C）P(AB)?P(A) （D）P(AB)?P(A) （3）设P(A)?0.8，P(B)?0.7，P(AB)?0.8，则下列结论正确的是（ Ｃ ）。

（A）B?A； （B）P(A?B)?P(A)?P(B)； （C）事件A与事件B相互独立； （D） 事件A与事件B对立。

（4）设0?P(A)?1，0?P(B)?1，P(AB)?P(AB)?1，则（ Ｄ ）。

（A） 事件A与B互不相容； （B）事件A与B对立； （C） 事件A与B不相互独立； （D）事件A与B相互独立。

（5）一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为p，第二道工序的废品率为q，则该

零件加工的成品率为（ Ｃ ）

（A） 1?p?q （B）1?pq （C）1?p?q?pq （D）(1?p)?(1?q) （6）对于任意两个事件A和B，以下结论正确的是（ Ｂ ）。

（A）若AB??,则A,B一定独立。 （B）若AB??,则A,B有可能独立。 （C）若AB??,则A,B一定独立。 （D）若AB??,则A,B一定不独立。 2．填空题:

(1) 设事件A，B相互独立且互不相容，则min(P(A),P(B)) =__０_.

(2) 已知P(A)?0.5,P(A?B)?0.6,若A、B互不相容，则P(B)? ０.１ ；若A、B相互独立，则P(B)? ０.２ . (3) 已知P(A)?0.5，P(B)?0.6，P(BA)?0.8，P(AB)=___０.３__. (4) 某人独立射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多击中一次的概率为_0.104_.

(5) 对同一目标进行三次独立射击，第一次、第二次、第三次射击的命中率分别为0.4，0.5，0.7。则三次射击中恰好有一次击中目标的概率__0.36___。

3．在10只晶体管中有7只正品，3只次品。现不放回的抽取两次，每次一只，求下列事件的概率。（1）两只都是正品；（2）至少有一只次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二只是次品；（5）第二次才是次品。 解：设

Ai表示第i次取出次品，则

767768?? （2）P(A1?A2)?1?P(A1A2)?1??? 109151091573377（3）P(A1A2?A1A2)????? 1091091532733（4）P(A2)?P(A1A2?A1A2)????? 10910910737??（5）P(A1A2)? 10930（1）P(A1A2)?4．已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱任取3件放入乙箱，然后再从乙箱中任取一件产品，求该产品为次品的概率。 解 设A?“从乙箱中取出的是次品”， 由全概率公式 Bi?2“从甲箱中取出的三件中恰有i个次品”i?0,1,.3

P(A)?P(0B)P(A|0B?)P1(B)P(AB)1|?2?B3)P(AB3)P(B)P(2AP|(B 31123C3C32C30C32C31C331?3????????3336666CCCC4. 6666 5．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次

品被误认为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解 设A?“任取一产品，经检查是合格品”， B?“任取一产品确是合格品”，

?B A则 A?BAB) P(A)?P(B)P(A|?P(B)P(A |B)?0.9?8 ?0.96P(B|A)?所求概率为0.?040.?05，0

P(B)P(A|B)0.96?0.98??0.998P(A)0.9428. 6．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求：

（1）顾客买下该箱的概率?；

（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率?.

2 解 设A?“顾客买下该箱”，B?“箱中恰有i件残次品”，i?0,1,，

（1）

??P(A)?P(B0)P(A|B0)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)

44C19C18?0.8?0.1?4?0.1?4?0.94C20C20 ； ??P(B0|A)? （2）P(AB0)0.8??0.85P(A)0.94. 7．为防止意外，在矿内同时安装了两种报警系统A与B，每种报警系统都使用时，对系统A其有效的概率是0.92，对系统B其有效的概率为0.93，在A失效的条件下，B有效的概率为0.85.求：（1）发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率；（2）B失灵的条件下，A有效的概率。 解：设A?“报警系统A有效”，B?“报警系统B有效” 则 （1）P(A?B)?1?P(AB)?1?P(A)P(BA)?1?0.08?0.15?0.988 （2）因为：P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?0.92?0.93?0.988?0.862

P(AB)?P(AB)P(A)?P(AB)0.058???0.829P(B)1?P(B)0.07 8．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，求该射手的命中率. 解 设该射手的命中率为p，由题意

8011?1?(1?p)4(1?p)4?1?p?8181，3 ，p?所以 23.

习题2-1 随机变量及其分布函数

1．试说明下列函数能否为某随机变量的分布函数.

??0,??F1(x)??sinx,??1,??解：

?0,?0?x?, F2(x)??ln(1?x)2,??1?x?x?.2x?0,?x?0,x?0.

F1(x)是；

F2(x)不是，因为

F2(??)?0?1.

x??1,x??1,?1?x?1,x?1.

?0,??1,?2．设随机变量X的分布函数为F(x)??4?ax?b,???1,且P(X?1)?1，试求：（1）常数a,b的值；（2）P(?2?X?1)。 2x?(?1)?解：(1) 由于又

F(?1)?limF(x)1?lim(ax?b)?b?a，即4x?(?1)?. 1?P(X?1)?F(1)?F(1?0)?1?lim(ax?b)?1?a?bx?1?2. 1a?,8由上两式知b?38. 12. P(?2?X?1)?F(1?0)?F(?2)?lim(ax?b)?a?b?(2) x?1?习题2-2 离散型随机变量

1． 填空题

(1) 设随机变量X的分布律为:P?X?k??a, k?1,2,?，N，试确定a?___1______。 N(2) 一批产品共100个，其中有10个次品，从中放回取5次，每次取一个，以X表示任意取出的产品中的次品数，则X的分布为 B(5,0. 1 ) 。

(3) 某射手对一目标进行射击，直至击中为止，如果每次射击命中率都是p，以X

k?1P(X?k)?(1?p)p,k?1,2,?. 。 表示射击的次数，则X的分布律为 2. 将编号为1,2,3,4的四个球随机地放入3个不同的盒子中，每个盒子所放球的个数不限，以X表示放球最多的盒子中球的个数，试求X的分布列及其分布函数F(x).

1212131C3C4?2?C3C42C3C4?28C31P(X?2)??P(X?3)??P(X?4)??444解：33；327；3??0,x?2,?2?,2?x?3,F(x)??3??23?827?2627,3?x?4,???2?3?827?127?1,x?4.

3． 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布,试问

(1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？ (2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？ 解：设一周内发生交通事故的次数为X，则X~P?0.3?。

P?X?2??0.32e?0.3?0（1） 2!.0333。 P(X?1)?1?P(X?0)?1?0.30e?0.3?1?e?0.3（2） 0!?0.259。

4．某人购买某种彩票，若已知中奖的概率为0.001，现购买2000张彩票，试求：（1）概率；（2）至少有3张彩票中奖的概率（用泊松分布近似计算）。

解：设中奖的彩票数为X，则XB(2000,0.001).

（1）

P(X?1)?1?P(X?0)?1?(0.999)2000?0.8648. （2）由于2000?0.001?2，故

P(X?3)?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2) ?1?(202122?0!?1!?2!)e2?1?5e?2?0.3233.

习题2-3连续型随机变量

1. 设连续型随机变量X的密度函数为

?ax2,0?x?1,f(x)???2?x,1?x?2, ??0,其他.试求：（1）常数a的值；（2）随机变量X的分布函数；（3）P(12?X?32)。 27. 此人中奖的 解：（1）由于1??????f(x)dx??axdx??(2?x)dx?01122a13?a?32. 故2. （2）当x?0时，F(x)?0；

当0?x?1时，F(x)??x0321tdt?x322； 当1?x?2时，F(x)??x321tdt??(2?t)dt?2x?x2?10212； 1 当x?2时，F(x)?1. 故，

?0,??1x3,?F(x)??2??1x2?2x?1,?2?1,?x?0,0?x?1,1?x?2x?2. 13321313P(?X?)??x2dx??(2?x)dx?1221216. （3）2?A(1?e?x)，x?02. 设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??,

0，x?0?试求：（1）系数A；（2）X的密度函数；（3）P(1?X?3)。 解：（1）由F(??)?1知，

1?limF(x)?limA(1?e?x)?Ax???x???。

?e?x,x?0;f(x)?F?(x)???0,x?0. （2）

?3?1?1?3P(1?X?3)?F(3)?F(1)?1?e?1?e?e?e （3）。

????3. 设K在(0，5)内服从均匀分布, 求方程4x2?4Kx?K?2?0有实根的概率。

解：所求的概率为：

P(16K2?16?K?2??0)?P?K?2或K??1??P?K?2??P?K??1???5213dx?0?.55 4. 某种型号的电子管寿命X (以小时计)具有以下概率密度

?1000?2，x?1000f(x)? ， ?x??0，其他现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）, 任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500

小时的概率是多少？

P(X?1500)?解： 从而所求概率为

510002dx??1500x23??。 ?1?1?C???3?05?C152?1???3?3?4?1?1135。

5. 设连续型随机变量X~N，（1）求P?2?X?5?（2）确定常数C使（3，4）,PX?2；

??P?X?C??P?X?C?。

?5?3??2?3?P(2?X?5)??????????(1)??(?0.5)?2??2???(1)??1???0.5???0.5328解：（1） P?X?2??1?P?X?2??1?P??2?X?2???2?3???2?3???1?????????????0.5??1???2.5??0.697722?????? （2）由于P?X?c??P?X?c?，从而，P?X?c??12。 ??0??故1?c?3?c?3?P?X?c??????02?2?。所以，2,故c?3。 6．设连续型随机变量XE(?)，证明：对一切实数s?0，t?0有

P(X?s?t|X?t)?P(X?s)。

证明：由于XE(?)，从而其分布函数为

x?0,??0,F(x)????x??1?e,x?0.

故，对一切实数s?0，t?0，

P(X?s?t|X?t)?P(X?s?t,X?t)P(X?s?t)?P(X?t)P(X?t) 1?P(X?s?t)1?F(s?t)e??(s?t)?????t1?P(X?t)1?F(t)e ?e??s?1?F(s)?P(X?s)。

习题2-4 二维随机变量及其分布

1．一箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件。现从中随机抽取一件，

记

?1,若抽到一等品,?1，若抽到二等品,X1?? X2??

其他.其他.?0,?0，试求(X1,X2)的联合分布列。

解：

P?X1?1,X2?1??0;P?X1?1,P?X1?0,P?X1?0,X2?0??P?X1?1??80?0.8;10010X2?1??P?X2?1???0.1;10010X2?0???0.1。1002．设随机变量ZU(?2,2)，随机变量

???1,X????1,Z??1,Z??1; Y?????1,??1,Z?1,Z?1.

试求(X,Y)的联合分布列。

解：由ZU(?2,2)知其密度函数为?1?,?2?z?2,f(z)??4?0,其他.??1 P(X??1,Y??1)?P(Z??1,Z?1)?P(Z??1)??P(X??1,Y?1)?P(Z??1,Z?1)?0；

?211dz?44； P(X?1,Y??1)?P(Z??1,Z?1)?P(?1?Z?1)??P(X?1,Y?1)?P(Z??1,Z?1)?P(Z?1)??3. 完成下列表格

Y X 211dz??142； 1111dz?44。 y1 0.1 0.2 0.3 y2 0.1 0.2 0.3 y3 0.2 0.2 0.4 pi. 0.4 0.6 1 x1 x2 p.j

4．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为：

?x2?cxy,f(x,y)???00?x?1,0?y?2其他，

求：（1）常数c；（2）P{X?Y?1}；（3）X和Y的边缘密度函数。

解：（1）1???10?12?0?x?cxy?dydx?3?c,c?3 22??1?x?217??P?X?Y?1????x?xydy?dx????0??0372????1。 求X的边缘密度函数： 当

fX?x??x?0或x?1时，

?f?x,y?dy。 fX?x??0；

???? 当0?x?1时，求Y的边缘密度函数：

fX?x???202?21?2?x?xy?dy?2x?x33。 ??f?x,y?dx。当

fY?y??1?????y?0或y?2时，fY?y??0；

当0?y?2时，fY?y??11?21?x?xydx??y??0?336。 ??5. 设(X,Y)服从G?{(x,y)|0?x?2,0?y?1}上的均匀分布，求：

（1）(X,Y)的联合概率密度函数；（2）P{Y?X}；（3）X和Y的边缘密度函数。 解：（1）由（X，Y）服从G上的均匀分布知，（X，Y）的联合密度为：

2?1?,f?x,y???2??0,PY?X（2）0?x?2其他。2,0?y?1; ????204?x21?dy?dx???3。 ?02?（3）先求X的边缘密度： 当

fX?x??时

，

?????f?x,y?dy；

。 当

x?0或x?2fX?x??00?x?2时，

fX?x???1011dy?22。 fY 再求Y的边缘密度函数：

?y???????f?x,y?dx

当

y?0或y?1时，fY?y??0；当0?y?1时，fY?y???201dx?12。 习题2-5 条件分布及随机变量的独立性

1．设二维离散型随机变量(X,Y)只取 (0,0),(?1,1),(?1,2) 及 (2,0) 四对值，相应概率依次为

1115, , , ，试判断随机变量X与Y是否相互独立。 126312

1P(X?0)?,12解：由于P?X?0, 而所以，X与Y不独立。

151P?Y?0????,12122 11?P?X?0?P?Y?0??,1224 Y?0??2. 设随机变量X与Y相互独立，试完成下表：

Y X x1 x2 y1 1/24 1/8 1/6 y2 1/8 3/8 1/2 y3 1/12 1/4 1/3 pi. 1/4 3/4 p.j

1 3．设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为

??1,0?x?1,0?y?2x,f(x,y)??

0,其他.??试判定X与Y是否相互独立。 解：

fX(x)??????f(x,y)dy.

；当0?x?1时，

当x?0或x?1时，

fX(x)?0.

fX(x)??1dy?2x02x.

fY(y)??????f(x,y)dx当y?0或y?2时，fY(y)?0；当0?y?1时，fY(y)??1dx?1?y21y2. 由于当(x,y)?{0?x?1,0?y?2x}时，

f(x,y)?fX(x)?fY(y)，

且区域{0?x?1,0?y?2x}的面积不为0，所以，X与Y不相互独立.

4. 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为

?cxy20?x?1,0?y?1f(x,y)??，

其他?0求常数c，并判断X与Y是否相互独立。

1?解：??????????f?x,y?dxdy?1c2??cxydydx?,???0??0?6从而，c1?6。 求X的边缘密度：当

fX?x???????f?x,y?dy。

x?0或x?1时，fX?x??0；

当0?x?1时，

fX?x??fY?106xy2dy?2x??。

求Y的边缘密度函数： 当

?y?????1f?x,y?dx。

y?0或y?1时，fY?y??0；

fY?y??0?y?1时，当

由于对任x，y，有

?06xy2dx?3y2。

f?x,y??fX?x?fY?y?。所以，X与Y相互独立。

1??e?y/2,fY(y)??2??0,y?0y?025．设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0,1）内服从均匀分布，Y的概率密度为

．

（1）求X与Y的联合概率密度；（2）设关于a的二次方程为 a?2Xa?Y?0，求此方程有实根的概率。

解：由X~U(0，1)知X的密度为：

?1,?fX(x)?0,=

0?x?1;其他.

由X与Y独立知，(X,Y)的一个联合密度为：

y?1?2?e,x(f)Yy(?)?2?0,?f(x,y)?fX0?x?1,y?其他.0; 方程有实跟的概率为：

22P(4X?4Y?0)?P(X?Y?0)? ?(?01x20x1?21?edy)dx?1?e2dx?02 y2?1?2?(? 112???e?x22dx??012???e?x22dx)?1?2?(?(1)??(0)0.482??)1?7。 习题2-6 随机变量函数的分布

1．设随机变量X的分布列为

X pk -2 1/6 2-1 1/3 0 1/6 1 1/3 试求：(1)Y?2X?1，(2)Z?X的分布列。

解：

Y?2X?1 ?5 pk ?3 13 ?1 14 1 Z?X2 pk 0 1 4 16 16 15 16 23 2．设随机变量XU(0,1)，试求Y?eX的密度函数。

解：由X??1,0?x?1,f(x)??x?U(0,1)知其密度函数为?0,其他.设Y?eX，函数y?g(x)?e. 则

??min{g(??),g(??)}?0，??max{g(??),g(??)}???.所以，当y?(0,??)时，fY(y)?f(lny)111?f(lny)fY(y)?yy.从而，当0?lny?1，即1?y?e时，y。 ?1?x?0, 0?x?2,试求Y?X2的密度函数fY(y)。

?1?2,??13．设连续型随机变量X的密度函数为 f(x)??,?4?0,??解：先求Y的分布函数

其他.FY(y)，在对其求导数.

FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y).

y当y?0时，FY(y)?0，故fY(y)?0；当y?0时，0yFY(y)?P(?y?X?y)??y?f(x)dx. ?y??1，即0?y?1时，当?y??1且当1FY(y)??dx?2?y?013dx?y4401?3fY(y)?FY?(y)?y28，故，； y?2，即1?y?4时，1FY(y)??dx?2?1y?0111dx??y424，故，1?1fY(y)?FY?(y)?y28； 当

?y??1且y?2，即4?y时，FY(y)?1，故fY(y)?0. 4. 设随机变量X与Y相互独立，且X，Y的概率分布分别为

X 0 1 Y 1 2 p 1 43 4p 2 53 5试求随机变量??X?Y及??XY的各自概率分布列。

解：P(??1)?P(X?Y?1)?P(X?0,Y?1)?P(X?0)P(Y?1) P(??2)?P(X?Y?2)?P(X?0,Y??110， 2?)PX(?1,Y ?369???P(X?1)PY(?20202，0 ?P(X?0)P(Y?2)?P(??3)?PX(?Y? 3?)PX(?Y1,?0Y,??P2)X?(PY1?)?(1)?PX(?0Y,?

92)20， ?P(X? P(??0)?P(XY?0)?P(X?0)P(Y?1)?P(X?0P)Y(? 22?)2031??20，4 31)10， 92)20。 P(??1)?PXY(? 1?)PX(?Y1,??P1)X?(PY1?)?(P(??2)?PXY(? 5．设随机变量X解：由X2?)PX(?Y1,??P2)X?(PY1?)?(U(0,1)，YE(1)且X与Y相互独立，试求Z?X?Y的密度函数。

U(0,1)，YExp(1)知，X与Y的密度函数分别为

y?0,y?0.

?y?1,0?x?1,?e??,fX(x)??fY(y)?????0,其他. 及 ?0,又由X与Y相互独立知(X,Y)的一个联合密度函数为

?y??e,f(x,y)????0,0?x?1,y?0,其他.

f(z)设Z?X?Y的密度函数为Z. 由于X与Y相互独立，从而

fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx.

?0?x?1,?fX(x)fY(z?x)z?x?0. 所以，当z?0时，fZ(z)?0由，不等于零的区域知?；

当0?z?1时，所以，

fZ(z)??1e0z?(z?x)dx?1?e?z；当z?1时，

fZ(z)??1e?(z?x)dx?e?z(e?1)01.

?1?e?z,0?z?1,??fZ(z)??e?z(e?1),z?1,?z?0.??0,

习题3-1 数学期望

1．填空题

（1）设二维随机变量(X,Y)（2）设随机变量XN(10,2,1,1,0)，则E(?2XY?Y?5)? 33 。 U(0,6)，若Z?2X?3Y?3，则E(Z)? -8 。 P(2)，Y2．设X的分布列为：

X P 1 1 2 211111 366124-1 0 2求（1）E(X)；（2）E(?X?1)；（3）E(X)。

111111(1)E(X)?(?1)????1??2??3261243， 解：(2)E(?X?1)??E(X)?1?23， 1111135(3)E(X2)?(?1)2??()2??12??22??32612424。 3．把4个球随机地放入4个盒子中去，设X表示空盒子的个数，求E(X)。

2112112C4(C2C4?C4)84C4C3C42!1444!24P(X?1)??P(X?2)??P(X?0)?4?444256，256，44256，解： 3C44P(X?3)?4?256。 4 E(X)?1?故14484432481?2??3???25625625625664。 4．设连续型随机变量X的密度函数为

0?x?1?x,?f(x)??2?x,1?x?2，

?0,其他?求（1）EX，（2）E|X?EX|。

解：

E(X)??????xf(x)dx??xxdx??x(2?x)dx?101??12，

E(X?EX)??

??x?1f(x)dx??0(1?x)xdx??1(x?1)(2?x)dx?1213。 5．设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列为

Y X 0 1 0 0.3 0.2 1 0.4 0.1 求：（1）E(X),E(Y)；（2）E(X?2Y),E(3XY)。

解：（1） X pk 0 0.5 1 0.5 E(X)?0. 5

Y pk 0 0.7 1 0.3 E(Y)?0. 3(2) E(X?2Y)?1?0.4?(?2)?0.2?(?1)?0.1??0.1，

?3E(XY?) E(3XY)?3?10.?1。

6．设(X,Y)服从在A上的均匀分布，其中A为x轴、y轴及直线x?y?1?0所围成的区域，求（1）E(X); （2）E(?3X?2Y) ;（3）E(XY)。 解：由题意知(X,Y)的联合密度为：

?2f(x,y)???0??(x,y?)A其他0

0（1）E(X)?????????xf(x,y)dxdy??(??1?x?12xdy)dx??13。 （2）E(?3X?2Y)??3E(X)?2E(Y)?1?2E(Y)

?1?2??????????yf(x,y)dxdy

?1?2?(??1??00?1?y2ydx)dy?13。 xy2dy)dx（3）E(XY)?????????xyf(x,y)dxdy=?0?1(?0?1?x1=12。

习题3-2 方差

1. 填空题

（1）设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1~U(0,6)，X2~N(0,4)，X3服从参数为3的泊松分布，记Y?X1?2X2?3X3，则D(Y)? 46 。

2（2）已知X~U(?2,2)，Y?2X?1，则E(Y)?___113_____，D(Y)?__25645_______。

（3）设X的概率密度为f(x)?1?e?x，则D(X)＝ 0.5 。

2（4）设二维随机变量(X,Y)分布为____N(5,5)______。

则D(?2X?Y?5)?N(1,2,1,1,0)，___5_____，Z??2X?Y2. 设随机变量X?1,X?2,?E(1)，随机变量Y??0.5,X?2,求E(Y)及D(Y)。

???1,X?2.?2解：

P(Y?1)?P(X?2)??e?xdx?e?220，P(Y?0.5)?P(X?2)?0， .

P(Y??1)?P(X?2)??e?xdx?1?e?2?2?2?22?2?2E(Y)?1?e?(?1)?(1?e)?2e?1E(Y)?1?e?1?(1?e)?1， 故，，

D(Y)?E(Y2)?(E(Y))2?4e?2?4e?4。

3. 设连续型随机变量X的分布函数为

0,x??1??21?F(x)??arctanx?,?1?x?1，

2??1,x?1??求（1）X的密度函数；（2）E(X),D(X)。

?21?f(x)???1?x2???0解：(1)由f(x)?F(x)知 E(X)????1?1?x?1其他 （2）????12x24x22E(X)?xf(x)dx?dx??1xf(x)dx??dx?0?????1?1?x2?1?1?x2?，，2D(X)?E(X2)?(E(X))2?

4．设随机变量X4??1。 P(?)且E[(X?1)(X?2)]?1，随机变量Y1B(8,)且X与Y相互独立，试

2求E(X?3Y?4)及D(X?3Y?4)。 解：由XP(?)知E(X)??，D(X)??. 所以，E(X2)?D(X)?(E(X))2????2. 又

1?E[(X?1)(X?2)]?E(X2)?3E(X)?2??2?2??2，E(X)?1，D(X)?1. 故??1. 所以，

Y由于1B(8,)2，故E(Y)?4，D(Y)?2. 所以， E(X?3Y?4)?E(X)?3E(Y)?4??15.

由于X与Y相互独立，故D(X?3Y?4)?D(X)?9D(Y)?19。

?12y2,0?y?x?15．设(X,Y)的概率密度为f(x,y)??,试求D(X)及D(Y)。

其它?0,E(X)??2??解： ???????xf(x,y)dxdy??(?x12y2dy)dx?0021x1x45, 23, E(X)???????????xf(x,y)dxdy??(?x212y2dy)dx?00D(X)?E(X2)?(E(X))2? ????275, 1x E(Y)???????yf(x,y)dxdy??(?y12y2dy)dx?001x35, 25, E(Y2)???????????2y2f(x,y)dxdy??(?y212ydy)dx?0023212D(Y)?E(Y)?(E(Y2)?)?(?)5525 。

6. 设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为

的方差。

1的正态分布，求随机变量X?Y2X解：由于N(0,1),Y2N(0,1)2且X与Y独立，故 Z?X?YN(0,1)

z22 从而

E(Z)??2????z?(z)dz?2???0z?(z)dz?2????0ze?dz??z222?， )? E(Z)??????z2?(z)dz?2?2??0z2?(z)dz????2??0zd(e??2??0e?z22dz?1。从而 D(Z)?E(Z)?(EZ)2?

??2?。 习题3-3 协方差与相关系数

习题3-4 其他特征数

1．填空题 （1）设随机变量XP(2)，YU(0,6)且?XY?1，若Z?2则D(Z)?___23____。 X?3Y?3，6（2）设(X,Y)服从二维正态分布，则cov(X,Y)??是X与Y相互独立的 充要 条件。 （3）设(X,Y)服从二元正态分布N(0,1,1,4,0.5)，则E(2X?XY?3)?___4_____。 2. 选择题

（1）设X与Y的相关系数?XY?0，则必有 C 。 (A)X与Y相互独立； (B)X与Y不一定相关； (C)X与Y必不相关； (D)X与Y必相关

（2）设随机变量X与Y的期望和方差存在，且D(X?Y)?DX?DY,，则下列说法哪个是不正

确的 D 。

(A)D(X?Y)?DX?DY； (B)E(XY)?EX?EY； (C)X与Y不相关； (D)X与Y独立

2YX3. 已知二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为 ?101?1011/81/81/8， 1/801/81/81/81/8（1）求协方差cov(X,Y)及相关系数?XY；（2）X与Y是否相互独立？是否不相关？ 解：X及Y的边缘分布列为： X pk ?1 0 1

Y pk ?1 0 1 38 3 8 2 8 38 3 8 28 1111(1)E(X)?0,E(Y)?0,E(XY)?1??1??1??1??08888。 故Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0。所以，?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)?0。 P(X??1,Y??1)?(2)由于19?P(X??1)P(Y??1)?864 所以X与Y不独立。但?XY?0,故X与Y不相关。

4．设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为

2?0?y?x,?3x?2xy,0?x?1，f(x,y)??

0,其他.??试求：（1）相关系数?XY；（2）X与Y是否相互独立？是否不相关？

解：（1）E(X)??110??x014x(3x?2xy)dydx?E(Y)??05，2???x0y(3x2?2xy)dydx??1330， E(X2)??0??x0x2(3x2?2xy)dydx??12E(Y2)??03，??x0y2(3x2?2xy)dydx??14， D(X)?E(X2)?(E(X))2?1214D(Y)?E(Y2)?(E(Y))2?75，225。 E(XY)??0??x0xy(3x2?2xy)dydx??1313Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?36，900， ?XY?Cov(X,Y)13?21168D(X)D(Y)。 （2）由于

?XY?0，所以，X与Y相关. 从而，X与Y不相互独立.

?0,若Y?k(k?1,2)

?1,若Y〉k5．假设随机变量Y服从参数??1的指数分布，随机变量 Xk?? 求（1）(X1,X2)的联合分布列；（2）cov(X1,X2)。

解：由Y

?1?e?yF(y)??E(1)知其分布函数为：?0y?0y?0。

(1)P?X1?0,X2?0??P?Y?1,Y?2??P?Y?1??F?1??1?e?1P?X1?0,X2?1??P?Y?1,Y?2??0

P?X1?1,X2?0??P?Y?1,Y?2??P?1?Y?2??F?2??F?1??e?1?e?2

P?X1?1,X2?1??P?Y?1,Y?2??P?Y?2??1?P?Y?2??1?F?2??e?2?2?X1和X2的分布列为:

X1

pk 故

0 1 X2pk 0 1 1?e?1 ?1e 1?e?2 ?2e E?X1??e?1,E?X2??e?2，

E?X1X2??e?2。 故

。

Cov?X1,X2??E?X1X2??E?X1?E?X2??e?2?e?3

习题4 大数定律与中心极限定理

1. 用切比雪夫不等式估计下列各题的概率：

（1）废品率为0.03，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率。

（2）200个新生婴儿中，男孩多于80个且少于120个的概率（假定生男孩和生女孩的概率均为0.5）。

解 （1）设X表示1000个产品中废品的个数，则X~B(1000,0.03)， 所以 E(X)?np?1000?0.03?30, D(X)?np(1?p)?29.1 所求概率 P(20?X?40)?P(?10?X?30?10)?P(|X?30|?10) 在切比雪夫不等式

P(|X?E(X)|??)?1? 中取??10，就有

D(X)?2 P(20?X?40)?1? 29.1?0.709102。 1X~B(200,)2。 （2）设X表示200个新生婴儿中男孩的个数，则所以 E(X)?np?200?0.5?100, D(X)?np(1?p)?50 所求概率 P(80?X?120)?P(|X?100|?20) 在切比雪夫不等式

P(|X?E(X)|??)?1? 中取??20，就有

D(X)?2 P(80?X?120)?P(|X?100|?20)?1? 50?0.875220。

2. 已知正常成人男性血液中每毫升含白细胞数的平均值是7300个，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计血液中每毫升血液中细胞数在5200~9400之间的概率。

解 以X表示每毫升含白细胞数，由题设

2E(X)?7300,D(X)?700

而概率

P(5200?X?9400)?P(?2100?X?7300?2100)?P(|X?7300|?2100)

在切比雪夫不等式

中，取??2100，此时 1?D(X)?2?1?7002/21002?8/9，知 P(|X?7300|?2100)?8/9?0.8889。

3. 某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15个单位。问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产。

解 设X表示同时开动机床的台数，则X~B(200, 0.7)

E(X)?np?200?0.7?140, D(X)?np(1?p)?200?0.7?0.3?42 又设同时开动台数不超过N的概率为95%。由中心极限定理

P(X?N)?P( X?npN?140N?140?)??()np(1?p)4242 ?(由题意要求 N?140)?0.9542 N?140?1.64542查表得 得N?150.67，取N?151，应供电能151?15?2265个单位才能满足要求。

4. 在人寿保险公司里有10000个同一年龄的人参加人寿保险。在这一年中，这些人的死亡率为0.6%，参加保险的人在一年的头一天交付保险费12元，死亡时，家属可以从保险公司领取1000元。求

(1)保险公司一年中获利不少于4000元的概率； (2)保险公司亏本的概率。

解 设X表示一年中10000个同龄参保人中死亡的人数，则X~B(10000,0.006)，由题意，保险公司的收益为10000?12?120000元，支出为1000X。由中心极限定理

（1）保险公司一年中获利不少于40000元的概率为 P(120000?1000X?40000)?P(X?80)

?P(X?npnp(1?p)?80?6059.64)??(2.59)?0.9952 （2）保险公司亏本的概率为

P(1000X?120000)?P(X?120)

?1?P( X?npnp(1?p)?120?6059.64)?1??(7.77)?0 可见保险公司一般不会亏本。

5. 设随机变量X1,X2,?,X48相互独立且都在[0，1]上服从均匀分布。令

1481X?Xi，试用中心极限定理计算P(X??0.04)的值。 ?48i?12解 因为

Xi~U(0,1),i?1,2,?48,所以

从而

E(Xi)?11, D(Xi)?212 1111, D(X)???22481224 E(X)? 于是

????1X?E(X)0.04?P(|X?|?0.04)?P?||??21?D(X)??224? ? ?2?(0.96)?1?2?0.8315?1?0.6630。

习题5—1 数理统计的基本概念

习题5—2 统计量和抽样分布

1.填空题

（1）．设随机变量X与Y相互独立且X～N(?,?)，Y～?(n)，则Z?22X??n～t(n)。 Y?　)，而X1,X2,?,X15是来自总体X的简单随机样本，则随机（2）设总体X服从正态分布N(0,12X12???X10变量Y?~F(10,5)分布。 222(X11???X15)（3）设U~?(n1),V~?(n2)，且U，V相互独立，则F?2.选择题

（1）F0.05(7,9)?（ B ）。 （A）F0.95(9,7) （B）

222V/n2~F(n2,n1)。 U/n1111 （C） （D）

F0.95(9,7)F0.05(7,9)F0.05(9,7)12（2）设总体X～N(?,?)，其中?已知，?未知，X,X2,X3是从中抽取的简单随机样本，下

列各项中不是统计量的是（ A ）。

1222X?3?max(X,X,X) （B） （C） （D）(X?X?X)(X1?X2?X3) 11231232?31（3）设随机变量X~t(n)(n?1),Y?2，则（ D ）。

X（A）

(A) Y~?(n) (B) Y~?(n?1) (C) Y~F(n,1) (D) Y~F(1,n) 3．设某种电灯泡的寿命X服从指数分布E(?)，从中抽取100只灯泡，求这一简单随机样本

221X1,X2,,X100的联合概率密度函数。

解：

f(x1,x2,,x100)??f(xi)??ei?1100100???xii?1100

其中

xi?0,i?1,2,,100

4.抽取10只辽宁绒山羊产绒量（单位：g）：450,450,500,500,500,550,550,600,600,650,试利用计算器计算其样本均值、样本方差和标准差。

140x?xi??40i?1解：样本均值 535 140s?(xi?x)2??39i?1样本方差 4472.222 2140s?(xi?x)2??39i?1样本标准差66.875 5.设X1,X2,,X5是独立且服从相同分布N(0,1)的随机变量，

222(1)试给出常数c，使得c?(X1?X2)服从?分布，并指出它的自由度；

(2)试给出常数d，使得d?X1?X2X3?X4?X5222服从t分布，并指出它的自由度.

解：（1）因为

X12?X22?2(2)，所以c?1，自由度为2。

（2）因为X1?X22X32?X42?X523t(3)d?，所以32，自由度为3. 6.附加题

设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，记

Yi?Xi?X,i?1,2,?,n.（2005年数学三）

求：（I） Yi的方差D(Yi),i?1,2,,n；

（II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).

2. 某厂生产一批金属材料，其抗弯强度服从正态分布，现从这批金属材料中抽取11个测试件，测得它们的抗弯强度为（单位：kg）：

42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.9 43.7 试求抗弯强度标准差?的置信度为0.90的置信区间。 解： x?43.445s?对于

0.，72 22?0.05(10)?18.3072?0.95(10)?3.941???0.90??0.1

??所以? 的置信区间为 ： ??n-1n-1s,s22?0.05(10)?0.95(10)??=[0.53，1.15]. 3. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱，分别在两条流水线上抽取样本：X1,X2,???,X12 及

2Y1,Y2,???,Y17，算出X?10.6(g),Y?9.5(g),S12?2.4,S2?4.7，假设这两条流水线上灌装的番22茄酱的重量都服从正态分布，且相互独立，其均值分别为?1,?2,（1）设两总体方差?1??2，

求?1??2置信水平为95％的置信区间；（2）求?1/?2的置信水平为95％的置信区间。

22X~N(?,?)Y~N(?,?11，22) 解： 总体

22???12（1）未知，?1??2的置信度为0.95 的置信区间为

22?1111?X?Y?t(n?n?2)S?,X?Y?t(n?n?2)S??/212w?/212w??nnnn1212? ?对于

1???0.95??0.05查表t0.025(27)?2.0518

Sw?计算2(n1?1)s12?(n2?1)s2n1?n2?2y,?， x?10.69. 5故?1??2的置信度为0.95 的置信区间为[-0.401，2.601].

(2) ?1，?2 未知

S12/?12F?22~F(n1?1,n2?1)S2/?2 22?/?12所以的置信度为1-?的置信区间为

22??S12/S2S12/S2,?F(n?1,n?1)F???/2121??/2(n1?1,n2?1)? 对于1???0.95??0.05

查表F0.025(11,16)?2.94,F0.975(11,16)?s12?2.4,2s2?4.711?F0.025(16,11)3.28 又

?12.42.4??,3.28??2.944.7?224.7?/???=[0.128，1.283]. 12故可得的0.95的置信区间为：

习题 6-3 非正态总体均值的置信区间 习题 6-4 单侧置信限

1. 假定每次试验时，事件A发生的概率p未知。若在60次独立试验中，A发生15次。求概率p的置信度为0.95的置信区间。 解： 设随机变量

?0,X???1,

若A不发生,若A发生.

则X服从“0-1”分布，概率函数为

P(X?x)?px(1?p)1?x,x?0,1

其中p为未知参数，是事件A发生的概率. 我们有E(X)?p,D(X)?p(1?p)/n 对于给定? ，由中心极限定理有

?P?? ?由不等式

??u?2???1-?p(1-p)/n? X-pX-pp(1-p)/n得

?u?2 2n(X-p)2?p(1-p)u?/2 将上式写成

2ap?bp?c?0

其中

2a?n?u?/2,2b??(2nX?u?/2),c?nX2 注意到xi?0,1(i?1,2,?,n)，从而0?x?1，于是有 24b2?4ac?4nx(1?x)u?/2?u?/2?02ap?bp?c的两个实根为 设二次三项式

?b?b2?4ac?1?p,2a?b?b2?4ac?2?p2a 则参数p的置信度为1-? 的置信区间为[p1,p2].

??16015n?60,x?xi??0.25?60i?160据题意， 对于1-?=0.95 , ?=0.05查附表3得：代入分别计算出a，b ，c 由此得

u?/2?1.96

?1?0.1404,p?2?0.3596p

故这批产品的次品率p的置信度为0.90的置信区间为[0.0264，0.0758].

2. 从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取10个样品进行磨损试验， 直至轮胎磨损到破坏为止，测得

它们的行驶路程（Km）如下： 41250 41010 42650 38970 40200 42550 43500 40400 41870 39800 设汽车轮胎行驶路程服从正态分布N(?,?)，求： （1）

2?的置信度为95%的单侧置信下限；

2（2） ?的置信度为95%的单侧置信上限。 解： x?41215s?（1）方差?未知，对于

21419. 7281???0.95??0.05查表t0.05(9)?1.833

所以参数 ? 的置信度为0.95 的单侧置信下限为

?l?x-t?(n?1)?s1419.728?41215?1.833??40394n10 1???0.95（2） ? 未知，对于

??0.052查表?0.95(9)?3.325

所以参数 ? 的置信度为0.95 的单侧置信上限为

?u??

(n?1)s29??1419.728?23422?1??(n?1)3.325 习题 7-1假设检验的基本概念

1. 填空题

（1）设显著性水平为?，当原假设H0正确时，由于样本的随机性，作出了“拒接接受假设”的决

策，因而犯了错误，称为犯了 第一类 错误，犯该错误的概率为?。

（2）假设检验的统计思想是概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上不会发生，该原理称为

小概率事件原理 。

（3）假设检验的步骤为（1） 统计假设，作原假设和备择假设 ； （2） 在原假设成立的情况下确定检验统计量及其分布 ；（3）确定拒接域 ；（4）作拒接或接受原假设的判断 。

2. 选择题

（1）在假设检验中，用?和?分别表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量一定时，

下列结论正确的是（ B ）。

(A) ?减少?也减少 (B) ?与?其中一个减少时另一个往往会增大 (C) ?增大?也增大 (D) A和C同时成立

习题 7-2-1 正态总体参数的假设检验

1. 填空题 （1）设X1,,Xn为来自总体XN(?,?2)的随机样本，且?2已知，要检验假设

H0:???0(?0为已知常数）时，选用的统计量为u?标准的正态分布。

X??0?/n，当H0成立时，该统计量服从

（2）某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆)。今在生产的一批导线中取样品9根，测

得s=0.007(欧姆)，设总体为正态分布。在显著性水平α = 0.05下检验这批导线的标准差是否显著地偏大，应该选取 右侧 检验方式，拒绝区域形式为2. 选择题 （1）总体X2(n?1)S20.0052???(n?1) 。

N(?,?2)，对数学期望?进行假设检验，如果在显著水平??0.05下接受了

H0:???0(?0为已知常数），那么在显著水平??0.01下（ A ）。

(A ) 必接受H0 (B) 必拒接H0 (C) 可能接受也可能拒接H0 (D) 不接受也不拒接H0

3. 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.550,0.108)，现观测了九炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.550(α＝0.05)？

解 待检验的假设是H0 : μ＝4.550. 因X＝4.484， X?4.550?1.8330.1082故 ｜U0｜＝9. 在H0成立条件下，U～N(0，1)，查表知: P{｜U｜＞1.96}＝0.05.

而｜U0｜＝1.833＜1.96，

故接受H0，即不能否认现在生产的铁水平均含碳量仍为4.550.

4. 过去某工厂向A公司订购原材料，自订货日开始至交货日止，平均为49.1日，现改为向B公司

订购原料，随机抽取向B公司订的8次货，交货天数为：46 38 40 39 52 35 48 44, 问B公司交货日期是否较A公司为短(α＝0.05)？ 解 待检验的假设是H0 : μ≥49.1. 使用统计量

X?49.1ST＝n， α＝0.05，自由度为7，查t分布临界值表

t0.1(7)＝1.895，故H0在检验水平α＝0.05的拒接域为

?????X?49.1??-1.895??S????. 8??由样本值算得X＝42.75，S2＝32.7832， 因此

S＝5.7257.

T0?42.75?49.15.72578= -3.137＜-1.895， 所以应拒接H0，即可以认为B公司交货日期显著比A公司要短.

5. 用一台自动包装机包装葡萄糖，假定在正常情况下，糖的净重服从正态分布.根据长期资料表明，标准差为15克.现从某一班的产品中随机取出9袋，测得重量为：497 506 518 511 524 510 488 515 512. 问包装机标准差有无变化？(α＝0.05) 解 待检验的假设是H0 : σ2＝152 选取统计量

?2?(n?1)S2?20??(Xi?1ni?X)2. ?022?当H0成立时，?2(n?1)。

2?2???2(n?1)?17.535α＝0.05，查χ2分布临界值表得临界值

?1??12??2(n?1)?2.18n， 由样本值得X＝509，i?1?(Xi?X)2?950?2?，950?4.2152. 22.18???17.535, 由于

故接受H0，即不能认为标准有显著变化.

6. 测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出s=0.037%，设测定值总体为正态分布，?为总体方差。试在水平α = 0.05下检验假设H0：σ ≥0.04%；H1：σ <0.04%。

解：（1）H0：σ 2 ≥(0.04%)2；H1：σ 2 < (0.04%)2

2(n?1)S2（2）H0的拒绝域为(0.04%)2?χ1?α(n?1)22

（3）n=10，α = 0.05，S=0.037%，查表知

χ0.95(9)?3.325

(n?1)S29?0.037)22??7.701?χ0.95(9).22(0.04%)由计算知(0.04%) （4）故在α = 0.05下，接受H0，认为σ大于0.04%

7. 设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36名考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平α = 0.05下，是否认为这次考生的平均成绩为70分（1998年数一考研题）。 解：

H0:??70;H1?70

t? x??066.?570???0.2s/n15/36 2t?(n?1)?t0.025(35)?2.031 , 故接受t?t0.025(35)H0，认为这次考生的平均成绩为70分 习题 7-2-2 两个正态总体参数的假设检验

1. 填空题

1n1m2（1） 设X??Xi为来自总体N(?1,?1)的样本均值，Y??Yi为来自总体

ni?1mi?12N(?2,?2)的样本均值，两总体相互独立。如果?1和?2已知，要求检验的假设为H0:?1??2时，

X?Y?12所选用的统计量为n?2?2m ；当H成立时，该统计量服从N(0,1) 分布。如果?和?未知，

120X?Y11Sw?nm ；当H成立时，但?1??2，要求检验的假设同样为H0:?1??2时，选用的统计量为0该统计量服从t(n?m?2)分布。 （2）设两个正态总体XN(?1,?12),Y21222N(?2,?2)相互独立，用它们各自的一个样本X1,,Xn1；

Y1,S12F(n1?1,n2?1),Yn2 来检验假设：H0:???,在H0成立的情况下，统计量F?2服从

S2 分布。 2. 选择题

（1） 设正态总体XN(?1,?2),YN(?2,?2)(?2未知），X、Y相互独立，分别抽取样本

X1,(A),Xn；Y1,,Yn ，检验假设：H0:?1??2,应选用的统计量为（ C ）。

X?Y2S12?S2n?1 (B)

X?Y2S12?S21 (C) n?1X?Y2S12?S2n (D)X?Y2S12?S21 n(2)设X1,,Xn1是来自正态总体XN(?1,?12)的样本,Y1,,Yn2是来自正态总体Y2N(?2,?2)，

X、Y相互独立，则当（ B ）时有

X?Yn1n2?(Xi?1i?X)2??(Yj?Y)2j?1n1n2(n1?n2?2)n1?n2t(n1?n2?2)

22(A )?1??2 (B) ?1??2,?1??2 2222(C) ?1??2,?1和?2已知 (D) ?1和?2已知,?1=?2

223. 设用甲、乙两种方法生产同一种药品，其成品得率的方差分别为?1?0.46,?2?0.37.现测得甲

方法生产的药品得率的25个数据，得x?3.81；乙方法生产的药品得率的30个数据，得

y?3.56(单位：g/L).设药品得率服从正态分布.问甲、乙两种方法的药品平均得率是否有显著

差异？(??0.05)

解 由题意，需要检验的假设为

H0:?1??2,H1:?1??2

U?选取统计量X?Y?12n1?2?2n2 u?其观测值对??0.05，3.81?3.56?1.4260.460.37?2530 u??u0.025?1.9602 u?u0.025，所以接受H0,认为甲、乙两种方法的药品平均得率没有显著差异. 4. 下表分别给出两个文学家马克·吐温的8篇小品文以及斯诺特格拉斯的10篇小品文中由3个字

母组成的词的比例． 马克·吐温 0.225 0.262 0.217 0.240 0.230 0.229 0.235 0.217 斯诺特格拉斯 0.209 0.205 0.196 0.210 0.202 0.207 0.224 0.223 0.220 0.201 设两组数据分别来自正态总体，且两总体方差相等，两样本相互独立，问两个作家所写的小品文中包含由3个字母组成的词的比例是否有显著的差异(??0.05)?

2222?????1212解 这是一个两总体的正态分布的检验问题，及未知，这里．

由题意，需要检验的假设为

H0:?1??2,H1:?1??2

T?选取统计量X?Y11Sw?n1n2 2(n1?1)s12?(n2?1)s2sw??12.1?10?3n1?n2?2计算得x?0.232,y?0.2097， t?统计量的观测值0.232?0.2097?3.9181112.1?10?3??810 ??0.05,查表知t?2(n1?n2?2)?2.1199 t?t?2(n1?n2?2),因而拒绝H0，即有显著差异． 5. 为比较甲、乙两种安眠药的疗效，将20名患者分成两组，每组10人，如服药后延长的睡眠时间

分别近似服从正态分布，其数据如表所示

a b c 1.1 d e f g h i 0 j 2.0 甲 1.9 0.8 0.1 -0.1 4.4 5.5 1.6 4.6 3.4 乙 0.7 -1.6 -0.2 -1.2 -0.1 3.4 3.7 0.8 问在显著水平??0.05下，两种安眠药的疗效有无显著差异？

解 此题需先检验方差再检验期望，设甲组服药延长的睡眠时间X～N(μ1，σ1)，乙组服药后延长的睡眠时间Y～N(μ2，σ).

待检验的假设是：(1)H0 : σ＝σ，(2)H0 : μ1＝μ2. (1)H0 : σ＝σ 选取统计量

S122S2F＝.在H0成立时，F～F(n1-1，n2-1). 21222122222由n1＝n2＝10，计算X＝2.33，Y＝0.75，S1＝4.009 2S22＝3.20，Sw＝3.605，SW＝1.899.

24.009从而 F0＝3.2＝1.25 在α＝0.05时，查F临界值表，得F0.025(9，9)＝4.03， 1由于 4.03＜1.25＜4.03. 故接受H0. (2)H0 : μ1＝μ2 选取统计量

T?SWX?Y11?n1n2. 在H0成立时，T～t(n1+n2-2).

查α＝0.05，自由度为18的t分布临界值，得 t0.05(18)＝2.101.

T0?2.33?0.75111.899?1010?1.86. 由于｜T0｜＝1.86＜2.101，故接受H0，即不能认为两种安眠药有显著差异.

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