高一数学同角三角函数的基本关系式1

课 题：同角三角函数的基本关系式（一）

教学目的：

⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义； 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；

注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力． 教学重点：教学难点：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；(2)三角函数式的化简；(3)证明三角恒等式． 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

本节主要涉及到三个公式，均由三角函数定义推出．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用、掌握各种恒等变形的技能、技巧．要给学生提供展示自己思路的平台，营造自主探究解决问题的环境，把鼓励带进课堂，把方法带进课堂，充分发挥学生的主体作用． 教材中给出了同角三角函数间的三个基本关系式．其实根据这三个基本关系还可以变形得到一些基本关系．

如:由

sin

tan 得:sin cos tan , cos

2

同样可以有:cos sin cot tan 1

1

，

cos2

cot2 1

122

，1 sin cos 等等,可以引导学生和用三个2

sin

基本关系进行转换，培养学生的自主学习习惯．

22

教材中的3个基本关系式，只有：sin +cos =1是绝对恒等式，即对于任意实数 都成立,另外两个公式,仅当 取使关系式的两边都有意义的值时才能成立．因此，在运用这些公式进行恒等变形时，角的允许值范围有时会发生变化是不奇怪的，在教学中可经常提醒学生注意这一点．

这组公式的灵活运用是本节教学的难点．灵活运用的前提是熟练掌握公式．弄清它们的来笼去脉是解决这一问题的有效方法．从“左”到“右”或从“右”到“左”运用公式，最后达到灵活运用，同时要明确它们成立的先决条件．教材中指出：“在第二个式子中 k

2

(k Z)时，式子两边都有意义；

在第三个式子中，α的终边不在坐标轴上,这时，式子两边都有意义，”并指出：“除特殊注明的情况外，也都假定是在使两边都有意义的情况下的恒等式．”这段话学生是不太容易理解的，教师应适当加以解释．首先应让学生分析等式两边的三角式的取值范围，并从中发现，两边的取值范围经常是不相同的，如果一个等式在这两个数值集合的交集上总能保持相等，那么这个等式就是恒等式．因此，每一个恒等式并不是对任何值都能保持相等，所以可以认为，这组公式的成立也是有条件的，公式后面括号里给出条件是不容忽视的． 教学过程：

一、复习引入：

是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）

则P与原点的距离r

x y x2 y2 0

22

2sin

y

R r

csc

r

| k ,k Z y

x

cos R

rsec

r | k ,k Z x2 y | k ,k Z x2

tan

cot

x

| k ,k Z y

以上六种函数，统称为 三角函数在各象限内的符号规律： 第一象限全为正,终边相同的角的同一三角函数值相等

诱导公式一（其中k Z）: 用弧度制可写成

sin( k 360 ) sin sin( 2k ) sin cos( k 360 ) cos cos( 2k ) cos

tan( k 360 ) tan tan( 2k ) tan

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．

二、讲解新课：

1．公式: sin cos 1 2．采用定义证明： 1 x y r

2

2

sin

cot 1 tan tan

cos

yx22

,cos sin cos 1 rr

sin yxyry

2 当 k (k Z)时， tan

2cos rrrxx

2

2

2

且sin

3 当 k 且 k

2

2

2

时,tan cot

yx

1 xy

3．推广：sin cos 1这种关系称为平方关系,类似的平方关系还有：

2

sec2 tan2 1 csc co2t 1

sin cos tan 这种关系称为商数关系, cot cos sin

tan cot 1这种关系称为倒数关系类似的倒数关系还有：

csc sin 1 sec cos 1

4 5．注意：

1 “同角”的概念与角的表达形式无关，

si 22 ta如： sin3 cos3 1

2co2

2 上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立

tan

cot

3 据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,6．这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系

③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系 三、讲解范例：

例1． 已知sin

4

，并且 是第二象限角，求 的其他三角函数值． 5

分析：由平方关系可求cos 的值，由已知条件和cos 的值可以求tan 的值，进而用倒数关系求得cot 的值．

22

解：∵sinα+cosα=1， 是第二象限角

43

cos sin2 ()2 ,

554

sin 4

tan

cos 3

513

cot .

tan 4

8

，求sin 、tan 的值． 17

分析：∵cosα＜0 ∴ 是第二或第三象限角．因此要对 所在象限分类．

当 是第二象限角时， 例2．已知cos

sin cos2 ( 15

sin 15

tan .

cos 88

17

8215) ,1717

当 是第三象限时 sin cos2

15,17

tan

15. 8

提问：不计算sin 的值，能否算得tan 的值？

1

由于 1 tan2 而 在Ⅱ或III象限 2

cos

115 18

tan 1 1 . 2

178cos

2

cos2

1

1 tan

例3．已知tan 为非零实数，用tan 表示sin ，cos ．

22

解：由sec tan 1 即 cos

2

1

1 tan2

1 tan2

cos

1

2 tan tan

tan2

sin

tan

2 tan

四、课堂练习：

1．已知cos

当 为第一、四象限角

当 为第二、三象限角

而 sin tan cos

当 为第一、四象限角

当 为第二、三象限角

1

， 求tan 的值． 2

解法1：(cos 平方关系 sin 商数关系 tan ) ∵cos

1

， ∴ 在Ⅰ、Ⅳ象限， 2

当α在Ⅰ象限时，

13

sin cos2 ()2 ,

22

3

sin

∴tan .

cos

2

当 在Ⅳ象限时

sin cos2

∴tan

, 2

sin

3. cos

1

平方关系 tan ) cos

解法2：(cot 倒数关系

当 在Ⅰ象限时，

cos

12

2

1

2,cos

1 2

tan 1 2 1 .

cos

当 在Ⅳ象限时

1

tan 1 3

cos

2．已知tan 2，求sin 的值

解∵ tan = 2 > 0，∴ 在Ⅰ、Ⅲ象限 ①当 在Ⅰ象限时．

2

1

tan2 22 ， cos

cos

15

， sin cos tan

1 2

25

. 5

②当 在Ⅲ象限时

1

tan2 22 , cos

cos

15

, sin cos tan

2. 5

注意：此题在求出cos 的值以后，若直接用平方关系求sin 的值，有符号判断问题，需要再分类，就出现二次分类增添了解决问题的复杂性．本题采用了商数关系，避开了引用平方关系求sin 值，使得问题轻松获解．

3．已知tan =－3，则sin = ，cot = ． 思路分析：由tan ＝－3＜0知， 在第二或第四象限， ∴可分类后用同角三角函数基本关系求解．（略） 由于这是一个填空题，

∴可先将角 视为锐角，求出sin 和cot 的值，然后具体的再看 角所在象限得出sin 、cot 的符号．

将 视为锐角 ′，则有tan ′=3，

31. cot ′=, ∴sin ′=

3 tan 3 0∴ 在第Ⅱ或第Ⅳ象限．

3

∴sin 10

3 3

cot

1

3

( 在第 象限)

( 在第IV象限)

五、小结与总结

已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，应用平方关系确定符号是个难点，一般地说，这类计算题可分为以下三种情况：⑴已知象限，由象限定六、课后作业：

七、板书设计（略） 八、课后记：

思考题：sin cos

1

2

①sinα＋cosα ②sinα＋cosα ③sinα＋cosα 分析：由sin cos

334466

13两边平方，整理得sin cos 28112337 ② ③ 166432

然后将各式化成关于sinα＋cosα，sinαcosα的式子将上两式的值代入注意：sinα＋cosα、sinα·cosα称为关于角α的正弦和余弦的基本对

称式，关于sinα、cosα

1

，且 ，则cosα－sinα的值是多少? 84211

分析：由sinα·cosα＝得2sinαcosα＝

84

122

sinα－2sinαcosα＋cosα＝1－

4

32

（cosα－sinα）＝

4

sinα·cosα＝

∵

4

2

，∴cosα＜sinα，

即cosα－sinα＜ ∴cosα－sinα

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