【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-2)练习：1章综合测试]

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第一章综合测试

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2014·湖南益阳市箴言中学模拟)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

^

①y与x负相关且y＝2.347x－6.423； ^

② y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648； ^

③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493； ^

④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A．①② C．③④ [答案] D

^^^^

[解析] y与x正(或负)相关时，线性回归直线方程y＝bx＋a中，x的系数b>0(或b<0)，故①④错．

2．如下图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是(

)

B．②③ D．①④

[答案] A

[解析] 题图A中的点不成线性排列，故两个变量不适合线性回归模型．故选A. 3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P1，乙解决这个问题的概率是P2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )

A．P1P2 C．1－P1P2 [答案] B

[解析] 恰好有1人解决分两种情况：

B．P1(1－P2)＋P2(1－P1) D．1－(1－P1)(1－P2)

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①甲解决乙没解决： P′＝P1(1－P2) ②甲没解决乙解决： P″＝(1－P1)P2

∴恰好有1人解决这个问题的概率P＝P′＋P″＝P1(1－P2)＋P2(1－P1) 4．(2014·安徽示范高中联考)给出下列五个命题： ①将A、B、C三种个体按则样本容量为30；

②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；

③甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中比较稳定的是甲； ④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为y＝1－2x，则x每增加1个单位，y平均减少2个单位；

⑤统计的10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为0.4.

其中真命题为( ) A．①②④ C．②③④ [答案] B

31

[解析] ①样本容量为＝18，①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5(1＋2＋3

665＋6＋9＋10＋5－

＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③x乙＝7，

5112222222s2乙＝[(5－7)＋(6－7)＋(9－7)＋(10－7)＋(5－7)]＝×(4＋1＋4＋9＋4)＝4.4，∵s甲>s乙，55∴乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120共4

4个，故所求概率为0.4，⑤是真命题．

10

5．已知x与y之间的一组数据：

的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体为9个，

B．②④⑤ D．③④⑤

则y与x的线性回归方程y＝bx＋a必过( ) A．(2,2)点 C．(1,2)点 [答案] D

[解析] 计算得x＝1.5，y＝4，由于回归直线一定过(x，y)点，所以必过(1.5,4)点．

B．(1.5,0)点 D．(1.5,4)点

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6．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度，如果k>5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为( )

A.25% C．2.5% [答案] D

[解析] 查表可得K2>5.024.因此有97.5%的把握认为“x和y有关系”．

7．同时抛掷三颗骰子一次，设A：“三个点数都不相同”，B：“至少有一个6点”，则P(B|A)为( )

1 25 18[答案] A

6×5×4120

[解析] P(A)＝，

6×6×62163×4×560

P(AB)＝，

6×6×6216P AB 602161

∴P(B|A)＝×.

P A 2161202

8．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千^

元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为y＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费额占人均收入的百分比约为( )

A．83% C．67% [答案] A

7.675－1.5627.675^

[解析] 当y＝7.675时，x≈9.262≈0.829，故选A.

0.669.2629．(2014·云南景洪市一中期末)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

B．72% D．66% 60

B．

9191D．216

D．97.5%

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n ad－bc由K＝

a＋b c＋d a＋c b＋d

2

110× 40×30－20×20 2

K＝7.8.

60×50×60×50

2

附表：

A．在犯错误的概率不超过

0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” [答案] C

10．以下关于线性回归的判断，正确的个数是( )

①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；

②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A，B，C点；

^

③已知直线方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69； ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．

A．0 C．2 [答案] D

[解析] 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按^^^^

最小二乘法求得回归系数a，b得到的直线y＝bx＋a才是回归直线，

∴①不对；②正确；

^^

将x＝25代入y＝0.50x－0.81，得y＝11.69， ∴③正确；④正确，故选D.

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)

B．1 D．3

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11．某镇居民2009～2013年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：

有________线性相关关系．(填“正”或“负”)

[答案] 13 正

[

解析] 找中位数时，将样本数据按大小顺序排列后奇数个时中间一个是中位数，而偶数个时须取中间两数的平均数，由统计资料可以看出，年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者正相关．

12．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：

[答案] 0.001

[解析] 可计算K2的观测值k＝11.377>10.828.

13．在2013年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：

通过分析，y对商品的价格x的回归直线方程为________．

^

[答案] y＝－3.2x＋40

5

－－－^

[解析] xiyi＝392，x＝10，y＝8， (xi－x)2＝2.5，代入公式，得b＝－3.2，所以，

i＝1

i＝1

5

^－^－^

a＝y－bx＝40，故回归直线方程为y＝－3.2x＋40.

13

14．已知P(B|A)＝P(A)＝P(AB)＝________.

25[答案]

3

10

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[解析] 由P(B|A)＝

P AB 133

P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝.

2510P A

15．某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：

由表中数据算得线性回归方程y＝bx＋a中的b≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售

－－

xiyi－nxy

n

i＝1

量为________杯．(已知回归系数b＝

i＝1

xi2－nx2

n

－－，a＝y－bx) －

[答案] 70

－1－1

[解析] 根据表格中的数据可求得x＝×(18＋13＋10－1)＝10，y＝×(24＋34＋38

44＋64)＝40.

－－^^

∴a＝y－bx＝40－(－2)×10＝60，∴y＝－2x＋60，当x＝－5时，y＝－2×(－5)＋60＝70.

三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本题满分12分)甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取1个球，试问：取得同色球的概率是多少？

1

[答案]

2

[解析] 设从甲袋中任取1个球，事件A：“取得白球”，由此事件A：“取得红球”，2从乙袋中任取1个球，事件B：“取得白球”，由此事件B：“取得红球”，则P(A)＝，

3111

P(A)＝，P(B)＝，P(B)＝322

因为A与B相互独立，A与B相互独立， 所以从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为

21111P(AB＋A B)＝P(AB)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)·P(B)

＝××.

3232217．(本题满分12分)某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从该部门内随机抽选了10个企业为样本，有如下资料：

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(1)计算x与y(2)对这两个变量之间是否线性相关进行检验； ^^^

(3)设回归方程为y＝bx＋a，求回归系数．

^^

[答案] (1)0.808 (2)有线性相关关系 (3)b＝0.398 a＝134.8 [解析] (1)根据数据可得： x＝77.7，y

10

10

2

＝165.7，∑＝ xi＝70 903，∑＝ y2i＝

277 119， i1i1

10

∑＝ xiyi＝132 938，所以r＝0.808，

i1

即x与y之间的相关系数r≈0.808；

(2)因为r>0.75，所以可认为x与y之间具有线性相关关系； ^^

(3)b＝0.398，a＝134.8.

18．(本题满分12分)(2014·安徽文，17)某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．

(1)应收集多少位女生的样本数据？

(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.

(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育

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运动时间与性别有关”．

n ad－bc 2

附：K＝

a＋b c＋d a＋c b＋d

2

[答案] 4500

[解析] (1)300×90，所以应收集90位女生的样本数据．

15000

(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.

(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：

每周平均体育运动时间与性别列联表

2

综合列联表可算得K＝＝4.762>3.841.

2175×225×210×90

所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关．” 19．(本题满分12分)在一个文娱网络中，点击观看某个节目的累计人次和播放天数如下数据：

(2)判断两变量之间是否有线性相关关系，求线性回归方程是否有意义？ (3)求线性回归方程；

(4)当播放天数为11天时，估计累计人次为多少？

^

[答案] (1)图略 (2)有线性相关关系，求线性回归方程有意义 (3)y＝30.8＋46.9x (4)547

[解析] (1)散点图如下图所示：

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(2)由散点图知：两变量线性相关，求线性回归方程有意义．借助科学计算器，完成下表：

i＝1

xiyi－10x y

2

y2i－10 y 10

10

r＝

i＝1

2

x2i－10 x 10

i＝1

＝

385－10×5.5×1 020 953－10×288.719 749－10×5.5×288.7

≈0.984.

这说明累计人次与播放天数之间存在着较强的线性相关关系，自然求线性回归方程有实际意义．

i＝1

xiyi－10x y

i＝1

10

(3)b＝

xi2－10 x 2

10

19 749－10×5.5×288.7

46.9，

385－10×5.5a＝y－bx≈288.7－46.9×5.5≈30.8，因此所求的线性回归方程是y＝30.8＋46.9x. (4)当x＝11时，y的估计值是46.9×11＋30.8≈547.

20．(本题满分13分)(2014·安徽程集中学期中)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

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将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．

(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

(2)迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．

n ad－bc 2

附：K＝ a＋b c＋d a＋c b＋d

2

[答案] (1)表略 不相关 (2)

10

[解析] (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”为25人，从而完成2×2列联表如下：

将2×2n ad－bc 2

K＝

a＋b c＋d a＋c b＋d

2

100× 30×10－45×15 2100＝≈3.030.

3375×25×45×55

因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．

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(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的集合为

Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}

其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性，j＝1,2.

Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．

用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，

7事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝10

[点评] 本题考查了频率分布直方图，独立性检验，古典概型，解决这类题目的关键是对题意准确理解．

21．(本题满分14分)(2014·济南模拟) 为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：

族”．

(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？

a＋b＋c＋d ad－bc 2已知：K＝

a＋b c＋d a＋c

b＋d

2

当K2<2.706时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2>2.706时，有90%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2>3.841时，有95%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2>6.635时，有99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关.

(2)限购令的概率．

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7

[答案] (1)表略 有90%的把握 10[解析] (1)

2

50 25×7K≈3.43，故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关；

40×10×22×28(2)设月收入在[55,65)的5人的编号为a，b，c，d，e，其中a，b为赞成楼市限购令的人，从5人中抽取两人的方法数有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，其7

中ab，ac，ad，ae，bc，bd，be为有利事件数，因此所求概率P10

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hq14.html