100404334王鹏1

数字信号处理实验一：信号及系统的谱分析

学号 100404334 姓名 王鹏

注：1）此次实验作为《数字信号处理》课程实验成绩的重要依据，请同学们认真、独立完成，不得抄袭。

2）请在授课教师规定的时间内完成；

3）完成作业后，请以word格式保存，文件名为：学号+姓名

4）请通读全文，依据第2及第3 两部分内容，认真填写第4部分所需的实验数据，并完成实验分析。 5）需将这次实验的内容给出一个纸质报告（31-40号）。全体将报告的电子版交给班长以便实验结束后刻成光盘

1. 实验目的

(1) 熟练利用DFT计算公式对信号进行谱分析， 加深DFT算法原理和基本性质的理解。 (2) 利用卷积方法计算信号经过离散系统输出响应，并观察输出信号的频谱变化。

(3) 熟悉FFT算法原理和FFT子程序的应用，掌握利用函数fft.m对离散信号及系统响应进行

频域分析。

(4) 理解并掌握利用FFT实现线性卷积的方法。了解可能出现的分析误差及其原因， 以便在实际中正确应用FFT。 2. 实验原理与方法

1）离散傅里叶变换（DFT）的基本原理

离散傅里叶变换（DFT）是分析有限长序列频谱成分的重要工具，在信号处理的理论上有重要意义。由于其可以在计算机上实现谱分析、 卷积、相关等主要的信号频谱分析过程，因此DFT的快速算法得到了广泛的应用。

实现DFT的基本计算公式如下：

2）系统响应信号的时域分析（卷积运算）

离散信号输入离散系统后，若系统起始状态为0，则系统的响应输出是 其方框图表示如下：

图 1

nkX(k)?DFT?x(n)???x(n)WNn?0N?11x(n)?IDFT?X(k)??N?X(k)Wk?0N?1?nkNyzs[n]?h[n]?x[n]x[n]离散系统 h（n） yzs[n]?h[n]?x[n]在matlab中 计算卷积的函数为y=conv(x,h)。

3）FFT实现线性卷积的快速计算

x [n] ，设一离散线性移不变系统的冲激响应为 h [ n ] ，长度为L点；其输入信号为 长

? h] ? x度为M点；其输出为 y zs [ n ] [ n [ n ] ，长度为M+L-1点。

当满足一定条件 N ? ? L 1 时，有限长序列的线性卷积可用圆周卷积和来代替，M?而圆周卷积可用FFT来计算，从而可以大大提高运算速度。 用FFT实现线性卷积计算的具体步骤：

(1)有限长序列 h [n ] 和 x [n ] 补零值点,至长度为大于或等于M+L-1点，且为 2 ， r为整数。

r? DFTh ( n )](2)求 H (K ) [ ，N点DFT，用FFT快速算法实现; [x(n)](3)求 X [ K ] ? DFT ，N点DFT，用FFT快速算法实现; (K(4)计算 Y ) ? X ( K ) H (K ) ;

(K(5)求 y [ n ] ? IDFT [ Y )] N点IDFT，用IFFT快速算法完成。

3. 实验内容及步骤

某系统的单位样值响应为：

sin[0.15?(n?500)h(n)?R1001(n)?(n?500)，

信号x（n）=（SIN（ω1n）+COS（ω2n））R1023（n）， 输入该系统后，输出的响应信号为y(n)。

请认真复习离散信号与系统、 线性卷积、 序列的傅里叶变换及性质等有关内容， 阅读上述实验原理与方法，编制2个程序文件完成如下2部分实验内容。

一） 利用函数y=conv(x,h)求解响

应信号y(n)（流程图见图2） 要求：a）利用函数y=conv(x,h)

求解响应信号y(n)；

b) 利用DFT的计算 公式对x(n),h(n)和y(n)DFT计算；

写入序列hn；调用子程序dft.m计算hk 相关作图语句 写入序列xn；调用子程序dft.m计算xk 调用子程序conv.m计算yn, 调用子程序dft.m计算yk, 开始 图 2

在第一个图形框内给出x(n)的波形图和频谱图X(K)，在第二个图形框内给出h(n)的波形图和频谱图H(K)，在第三个图形框内给出y(n)的波形图和频谱图Y(K)；在第四个图形框内给出X(K),H(K)和Y(K)的频谱图，并分析这3张频谱图的关系。

c) 给出程序内容

d) 统计程序运行时间T1。

注意： a）dft.m为学生自己编写的自定义函数文件，根据DFT运算的计算公式完成

xk=DFT（xn）功能，xk为时间序列xn的DFT变换xk。

b）dft.m 可参考<数字信号处理>教材P117的例题3-6自行理解并修改为函数

文件

二） 利用FFT实现线性卷积计算（流程图见 图 3）

要求：a）利用FFT实现线性卷积计算的步骤编写程序求解y(n)

在第一个图形框内给出x(n)的波形图和频谱图X(K)，在第二个图形框

内给出h(n)的波形图和频谱图H(K)，在第三个图形框内给出y(n)的波形图和频谱图Y(K)；在第四个图形框内给出X(K),H(K)和Y(K)的频谱图，并分析这3张频谱图的关系。

c) 给出程序内容

clc,close,clear tic

n=0:1022;

x=(sin(0.08*pi*n)+cos(0.4*pi*n)); figure(1);plot(abs(x));title('xn'); N=2048;

XK=fft(x,N);

figure(2);plot(abs(XK));title('XK');

m=0:1000;

h=0.15*sinc(0.15*(m-500));

figure;

figure(3);plot(abs(h));title('hn');

HK=fft(h,N);

figure(4);plot(abs(HK));title('HK');

YK=XK.*HK;

figure; y=ifft(YK);

figure(5);plot(abs(y));title('yn'); figure(6);plot(abs(YK));title('YK');

toc

d) 统计程序运行时间T2。

4. 实验数据及分析 实验数据：

一、利用函数y=conv(x,h)求解响应信号y(n)

1） 将yn1和Xk1、Hk1及Yk1存为dft1.mat文件上交；

2）按要求给出相关的图形xn1和Xk1、hn1和Hk1及yn1和Yk1 3）程序内容：（包括主程序和函数文件dft.m） 4）运行时间T1=

二、利用FFT实现线性卷积计算

1） 将yn2和Xk2、Hk2及Yk2存为fft1.mat文件上交；

2）按要求给出相关的图形xn2和Xk2、hn2和Hk2及yn2和Yk2

开始 写入序列xn和hn 计算yk=xk.hk 计算fft运算所需点数N 调用子程序ifft.m计算yn 调用子程序fft.m计算xk和hk 相关作图语句 结束 图 3 Figure（1）

xn21.81.61.41.210.80.60.40.20020040060080010001200

Figure（2）

XK600500400300200100005001000150020002500

Figure（3）

hn0.160.140.120.10.080.060.040.020020040060080010001200

Figure4

HK1.41.210.80.60.40.2005001000150020002500

Figure5

yn1.41.210.80.60.40.2005001000150020002500

Figure6

YK600500400300200100005001000150020002500

3）程序内容：（主程序） clc,close,clear tic

n=0:1022;

x=(sin(0.08*pi*n)+cos(0.4*pi*n));

figure(1);plot(abs(x));title('xn'); N=2048; XK=fft(x,N);

figure(2);plot(abs(XK));title('XK'); m=0:1000;

h=0.15*sinc(0.15*(m-500)); figure;

figure(3);plot(abs(h));title('hn'); HK=fft(h,N);

figure(4);plot(abs(HK));title('HK'); YK=XK.*HK; figure; y=ifft(YK);

figure(5);plot(abs(y));title('yn'); figure(6);plot(abs(YK));title('YK'); toc

4）运行时间T2=0.22 s

实验分析：

1 ) 若二）中FFT的点数N取值比L+M-1小，则实验结果是否正确，为什么？

答：不正确，因为只有当N>=L+M-1时，循环卷积才能代表线性卷积，否则， 会发生频谱混叠，不能代表线性卷积。

2） 比较一）和二）两种方法所得结果y(n)长度是否相同，为什么？

答：不相同，fft运算的长度应为2的L次方，长度N=2048>dft运算的长度。

3） 比较运行时间T1和T2，给出两者数值不同的主要原因；

答：当满足一定条件时，有限长序列的线性卷积可用圆周卷积和来代替，而圆周卷积可用FFT来计算，从而可以大大提高运算速度。

4） 改变ω1和ω2的值来看结果，并分析所得的结果

W1=0.08Pi, W2=0 .8Pi 时

xn21.81.61.41.210.80.60.40.20020040060080010001200

XK600500400300200100005001000150020002500

hn0.160.140.120.10.080.060.040.020020040060080010001200

HK1.41.210.80.60.40.2005001000150020002500

yn1.41.210.80.60.40.2005001000150020002500

YK600500400300200100005001000150020002500

答：由实验可知，改变ω1 和ω2之后，Xk的图形随之发生变化，这主要是由于改变ω1 和ω2之后，信号的离散周期N发生变化，而在频域上采样间隔也随之发生变化。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hq0f.html