普通物理学梁斌版习题15-16

习题15

15-1设惯性系O 以速率 0.60c相对于惯性系O沿xx 轴运动，且在t t 0时刻x x 0. (1) 若有一事件，在O系中发生于t 2.0 10 7s,x 50m处，该事件在O 系中发生于何时刻？(2) 如有另一事件发生于O系中

t 3.0 10

7

,sx

1处，在0mO 系中测得这两个事件的时间间隔为多少？

2

解：(1) 由

t

得

t1

2

1.25 10s

7

;

(2)

t

2

2.25 10s.

7

15-2一事件从惯性系O看来，t=0时出现在x 2.0 104m处，而从O 系看来则出现在t 3.0s,x 2.0 104m处. 试求O 系相对O系沿xx 轴的运动速度.

解：由

t

t x/c2

和 t=0 得

ct 2

.

因为x ct ， 得 c.

15-3 在惯性系O中观察到两个事件发生在某一地点，其时间间隔为4.0s. 从另一惯性系O 中观察到这两个事件的时间间隔为6.0s. 试问从O 系测量到这两个事件的空间间隔是多少？设O 系以恒定速率相对于O系沿xx 轴运动.

解：由题可知，

x

0 ，即 x t 。

对于这两个事件O

系是相对静止系，故有 t

t，即

3

.

9410m所以 x t 1.3 .

15-4在惯性系O中有两个事件同时发生在xx 轴上，相距为1.0 103m. 从惯性系O 观察到这两个事件相距为2.0 103m. 试问由O 系测得此两事件的时间间隔为多少？

t

x

2解：由题可知，

t

0 ，故由O 系测得此两事件的时间间隔为

t

x

c

2

。

将上式代入 x

得

x x 即

2

c

.

所以

t

x

c

2

2c

5.7 710s

6

.

15-5设有两只宇宙飞船相对某一惯性系分别以0.70 c和0.90 c的速率沿同一

方向（如xx 轴）飞行，试求两飞船的相对速率.

解：设题给惯性系为O系，速率为0.70 c的飞船为O 系，则速率为0.90 c的飞船A在O 系中的速率就是两飞船的相对速率u x. 由题可知，A船在O系中的速率ux 0.90c，而O 相对O的速率 0.70c，根据相对论速度变换公式得 u x

ux 1

ux c

2

0.5c4 .

15-6设想有一粒子以0.050 c的速率相对实验室参照系运动. 此粒子衰变时发射一个电子，电子的速率为0.80 c，电子速度的方向与粒子运动方向相同. 试求电子相对实验室参照系的速度.

解：设粒子相对实验室参照系的速度为 0.05c，电子相对粒子的速度为

u 0.80c，根据相对论速度变换公式得电子相对实验室参照系的速度 x

ux

u x

0.817c.. u 1 x2

c

15-7设想地球上有一观察者测到一宇宙飞船以0.60 c的速率向东飞行，5 s后该飞船将与一个以0.80 c的速率向西飞行的彗星相碰撞. 试问：(1) 飞船中的人测到彗星将以多大的速率向它运动？(2) 从飞船中的钟来看，还有多少时间容许它离开航线，避免与彗星碰撞？

解：(1) 设飞船相对地球的速度为ux 0.6c，彗星相对地球的速度为

0.8c，根据相对论速度变换公式得彗星相对飞船的速度

u x

ux 1

ux c

2

0.94c6 .

(2) 由题可知, 地球上预测将碰撞的时间 t 5s是相对时间, 飞船上预测将碰

撞的时间是固有时间, 按照时间延缓公式,得

t 4s

.

15-8一静止长度为4.0 m的物体，若以速率0.6 c沿x轴对某惯性系运动，试问从该惯性系测量此物体的长度为多少？

解：按照长度缩短公式,得

l l 3.2m.

15-9半人马星座 星是离太阳系最近的恒星. 它距地球为4.3 1016m. 设有一宇宙飞船自地球往返于半人马星座 之间. 若宇宙飞船的速率为0.999 c， 按地

球上时钟计算，飞船往返一次需多少时间？如以飞船上时钟计算，往返一次的时间又为多少？

解：按地球上时钟计算，飞船往返一次的时间是 t

2R0.99c9

2.87 1s0

8

y9,

其中的R 4.3 1016m.飞船上的时间是是固有时间, 按照时间延缓公式,得

t 1 .283 1s0

7

0y.4,

其中的

0.999c

.

15-10 在O系中有一长为l0的棒沿x轴放置，并以速率u沿xx 轴运动。若O 系以速率 相对O系沿xx 轴运动，试问从O 系测得此棒的长度为多少？

解：设棒的相对静止系为A系, 根据相对论速度变换公式, O 系相对A系

的速度是 uO A

1

u2 u

c2. u c u

c

2

按照长度缩短公式, 从O 系测得此棒的长度

1

l l02

u 2

l0 1 c2

2 c u 2

l c2 u

0

1

c

2

2

/c

22

u .

2

15-11一被加速器加速的电子，其能量为3.00 109eV. 试问：(1) 这个电子的质量是其静质量的多少倍？(2) 这个电子的速率为多少？

解：(1) 设电子的质量是其静质量的N倍,则有

N

mm0

Em0c

2

5.85 10

3

.

(2)

根据公式m

m可得这个电子的速率为

. 85 0.9999999c

15-12如果将电子由静止加速到速率为0.1 c，需对它作多少功？如将电子由速率为0.80 c加速到0.90 c，需对它作多少功？

2

解：(1)

Ek m0c

2

(2)

Ek m0c

4

1 2.56 10eV,

3.21 105eV.

习题16

16-1 温度为300 K时，黑体辐射光谱中的峰值所对应的波长是多少？ 解：根据维恩位移定律 m T b 2.89 10 3m K, 得 m

bT

9.63 10m

6

.

16-2已知地球跟金星的大小差不多，金星的平均温度约为773 K，地球的平

均温度约为293 K. 若把它们看作理想黑体，这两个星体向空间辐射的能量之比为多少？

解：根据斯特潘—玻尔兹曼定律J T4,两个星体向空间辐射的能量之比是

T

1 48.4

J2 T2

J1

4

16-3天狼星的温度约为11000 C. 试由维恩位移定律估计该星体的颜色. 解：根据维恩位移定律 m T b, 得 m

bT

2.63 10m

7

.

此为远紫外线，故天狼星的颜色不可见.

16-4太阳可看作是半径为7.0 108m的球形黑体，试计算太阳的温度. 设太

阳射到地球表面上每平方米的辐射能量为1.4 103W，地球与太阳间的距离为

1.5 10m.

11

解：由题可知，单位时间太阳辐射射到地球表面上每平方米的能量，因此，单位时间太阳表面上每平方米辐射出的的能量是 J0 1.4 10W

3

J

4 R24 R

2

2

1

J0

，

其中R1 7.0 18，R2 1.5 1011m. 根据斯特潘—玻尔兹曼定律J T4, 0m

5.78 10W m K

8

2

4

，太阳的温度是

1

2

221

RJ0 4

T 5780K.

R

16-5已知金属钨的逸出功是7.2 10 19J，分别用频率为7 1014Hz的紫光和频率为5 1015Hz的紫外光照射金属钨的表面，能不能产生光电效应？

解：由题可知，金属钨的截止频率是

0

Ah

1.1 10

15

Hz,

所以, 用频率为7 1014Hz的紫光照射不能产生光电效应, 用频率为5 1015Hz的紫外光照射能产生光电效应.

16-6钾的截止频率为4.62 1014Hz，今以波长为435.8 nm的光照射，求钾放出的光电子的初速度.

解：由m 2 h A和A h 0得

21

5-1 5.70 10m s.

16-7在康普顿效应中，入射光子的波长为0.003 nm，反冲电子的速度为光

速的60%，求散射光子的波长及散射角.

解：(1) 由题可知，反冲电子的的动能是

2

Ek m0c

12

1 m0c 4

.

由能量守恒关系式h h Ek得，

1

hc

1

hc

Ek,即

所以, 散射光子的波长

m0c

4hh

m0c4h

.

0.00436nm. 1

(2) 由公式

m0c

(1 cos )得光子的散射角

cos 1

1

m0c

64.26. h

16-8一能量104eV的光子与一静止自由电子相碰撞，碰撞后，光子的散射角为60 . 试问: (1) 光子的波长、频率和能量各改变了多少？(2) 碰撞后，电子的动能、动量和运动方向又如何？

解：(1) 光子波长的改变量

hm0c

(1 cos ) 0.0012nm,

频率的改变量

h

hc

2

2

2.37 10

16

Hz,

能量的改变量 E h 97.3eV.

(2) 碰撞后，电子的动能 Ek h h 97.3eV, 动量

P 5.3 10 24kg m/s. 由于在垂直于光子入射方向上动量守恒,有0

1

角 sin

h

sin psin ,电子的散射

h P hch 0

s in

.

其中, 散射光子的波长

h

1.2A4

,

1

所以, 电子的散射角 sin

P

s in

59. .97

16-9在康普顿效应中，如电子的散射方向与入射光子方向之间的夹角为 ，

222 )/[1( ) cos ]， 试证电子的动能为 Ek h (2 cos

其中 h /m0c2

证：设光子的散射方向与入射光子方向之间的夹角为 ，由题可知：

Ek h h mc2 m0c2， （1）

h pccos h cos ,,

（2）

pcsin. （3） h si n

由（2）和（3）两式得

h pchpccos 2

2

2

2

h

2

h k E ,

2

所以， pc 2h pcco s Ek2 h 2Ek. （4）另一方面， Ek2 m2c4 m0c2 42mm0c，且m2c4 p2c2 m02c4，

24224

Ek 2m0c 2mmc所以， pc m2c4 m0c 0

2

4

222222

Ek 2m0c mc m0c Ek 2Ekm0c.

（5）

令 h /m0c2，由（4）和（5）两式得

1

1

1

pc Ek Ek.

cos cos

将上式代入（5）式，即得

Ek h (2 cos )/[(1 )

2

2

2

cos ].

16-10求动能为1 eV的电子的德布罗意波的波长.

解： 电子能量E

1eV，其动量p m ,电子的德布罗意波长

hp

h 1.2nm2.

16-11一质量为40g的子弹以1000m s 1的速率飞行，求：(1)德布罗意波波长；(2) 若测量子弹位置的不确定为0.1 mm，求速率的不确定量.

解： (1) 子弹的德布罗意波长

hp hm

1.64 10

2

35

m.

(2) 由不确定关系 x px

可得子弹速率的不确定量

h4 m x

1

0.57m4s./

16-12试证：如果粒子位置的不确定等于其德布罗意波长，则此粒子速度的不确定量大于或等于其速度的 4 倍.

证：由

hp hm

和不确定关系 x px

h4 m x

h

2

可得

4

4 m

.

16-13试证明自由粒子的不确定关系式可写成： x 2， 为自由粒子的德布罗意波的波长.

证：由p

h

h

2

得 p

2

，略去式中负号并代入公式 x px

2

得

x px

2

，

即 x 2.

16-14如用能量为12.6eV的电子轰击氢原子将产生哪些谱线？ 解：在式子 E E1

中，令n 1, E 12.6eV,

1 n

2

1 2 m

E 13.6eV，得m 3.69，取m 31

，这

是氢原子被轰击后的最高能级. 根据公式

1 1

R 2 2 m n1

，

令m令m令m

3，n 1得 3，n 2 2

2， 1 102.nm

nm5， 得 2 654.

2. 1 121.nm

，n 1得

16-15氢原子中把n 2状态下的电子移离原子，需要多少能量？ 解：需要得能量是 E

E12

2

3.4eV 5.44 10

19

J

.

16-16原子中一电子的主量子数n 3，它可能具有的状态数为多少？ 解：考虑到电子自旋, 它可能具有的状态数为2n2 18.

16-17一原子由一质子和一绕质子旋转的介子组成，求介子处于第一轨道

n 1时离质子的距离. 介子的电量和电子电量相等，介子的质量为电子质量的

210倍.

解：将氢原子玻尔第一轨道半径r1

210m

0h

22

πme

5.29 10

11

m中的质量m换成

,得介子处于第一轨道时离质子的距离

0h

2

2

r1

210πme

2.52 10

13

m.

16-18在氢原子中，如量子数n = 4，l可取哪些数值？对于l 3，m可取哪些数值？

答: 主量子数n = 4，l 0,1,2,3;

轨道量子数l 3，m 3, 2, 1,0,1,2,3.

16-19设有一电子在宽为0.2 nm的一维无限深的势阱中. 计算电子在最低能级的能量.

解：一维无限深势阱中电子的能级公式是

E n

2

h

22

8ma

,

取n 1,a 0.2nm, 得电子最低能量

h

22

E1

8ma

9.25eV.

16-20 利用玻尔－索末菲的量子化条件，求在均匀磁场中作圆周运动的电子的可能轨道半径.

解：在均匀磁场中作圆周运动的电子的向心力是洛仑兹力:

m

2

r

e B

,

电子的动量是 p m eB. r

根据玻尔－索末菲的量子化条件 pdq nh, (n 1,2,3 ) 得

pdq

m

r

d

, nh

r hn, 即 eB2

电子可能的轨道半径是

r .

16-21证明在定态中，几率流密度与时间无关.

证: 几率流密度的定义是

J

i 2m

(

)

i

.

.

在定态中，波函数一般可写成 (r,t) (r)e

Et

故 (r) (r), (r) (r), 所以, 几率流密度与时间无关.

16-22由下列两定态波函数计算几率流密度：

(1) 1

1re

ikr

; (2) 2

1r

e

ikr

.

从所得结果说明 1表示向外传播的球面波， 2表示向内（即向原点）传播的球面波.

解：在球坐标中 er将 1

1re

ikr

1 1

. e e

rr rsin

和 2

J1

1

ri

e

ikr

分别代入上式,再代入几率流密度的定义,得

2m

( 1 1 1 1)

k

er, 2

mr

这说明 1表示向外传播的球面波.

i J2 ( 2

2m

2

2 2)

k

er, 2

mr

这说明 2表示向内（即向原点）传播的球面波.

16-23求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置. 解：一维谐振子处在第一激发态时的定态波函数是

1(x) N1e

12 x2

2

H1( x) 2

3

2

12 x2

2

x,

几率密度是

(x)

21

xe

2 x

2

.

令

1(x) x

2

0,

得几率最大的位置

x 16-24 求一维势阱

U0 0,

U(x)

0,

x ax a

中粒子束缚态(0 E U0)的能级.

解：一维Schrödinger方程是

d dx

22

2m

22

E U(x)

2mE

2

0.

在阱内(x a), 有

d dx

22

d dx

2

0, (1)

在阱外(x a), 有 在0 E U0条件下,令 2

2m

2

E U0

2m

2

0, (2)

2mE

2

,

2

U0 E ,得

d dx

22

2

2

0, (x a) (1a)

以上两式的通解是

d dx

2

2

0, (x a) (2a)

1 x A1sin x A2cos x Asin x , (x a) (3)

2 x Be x Ce x (x a). (4) 考虑到x 时波函数有限,应令

x

e (x a), (5) 2 x B

x

e (x a). (6) 3 x C

由(3)式得

1d 1

1dx

ctg

x

. (7)

由(5),(6)两式得

1d 2

2dx

1d 3

, (x a), (8)

由于 ,

d dx

3dx

(x a). (9)

在x a处连续,应有

a ctg, ctg a ,

即 所以有 0和

2

ctg ctg

a a

1.

.

当 0时, 有 ctg a , (10) 当

2

时, 有 tg a , (11)

2

由以上两式得 ctg a 1.

令 ictg a 1,得 ctg a 1, 所以 a n

2

2

4

,

2

即有 a n

,

4

2

最后得 E

22

32ma

4n 1 . 2

x

2

22

16-25一维谐振子处在基态

(x)

12

i

t2

，

求：(1)势能U 分布函数.

x的平均值；(2) 动能T

2

2

p

2

2

的平均值；(3) 动量的几率

解: (1)

利用积分公式

e

ax

2

dx

得

x

2

x dx

2

e

ax

22

xdx

2

1 a

e2 2a

x

2

xdx

2

12a

2

,

所以, U

(2)

22

p p dx

2

12

x

22

4a

22

.

x

2

2

2

a

2 ax dx

4

2

a a

2242

12a

2

12

a ,

22

所以, T

p

2

2

a 4

22

.

1 i px

(3) 令

x

C

p

P(x)dp,

1

P

x( ,

得

(x)

b

2

i22

ax t22

.

利用积分公式

e

ax

2

cosbxdx

4a

得

i

t22a

2

2

Cp

p

(x)dx

11

p

2

p

2

22

,

所以, 动量的几率分布函数 Cp

2

2 a

e

a

.

12

coskx]

2

kx 16-26求粒子状态为 (x) A[sin

时的平均动量和平均动能.

解: (1)

p p dx i

x

,

注意到 (x) A[sin2kx

12

coskx]是偶函数,而 A[2ksinkxcoskx

(x) x

12

ksinkx]

是奇函数,得

p p d x i x

d0x.

2 k

(2) 由于 (x) A[sin2kx

E

12

2

coskx]

A2

1 cos2kx coskx ,周期T

,得

(x) 2m

2T

d (x)dx

2

dx

A8m

2

2

A8m

22T

k

2

4cos2kx coskx dx

2

2

k

2

52

T

5 8m

Ak.

2

2

2

16-27 求自旋算符

0

Sx

2 11 0

和

0Sy

2 i i 0

的本征值和所属的本征函数.

解: (1)

Sx的本征值有两个:

2

.设其本征函数为 ,

b

a

对于

2

,有 Sx

b 0 1

a

a , 2 b

即

1 a a , 0 b b b a

a b

所以 , 即 a b. 又因为 a

b

b 1,

a

即 a2 b2 1. 所以

a b 本征函数为

同理, 对于

2

1 1

.

1

1 1 . 1

,本征函数为

(2) 同理,Sx的本征值有两个: .

2

1

对于 , Sx的本征函数为

,

2i

1

对于 , Sx的本征函数为

.

2 i

16-28 试证明 x y z i 和 tr i 0, i x,y,z， 其中

x

0 1

1 0

，y 0 i

i 1

，z

0 0

0

. 1

y y 2i 证: (1) 因为 x , z x y y x, x

有 2 x y 2i z. 又因为 z2 1,得 x y z i. (2)

0

因为 x

1

1 0

， y 0 i

i 1

， z

0 0

0

, 1

所以 tr i 0.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hpm4.html