上海市闵行区2013届高三数学一模试卷(文理卷 - 含答案)

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闵行区2012学年第一学期高三年级质量调研考试

数 学 试 卷(文理科)

考生注意:

1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、姓名填写清楚,并填涂准考证号.选择题部分必须使用2B铅笔填涂;非选择题部分使用黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写. 2.本试卷共有23道题,共4页.满分150分,考试时间120分钟. 3.考试后只交答题纸,试卷由考生自己保留.

一. 填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.

1.已知复数z满足(1?i)z?4i(i为虚数单位),则z?_________________. 2.函数y?log2(1?x)的定义域为 .

3.已知集合A?{a,b,c,d,e},B?{c,d,e,f},全集U?A?B,则集合eU(A?B)中元素的个数为__________________.

4.已知抛物线y?4x的焦点与圆x?y?mx?4?0的圆心重合,则m的值是 . 5.已知函数y?g(x)的图像与函数y?3?1的图像关于直线y?x对称,则g(10)的值

为 .

x2222?23?6.若二项式?x??展开式的各项系数的和为64,则其展开式的所有二项式系数中最大

x??的是 . (用数字作答)

2(文)若二项式x?1展开式的各项系数的和为64,则其展开式的

n开始 ??ni?1, S?0所有二项式系数中最大的是 . (用数字作答)

47.无穷等比数列{an}的各项和为3,第2项为?,则该数列的公

3比q? .

(文)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn?(?3)?r(r是常数),则数列{an}是等比数列的充要条件是 .

8.某算法的程序框图如右图,若输出的S的值为62,则正整数n的值为 .

ni?i?1S?S?2ii≤n 否 输出S 结束 是 9.从集合?1,2,3,4,5?中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率为____________.

1 / 6

(文)某高校随机抽查720名的在校大学生,询问他们在网购商品时是否了解商品的最新信息,得到的结果如右表,已知这720名大学生中随机抽取一名,了解商品最新

男生 合计 了解 160 不了解 合计 p 80 720 11信息的概率是,则p? .

1810.已知定义在(0, )上的函数y?2(sinx?1)与y?女生 480?p 8 23的图像的交点为P,过P作PP1与y?tanx的图像交于点P1?x轴于P1,直线PP2,则线

段PP12的长为 .

11.已知不等式2x?a?x?1对任意x?[0,2]恒成立,则实数a的取值范围是 . (文)已知不等式x?a?x?1对任意x?[0,2]恒成立,则实数a的取值范围是 . 12.已知△ABC的面积为1,在△ABC所在的平面内有两点P、Q,满足

??????????????????????????PA?PC?0,QA?QB?QC?BC,则四边形BCPQ的面积为 .

(文)已知△ABC的面积为1,在△ABC所在的平面内有两点P、Q,满足

?????????????????????????PA?PC?0,QA?QB?QC?BC,则△APQ的面积为 .

13.如下图,对大于或等于2的正整数m的n次幂进行如下方式的“分裂”(其中m、 n?N):

23例如7的“分裂”中最小的数是1,最大的数是13;若m的“分裂”中最小的数是211,则m? . 1

3 3715 222324235977

97251 234933327311 5291113

*??x,?1?x?1?cos2(文)已知函数f(x)??,则关于x的方程f(x)?3f(x)?2?0的2?x2?1,|x|?1?实根的个数是___ _. 14.已知函数

f(x)?|x?11?0|?|x?|,关于x的方程f2(x)?af(x)?bxx(a,b?R)恰有6个不同实数解,则a的取值范围是 .

n?N):(文)如下图,对大于或等于2的正整数m的n次幂进行如下方式的“分裂”(其中m、例如7的“分裂”中最小的数是1,最大的数是13;若m的“分裂”中最小的数是211,则

m? .

2 / 6

23* 1

3371 5222324 235977 9725123 49333273115 291113

二. 选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸

的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.已知A,B,C,D是空间四点,命题甲:A,B,C,D四点不共面,命题乙:直线AC和BD不相交,则甲是乙成立的 [答]( ) (A)充分不必要条件

(C)充要条件 件

(B)必要不充分条件

(D)既不充分也不必要条

??????????????016.若向量m,n满足m?n?1,m与n的夹角为60,则m?m?n? [答]( )

??313 (B) (C)2 (D)1?

222????????????????0(文)若向量m,n满足m?n?1,m与n的夹角为60,则m?m?m?n? [答]( )

(A)(A)

313 (B) (C)2 (D)1?

22217.已知函数f(x)?|arctan(x?1)|,若存在x1,x2?[a,b],且x1?x2,使f(x1)?f(x2)成

立,则以下对实数a、b的描述正确的是 [答]( )

(A)a?1 (B)a?1 (C)b?1 (D)b?1

(文)已知函数f(x)?|arctanx|,若存在x1,x2?[a,b],且x1?x2,使f(x1)?f(x2)成立,

则以下对实数a、b的描述正确的是 [答]( ) (A)a?0 (B)a?0 (C)b?0 (D)b?0 18.数列?an?满足a1?a2?1,an?an?1?an?2?cos2n?若数列?an?的前n项(n?N?),

3和为Sn,则S2012的值为 [答] ( )

(A)?672 (B)?671 (C)2012 (D)672 (文)数列?an?满足a1?a2?1,an?an?1?an?2?cos2n?若数列?an?的前n(n?N?),

3671 2项和为Sn,则S2013的值为 [答] ( ) (A)2013 (B)671 (C)?671 (D)?

三. 解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19. (本题满分12分)本题共有2个小题,.第(1)小题满分6分,第(2)小题满分6分.

3 / 6

已知函数f(x)?2sinxsinx?cosx3(sinx?cosx);

cosx(1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数y?f(x??),x?[0, ]的值域. 22?解:

20.(本题满分14分)本题共有2个小题,.第(1)小题满分7分,第(2)小题满分7分.

科学研究表明:一般情况下,在一节40分钟的课中,学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化。开始上课时,学生的注意力逐步增强,随后学生的注意力开始分散。经过实验分析,得出学生的注意力指数y随时间x(分钟)的变化规律为:

0?x?8?2x?68,?y?f(x)??12

?(x?32x?480),8?x?40??8(1)如果学生的注意力指数不低于80,称为“理想听课状态”,则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长?(精确到1分钟)

(2)现有一道数学压轴题,教师必须持续讲解24分钟,为了使效果更好,要求学生的注意

力指数在这24分钟内的最低值达到最大,那么,教师上课后从第几分钟开始讲解这道题?(精确到1分钟) (文)(本题满分14分)本题共有2个小题,.第(1)小题满分7分,第(2)小题满分7分.

x2y2已知椭圆E的方程为??1,右焦点为

43y F,直线l的倾斜角为

?22,直线l与圆x?y?3相切4O F Q A l x B 于点Q,且Q在y轴的右侧,设直线l交椭圆E于两个不同点A,B.

(1)求直线l的方程; (2)求?ABF的面积. 解:

4 / 6

21.(本题满分14分)本题共有2个小题,.第(1)小题满

分7分,第(2)小题满分7分..

x2y2已知椭圆E的方程为??1,右焦点为F,直

43线l与圆x?y?3相切于点Q,且Q在y轴的右侧,设直线l交椭圆E于不同两点A(x1,y1),B(x2,y2). (1)若直线l的倾斜角为

22y O F Q A l x B ?,求直线l的方程; 4

(2)求证:|AF|?|AQ|?|BF|?|BQ|.

(文)(本题满分14分)本题共有2个小题,.第(1)小题满分7分,第(2)小题满分7分..

科学研究表明:一般情况下,在一节40分钟的课中,学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化。开始上课时,学生的注意力逐步增强,随后学生的注意力开始分散。经过实验分析,得出学生的注意力指数y随时间x(分钟)的变化规律为:

0?x?8?2x?68,?y?f(x)??12

?(x?32x?480),8?x?40??8(1)如果学生的注意力指数不低于80,称为“理想听课状态”,则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长?(精确到1分钟)

(2)现有一道数学压轴题,教师必须持续讲解24分钟,为了使效果更好,要求学生的注意

力指数在这24分钟内的最低值达到最大,那么,教师上课后从第几分钟开始讲解这道题?(精确到1分钟) 解:

22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)

小题满分6分.已知函数f(x)?loga1?x(0?a?1). 1?x(1)求函数f(x)的定义域D,并判断f(x)的奇偶性;

(2)如果当x?(t,a)时,f(x)的值域是???,1?,求a与t的值;

(3)对任意的x1,x2?D,是否存在x3?D,使得f(x1)?f(x2)?f(x3),若存在,求出

x3;若不存在,请说明理由.

5 / 6

(文)(本题满分16分)本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第

(3)小题满分6分.

已知函数f(x)?loga

1?x(0?a?1). 1?x(1)求函数f(x)的定义域D,并判断f(x)的奇偶性; (2)用定义证明函数f(x)在D上是增函数;

(3)如果当x?(t,a)时,函数f(x)的值域是???,1?,求a与t的值. 解:

23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小

题满分8分. 设数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,已知4Sn?an?2an?1(n?N). (1)证明数列{an}是等差数列,并求其通项公式;

2* k p?N, m?p?2k,都有(2)证明:对任意m、、*112??; SmSpSk(3)对于(2)中的命题,对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗?如果成立,请证明你的结论,如果不成立,请说明理由. (文)(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3

小题满分8分.

设数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,已知4Sn?an?2an?1(n?N) (1)证明数列{an}是等差数列,并求其通项公式;

*(2)是否存在k?N,使得Sk2?ak?2048,若存在,求出k的值;若不存在请说明理由;

22* k p?N, m?p?2k,都有(3)证明:对任意m、、解:

*112??. SmSpSk6 / 6

闵行区2012学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷

参考答案与评分标准

说明:

1.本解答仅列出试题的一种或两种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答中的评分标准进行评分.

2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 一、(第1题至第14题) 1. 2. 3. 4. (?1,1);2?2i;3;?2;2; 5.

212,文r??1; 8.5; 9.理,文200; 10.;

5432111.理a?2或a?5,文a?1或a?3; 12.理,文; 13.理15,文5; 14.理

33(?4,?2),文15.

6.20; 7.理?二、(第15题至第18题) 15.A; 16.B; 17.A; 18.D. 三、(第19题至第23题) 19. [解]

2sinx3(sinx?cosx)?sin2x?3cos2x?2sin(2x??) ?3分 sinx?cosxcosx3所以函数f(x)的最小正周期为? ???????3分

???2?(2)y?f(x?)?2sin[2(x?)?]?2sin(2x?) ?????????2分

2233(1)f(x)?[来源:Zxxk.Com]∵x?[0, ],∴??22?32?2?? ?????2分 ?2x??,?1?sin(2x?)?32333 3]. ???????2分 ∴y?[?2,另解:y?f(x??)?2sin[2(x?)?]?2sin(2x???)??2sin(2x?) ?2分

22333????∵x?[0, ],∴

??32?2x??3?3?4??sin(2x?)?1 ????????2分 ,?233∴?2??2sin(2x??3 3]. ??????????2分 )?3,即y?[?2,20. [解](理)(1)由于学生的注意力指数不低于80,即y?80

当0?x?8时,由2x?68?80得6?x?8; ????2分

2当8?x?40时,由?(x?32x?480)?80得8?x?16?46;????2分

18?所以x??6,16?46?,16?46?6?10?46?20

?故学生处于“理想听课状态”所持续的时间有20分钟. ?????3分

7 / 6

(2)设教师上课后从第t分钟开始讲解这道题,由于10?46?24

所以t??0,6? ??????????????????????2分 要学生的注意力指数最低值达到最大,只需f(t)?f(t?24)

即2t?68??[(t?24)2?32(t?24)?480] ???????????2分 解得t?86?16?4 ???????????????2分

所以,教师上课后从第4分钟开始讲解这道题,能使学生的注意力指数最低值达到最

18大. ???????????????????????????1分 (文)(1)设直线l的方程为y?x?m,

则有|m|?3,得m??6 ??????????????3分 2又切点Q在y轴的右侧,所以m??6,???????????2分 所以直线l的方程为y?x?6 ?????????????2分 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2)

?y?x?6?2由?x2y2得7x?86x?12?0 ??????????2分

?1??43?x1?x2?8612,x1x2? 7746 ?????2分 7|AB|?1?1|x1?x2|?2(x1?x2)2?4x1x2?又F(1,0),所以F到直线l的距离d?所以?ABF的面积为

|1?6|1?(23?2) ??2分 2212|AB|d?(32?23) ?????1分 2721. [解](理)(1)设直线l的方程为y?x?m,

则有|m|?3,得m??6 ??????????????3分 28 / 6

又切点Q在y轴的右侧,所以m??6,???????????2分 所以直线l的方程为y?x?6 ?????????????2分 (2)因为?AOQ为直角三角形,所以|AQ|?OA2?OQ2?x12?y12?3[来源:学&科&网Z&X&X&K]

x12y121又??1得|AQ|?x1 ?????????????????2分

432x12y121|AF|?(x1?1)?y 又??1得|AF|?2?x1 ?????2分

432221所以|AF|?|AQ|?2,同理可得|BF|?|BQ|?2 ?????2分 所以|AF|?|AQ|?|BF|?|BQ| ?????????????????1分 (文)(答案与评分标准同理科第20题) 22. [解](理)(1)令

1?x?0,解得?1?x?1,D???1,1??????2分 1?x?11?x?1?x??1?x??loga???log对任意x?D,f(?x)?logaa?????f(x) 1?x1?x1?x????所以函数f(x)是奇函数. ?????????????????????2分

另证:对任意x?D,f(?x)?f(x)?loga1?x?1?x??loga???loga1?0 1?x1?x??所以函数f(x)是奇函数. ?????????????2分 (2)由

1?x21?x知,函数g(x)?在??1,1?上单调递减, ??1?1?xx?11?x因为0?a?1,所以f(x)在??1,1?上是增函数 ?????????2分 又因为x?(t,a)时,f(x)的值域是???,1?,所以(t,a)?(?1,1) 且g(x)?1?x在(t,a)的值域是(a,??), 1?x1?a故g(a)??a且t??1(结合g(x)图像易得t??1)?????2分

1?aa2?a?1?a解得a?2?1(?2?1舍去).

所以a?2?1,t??1 ?????????????2分

9 / 6

(3)假设存在x3?(?1,1)使得f(x1)?f(x2)?f(x3) 即loga1?x31?x11?x2 ?loga?loga1?x11?x21?x31?x31?x11?x21?x11?x21?x3, loga(?)?loga???1?x11?x21?x31?x11?x21?x3解得x3?x1?x2, ?????????????3分

1?x1x22?x1?x2?x?x2?(?1,1),即证:下证:x3?1???1.

1?x1x21?xx?12?222?x1?x2?(x1?x2)2?(1?x1x2)2x12?x2?1?x12x2(1?x12)(1?x2)?1????证明:? ?2221?xx(1?xx)(1?xx)(1?xx)?12?1212122 1?x22?0,(1?x1x2)2?0 ?x1,x2?(?1, 1),∴1?x12?0,?x1?x2??x1?x2?(1?x12)(1?x22)?1?0?0∴,即,∴?????1

1?xx1?xx(1?x1x2)2?12??12?所以存在x3?22x1?x2?(?1,1),使得f(x1)?f(x2)?f(x3) ?????3分

1?x1x22?x?x2?2222另证:要证明?1??1,即证(x1?x2)?(1?x1x2),也即(1?x1)(1?x2)?0.

?1?x1x2??x1,x2?(?1,1),∴1?x12?0,1?x22?0,∴(1?x12)(1?x22)?0, ?x?x2?∴?1??1. ?1?x1x2?2x1?x2?(?1,1),使得f(x1)?f(x2)?f(x3) ?????3分

1?x1x21?x(文)(1)令?0,解得?1?x?1,D???1,1? ?????2分

1?x所以存在x3?[来源学科网ZXXK]1?x?1?x??1?x??loga???log对任意x?D,f(?x)?logaa?????f(x) 1?x?1?x??1?x?所以函数f(x)是奇函数. ?????2分

?110 / 6

另证:对任意x?D,f(?x)?f(x)?loga1?x?1?x??loga???loga1?0 1?x?1?x?所以函数f(x)是奇函数. ??????????2分 (2)设x1,x2?(?1,1),且x1?x2,

f(x1)?f(x2)?loga1?x11?x21?x11?x21?x1x2?(x2?x1)?loga?loga(?)?loga1?x11?x21?x11?x21?x1x2?(x2?x1)

????2分 ∴1?x1x2?(x2?x1)?[1?x1x2?(x2?x1)]?2(x2?x1)?0 ∴1?x1x2?(x2?x1)?[1?x1x2?(x2?x1)]?0 ∴

1?x1x2?(x2?x1)1?x1x2?(x2?x1)?0???2分 ?1 ∵0?a?1 ∴loga1?x1x2?(x2?x1)1?x1x2?(x2?x1)∴f(x1)?f(x2)?0,∴f(x1)?f(x2)

所以函数f(x)在D上是增函数. ??????????????????2分 (3)由(2)知,函数f(x)在??1,1?上是增函数, 又因为x?(t,a)时,f(x)的值域是???,1?, 所以(t,a)?(?1,1)且g(x)?故g(a)?1?x在(t,a)的值域是(a,??), ?????2分 1?x1?a?a且t??1(结合g(x)图像易得t??1) ???????2分 1?aa2?a?1?a解得a?2?1(?2?1舍去)

所以a?2?1,t??1 ???????????????2分

2223. [解](理) (1)∵4Sn?an?2an?1,∴当n?2时,4Sn?1?an?1?2an?1?1. 两式相减得4an?an?an?1?2an?2an?1,

∴(an?an?1)(an?an?1?2)?0 ??????????2分 ∵an?0,∴an?an?1?2, 又4S1?a1?2a1?1,∴a1?1

∴{an}是以a1?1为首项,d?2为公差的等差数列. ?????????1分 ∴an?2n?1 ???????????????1分 (2)由(1)知Sn?222(1?2n?1)n?n2,

211 / 6

Sk?k, Sp?p ??????????2分 ∴Sm?m,112112k2(p2?m2)?2m2p2??????于是 SmSpSkm2p2k2m2p2k2222m?p22)(p?m2)?2m2p22, ??????????2分 ?222mpkmp?2pm?2m2p2??0 222mpk112??∴ ??????????2分 SmSpSk( (3)结论成立,证明如下: ??????????1分设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则Sn?na1?于是Sm?Sp?2Sk?ma1?[来源学科网ZXXK]

n(a1?an)n(n?1) d?22m(m?1)p(p?1)d?pa1?d?[2ka1?k(k?1)d] 22m2?p2?m?p?(m?p)a1?d?(2ka1?k2d?kd) ?????????2分

2(m?p)2d?0, 将m?p?2k代入得,Sm?Sp?2Sk?4∴Sm?Sp?2Sk ??????????2分

又SmSp?mp(a1?am)(a1?ap)4?mp[a12?(am?ap)a1?amap]4

a?ap2m?p22)[a1?2a1ak?(m)]22 ?42k2(a12?2a1ak?ak)k2(a1?ak)2???Sk2 ??????????2分

4411Sm?Sp2Sk2???2?. ??????????1分 ∴

SmSpSmSpSkSk((文)(1)∵4Sn?an?2an?1,∴当n?2时,4Sn?1?an?1?2an?1?1. 两式相减得4an?an?an?1?2an?2an?1,

∴(an?an?1)(an?an?1?2)?0 ??????????2分 ∵an?0,∴an?an?1?2,又4S1?a1?2a1?1,∴a1?1

∴{an}是以a1?1为首项,d?2为公差的等差数列.????????2分 ∴an?2n?1 ??????????1分

2222212 / 6

(2) 由(1)知Sn?22(1?2n?1)n?n2, ??????????2分

22假设正整数k满足条件,

则(k)?[2(k?2048)?1] ∴k?2(k?2048)?1,

解得k?65; ??????????3分

2 Sk?k, Sp?p ??????????2分 (3)Sm?m,112112k2(p2?m2)?2m2p2222于是S????p2?k2?mSpSkm2(m?p)2(p2?m2?2)?2m2p2m2p2k2 mp?2pm?2m2?p2m2p2k2?0 ∴1S?1S?2 mpSk

m2p2k2 ??????????2分 ??????????3分 ??????????1分 13 / 6

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/hpi7.html

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