2019届高三文科数学测试题（三）附答案

2019届高三文科数学测试题（三）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形

码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A??x|x?1?，B??x|ex?1?，则（ ） A．AB??x|x?1? B．AeRB?R

C．AB??x|x?e? D．eRAB??x|0?x?1?

2．为了反映国民经济各行业对仓储物流业务的需求变化情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．如图所示的折线图是2016年1月至2017年12月的中国仓储指数走势情况．

根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A．2016年各月的仓储指数最大值是在3月份 B．2017年1月至12月的仓储指数的中位数为54% C．2017年1月至4月的仓储指数比2016年同期波动性更大

D．2017年11月份的仓储指数较上月有所回落，显示出仓储业务活动仍然较为活跃，经济运行稳中向好

第1页（共8页） 3．下列各式的运算结果为实数的是（ ） A．(1?i)2

B．i2(1?i)

C．i(1?i)2

D．i(1?i)

4．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．如图是刘徽利用正六边

形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形的概率为（ ）

A．33 3?322?B．32 C．2? D．3?2 ．双曲线E:x2y25a2?b2?1?a?0,b?0?的离心率是5，过右焦点F作渐近线l的垂线，垂足为M，

若△OFM的面积是1，则双曲线E的实轴长是（ ）

A．1 B．2

C．2 D．22

6．如图，各棱长均为1的直三棱柱ABC?A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（ ）

A．1条

B．2条

C．3条

D．无数条

?2x?y?7．已知实数x，y满足?4?x?2y?4，则z?3x?2y的最小值是（ ）

??y?0A．4

B．5

C．6

D．7

8．函数f?x???2x?2?x?cosx在区间??5,5?上的图象大致为（ ）

第2页（共8页）

9．已知函数f?x??lgx4?x，则（ ）

A．f?x?在?0,4?单调递减

B．f?x?在?0,2?单调递减，在?2,4?单调递增 C．y?f?x?的图象关于点?2,0?对称

D．y?f?x?的图象关于直线x?2对称

10．如图是为了求出满足21?22???2n?2018的最小整数n， 和两个空白框中，可以分别填入（ ）

A．S?2018?，输出n?1 B．S?2018?，输出n C．S?2018?，输出n?1

D．S?2018?，输出n

11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b?a??3??cosC?sinC，a?2，c?26，?3???3则角C?（ ） A．

3? B．

?43 C．

?6 D．

?4 第3页（共8页） 12．设A，B是椭圆C:x2y24?k?1长轴的两个端点，若C上存在点P满足?APB?120?，则k的取值范围是（ ）

A．??4??0,3???12,???

B．??2??0,3???6,???

C．??2??0,3???12,???

D．??4??0,3???6,???

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知向量a???2,3?，b??x,?2?，若a??2a?b?，则实数x的值为 ． 14．曲线y?ex?sinx在点?0,1?处的切线方程是 ． 15．若tan??3，?????0,??2??，则cos???????4??? ．

16．已知球的直径SC?4，A，B是该球球面上的两点，AB?3，?ASC??BSC?30?，则棱锥S?ABC的体积为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）设Sn为数列?an?的前n项和，已知a3?7，an?2an?1?a2?2?n?2?． （1）证明：?an?1?为等比数列；

（2）求?an?的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？

18．（12分）如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，BC?平面AA1B1B，AB?AA1?2，?A1AB?60?． 第4页（共8页）

（1）证明：平面AB1C?平面A1BC； （2）若四棱锥A?BB1C1C的体积为

233，求该三棱柱的侧面积．

19．（12分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D（单位：分贝）与声音能量I（单位：W/cm2）之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii，

?i?1,2,,10?数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值．

W110表中i?lgIi，W?10?Wi． i?1（1）根据散点图判断，D?a1?b1I与D?a2?b2lgI哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量I的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程；

第5页（共8页） （3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I141和I2，且

I??1010．

已知点P的声音能量等于声音能量I1与I21I2之和．请根据（1）中的回归方程，判断P点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由． 附：对于一组数据?u1,v1?，?u2,v2?，

，?un,vn?其回归直线v??u??的斜率和截距的最小二乘

nu??(i?u)(vi?v)估计分别为??i?1?n，a??v???u． (u2i?u)i?1

20．（12分）过抛物线C:x2?2py?p?0?的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，AF?2． （1）求抛物线C的方程；

（2）若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在一点M，使得MA?MB，并说明理由．

第6页（共8页）

??x?ex?2a??ax2． ，求a的值； ，求a的取值范围． 第7页（共8页） 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：??x?cos??sin?（?为参数，???y?0,??），将曲线C1经过伸缩变换：??x'?x?y'?3y得到曲线C2．

（1）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C2的极坐标方程； （2）若直线l：??x?tcos?（t为参数）与C?y?tsin?1，C2相交于A，B两点，且AB?2?1，求?的

值．

23．（10分）选【修4-5：不等式选讲】

已知函数f?x??x?1?x?2，g(x)?x2?x?a． （1）当a?5时，求不等式f?x??g?x?的解集；

（2）若不等式f?x??g?x?的解集包含?2,3?，求a的取值范围．

第8页（共8页）

21．（12分）已知a?R，函数f?x（1）若f?x?有极小值且极小值为0（2）当x?R时，f?x??f??x??0

高三文科数学（三）答 案

一、选择题． 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】C 10．【答案】A 11．【答案】D 12．【答案】A 二、填空题． 13．【答案】10

14．【答案】2x?y?1?0

15．【答案】255

16．【答案】3 三、解答题．

17．【答案】（1）见解析；（2）an?2n?1，是． 【解析】∵a3?7，a3?3a2?2，∴a2?3， ∴aa?1n?2an?1?1，∴a1?1，na?2?n?2?， n-1?1∴?an?1?是首项为2公比为2的等比数列． （2）由（1）知，ann?1?2，∴ann?2?1，

∴S2?2n?1n?1?2?n?2n?1?n?2，∴n?Sn?2an?n?2n?1?n?2?2?2n?1??0， ∴n?Sn?2an，即n，an，Sn成等差数列． 18．【答案】（1）见解析；（2）S?6?23．

第1页（共6页） 【解析】（1）证明：三棱柱ABC?A1B1C1的侧面AA1B1B中，AB?AA1， ∴四边形AA1B1B为菱形，

∴AB1?A1B，又BC?平面AA1B1B，AB1?平面AA1B1B，∴AB1?BC， ∵A1BBC?B，∴AB1?平面A1BC，AB1?平面AB1C，

∴平面AB1C?平面A1BC

（2）过A1在平面AA1B1B内作A1D?BB1于D， ∵BC?平面AA1B1B，BC?平面BB1C1C，

∴平面BB1C1C?平面AA1B1B于BB1，A1D?平面AA1B1B， ∴A1D?平面BB1C1C．

在Rt△A1B1D中，A1B1?AB?2，?A1B1B??A1AB?60?， ∴A1D?3，∵AA1∥BB1，∴A点到平面BB1C1C的距离为3． 又四棱锥A?BB1C1C的体积V?113S23BB1C1CA1D?3?3?2?BC?3，∴BC?1 在平面BB1C1C内过点D作DE∥BC交CC1于E，连接A1E，则DE?BC?1，

A1E?A1D2?DE2?2，

∴S??A1D?DE?A1E??AA1??3?1?2??2?6?23．

19．【答案】（1）D?a2?b2lgI更适合；（2）D??10lnI?160.7；（3）是，见解析．

【解析】（1）D?a2?b2lgI更适合．

（2）令Wi?lgIi，先建立D关于W的线性回归方程，

10(W??i?W)(Di?D)由于??i?15.1?n?(W0.51，∴a??D???W?160.7， i?W)2i?1∴D关于W的线性回归方程是D??10W?160.7，即D关于I的回归方程是D??10lnI?160.7．（3）点P的声音能量I?I1?I2，∵

1I?4?1010， 1I2 第2页（共6页）

∴I?I?14??I?I?I4I?1?I2?10?10???1?I2??10?10?5?2?1??9?10?10，1I2??II

12?根据（2）中的回归方程，点P的声音强度D的预报值

D?min?10lg?9?10?10??160.7?10lg9?60.7?60， ∴点P会受到噪声污染的干扰．

20．【答案】（1）C：x2?4y；（2）存在M点，见解析．

【解析】（1）由抛物线的定义可得p2?1?2?p?2，故抛物线方程为x2?4y．

（2）假设存在满足条件的点M?x0,y0?，则设直线AB:y?kx?1， 代入x2?4y可得x2?4kx?4?0，设A?x1,y1?，B?x2,y2?， 则x1?x2?4k，x1x2??4，

因为MA??x1?x0,y1?y0?，MB??x2?x0,y2?y0?，

则由MA?MB可得?x1?x0??x2?x0???y1?y0??y2?y0??0，

即?x?1?1?x0??x2?x0???1?16?x1?x0??x2?x0????0，也即?x1?x0??x2?x0??16?0，

所以x20?4kx0?12?0，由于判别式??16k2?48?16?4?3??0，此时x1??2，x2??6，

则存在点M??2,1?，M??6,9?，即存在点M?x0,y0?满足题设． 21．【答案】（1）a?12；（2）???,1?． 【解析】（1）f'?x???ex?2a??xex?2ax??x?1??ex?2a?，x?R， ①若a?0，则由f'?x??0解得x??1，

当x????,?1?时，f'?x??0，f?x?递减；当x???1,???时，f'?x??0，f?x?递增；

故当x??1时，f?x?取极小值f??1??a?e?1，令a?e?1?0，得a?1e（舍去），

若a?0，则由ex?2a?0，解得x?ln?2a?． （i）若ln?2a???1，即0?a?12e时，当x????,ln?2a??，f'?x??0，f?x?递增； 当x??ln?2a?,?1?，f'?x??0，f?x?递增；故当x??1时，f?x?取极小值f??1??a?e?1，

令a?e?1?0，得a?1e（舍去）．

（ii）若ln?2a???1，即a?12e时，f'?x??0，f?x?递增不存在极值； 第3页（共6页） （iii）若ln?2a???1，即a?12e时，当x????,?1?时，f'?x??0，f?x?递增； 当x???1,ln?2a??时，f'?x??0，f?x?递减；当x??ln?2a?,???时，f'?x??0，f?x?递增； 故当x?ln?2a?时，f?x?取极小值f?ln?2a????aln2?2a??0，得a?12满足条件， 故当f?x?有极小值且极小值为0时，a?12． （2）f?x??f??x??0等价于x?ex?e?x??2ax2?0，即x?ex?e?x??2ax2，

当x?0时，①式恒成立；当x?0时，x?ex?e?x??0，故当a?0时，①式恒成立；

以下求当x?0时，不等式x?ex?e?x??2ax2?0恒成立，且当x?0时不等式x?ex?e?x??2ax2?0恒成立时正数a的取值范围，

令ex?t，g?t??t?11t?2alnt以下求当t?1，g?t??t?t?2alnt?0恒成立，且当0?t?1，

g?t??t?1t?2alnt?0恒成立时正数a的取值范围，

对g?t?求导，得g??t??1?12at2?2at?1t2?t?t2，记h?t??t2?2at?1，??4a2?4， （i）当0?a?1时，??4a2?4?0，h?t??t2?2at?1?0，g'?t??0，

故g?t?在?0,???上递增，又g?1??0，故t?1，g?t??g?1??0，0?t?1，g?t??g?1??0， 即当0?a?1时，x?ex?e?x??2ax2式恒成立；

（ii）当a?1时，h?0??1?0，h?1??2?2a?0，故h?t?的两个零点即g'?t?的两个零点t1??0,1?和

t2??1,???，在区间?t1,t2?上，h?t??0，g'?t??0，g?t?是减函数， 又t1?1，所以g?t1??g?1??0，当a?1时①式不能恒成立． 综上所述，所求a的取值范围是???,1?． 22．【答案】（1）?2?233cos2??sin2??2cos2??1????0,???；（2）???3或??2?3． 【解析】（1）C221的普通方程为x?y?1?y?0?，

把??x'?x代入上述方程得，x'2?y'2?1?y'?0?，?y'?3y3∴Cy22的方程为x2?3?1?y?0?，令x??cos?，y??sin?， 所以C2的极坐标方程为?2?23cos2??sin2??32cos2??1????0,???． （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为??????R?，

第4页（共6页）

由????1?，得???2?323????A?1，由?2cos， ???1，得?B?????2cos2??1而

312cos2??1?1?2?1，∴cos???2，而???0,??，∴???3或??2?3． 23．【答案】（1）???1,1?33??2?；

（2）?3,???． ?【解析】（1）当a?5时，不等式f?x??g?x?等价于x?1?x?2?x2?x?5，① 当x??1时，①式化为x2?x?2?0，无解；

当?1?x?2时，①式化为x2?3x?4?0，得?1?x?2；

当x?2时，①式化为x2?x?8?0，得2?x?1?332， 所以f?x??g?x?的解集为???1,1?33??2?．

?（2）当x??2,3?时，f?x??3，

所以f?x??g?x?的解集包含?2,3?，等价于x??2,3?时，g?x??3， 又g?x??x2?x?a在?2,3?上的最大值为g?3??6?a， 所以g?3??3，即6?a?3，得a?3， 所以a的取值范围为?3,???．

第5页（共6页） 第6页（共6页）

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