四川省遂宁市2015届高三第二次诊断考试数学（理）试题（二模）

四川省遂宁市2015届高三第二次诊断考试

理科数学试题

1．已知集合A?{y|y?sinx}，B?{x|(x?3)(2x?1)?0}， 则A?B?

A．[?3,] B．[?1,] C．[?1,) D．(?3,)

2．在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生的听力成绩（单位：分）.

甲组 9 5 1 0 1 2 9 3 7 乙组 8 12121212x 7 y 已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则x、y的值分别为 A．2，5 B．5，5 C．5，7 D．8，7 3．已知复数z满足：zi?2?i（i是虚数单位），则z的虚部为 A．2i B．?2i C．2 D．?2

4．为了得到函数y?2sin3x的图象，可以将函数y?sin3x?cos3x 的图象

?个单位长

124??C．向左平移个单位长 D．向左平移个单位长

124A．向右平移

个单位长 B．向右平移

5．已知向量a?(?,1)，b?(??2,1)，若a?b?a?b，则实数?的值为 A．1 B．2 C．?1 D．?2 6．设a、b是实数，则“a?b”是“a?b?0”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．执行如图所示的程序框图，如果输入x，

22?t的值均为2，最后输出S的值为n，

在区间[0,10]上随机选取一个数D，

·1·

则D?n的概率为

45 B． 101067C． D．

1010A．

8．从3名语文老师、4名数学老师和5名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文、数学和英语老师都至少有1人的选派方法种数是

A．590 B．570 C．360 D．210

x2y29．已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的离心率为4，过右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N

ab两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若MN?10，则HF= A．14 B．16 C．18 D．20

10．若函数f(x)满足对任意的x?[n,m](n?m)，都有

n?f(x)?km 成立，则称函数f(x)在区k122间[n,m](n?m)上是“被K约束的”。若函数f(x)?x?ax?a在区间[,a](a?0)上是“被

a2约束的”，则实数a的取值范围是

A．(1,2] B．(1,33] 2C．(1,2] D．(2,2]

第Ⅱ卷（非选择题，满分100分）

注意事项： 1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填答题卷指定横线上） 11．圆心在原点且与直线y?2?x相切的圆的方程为 ▲

12．某几何体的三视图（单位：cm）如题所示，则此几何体的体积为

·2·

▲ cm

3

13．已知定义在R上的函数f(x)满足

1?f(x)，

f(x?1)且f(x)???1,?1?x?011，则f(f())? ▲

2??1,0?x?114．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为

75,30，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于 ▲ m

15．若函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)?2b（其中a,b不同时为0），则称函数y?f(x)为“准

奇函数”，称点(a,b)为函数f(x)的“中心点”。现有如下命题： ①函数f(x)?sinx?1是准奇函数；

②若准奇函数y?f(x)在R上的“中心点”为(a,f(a))，则函数F(x)?f(x?a)?f(a)不是R上的奇函数；

③已知函数f(x)?x3?3x2?6x?2是准奇函数，则它的“中心点”为(1,2)；

x为“准奇函数”，数列{an}是公差为④已知函数f(x)?2x?cos7n?的等差数列，若8[f(a4)]264，则 f(an)?7?（其中?ai表示?ai?a1?a2???an）??a1?a77i?1n?1i?1n其中正确的命题是 ▲ 。（写出所有正确命题的序号）

三、解答题（本大题共6个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。答在答题

卷指定位置。

·3·

16．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?5sinAsinx?cos2x(x?R)，其中A、B、C是?ABC的三个内角，且满足2cos(A??4)????2，A?(,)

4210（1）求sinA的值； （2）若f(B)?

▲

17．（本小题满分12分）

由于我市去年冬天多次出现重度污染天气，市政府决定从今年3月份开始进行汽车尾气的整治，为降低汽车尾气的排放量，我市某厂生产了甲、乙两种不同型号的节排器，分别从两种节排器中随机抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示。

3，且AC?5，求BC的值。 2

节排器等级如表格所示

综合得分K的范围

K?85 75?k?85 70?k?75

若把频率分布直方图中的频率视为概率，则

（1）如果从甲型号中按节排器等级用分层抽样的方法抽取10件，然后从这10件中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；

·4·

节排器等级 一级品 二级品 三级品

（2）如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，求其二级品数X的分布列及数学期望；

▲

18．(本小题满分12分)

CF∥EA，如图，已知四边形ABCD为正方形，且EA?EA?平面ABCD，

（1）求证：EC?平面BDF； （2）求二面角E?BD?F的余弦值。

▲

19．（本小题满分12分）

已知数列{an}为等差数列，其中a1?1,a7?13 （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn??2AB?2CF?2

1，Tn为数列{bn}的前n项和，当不等式?Tn?n?8?(?1)nan?an?1（n?N）恒成立时，求实数?的取值范围。

▲

20．（本小题满分13分）

已知定点A(?2,0)，F(1,0)，定直线l：x?4，动点P与点F的距离是它到直线l的距离的

1.2设点P的轨迹为C，过点F的直线交C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N两点。

·5·

（1）求C的方程；

（2）以MN为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。

▲

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?ex（ e?2.71828???是自然对数的底数）,

g(x)?ln(x?1)

（1）若F(x)?f(x)?g(x)，求F(x)的极值； （2）对任意x?0,证明：f(x)?g(x?1)； （3）对任意x?0,都有g(x)?

▲

ax成立，求实数a的取值范围。 x?1·6·

遂宁市高中2015届第二次诊断性考试

数学（理科）参考答案及评分意见

一、选择题：每小题5分，满分50分

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，

11．x?y?2； 12．90； 13．?1； 14．1203?120 15．①③④ 三、解答题（本大题共6个小题，共75分） 16．（本小题满分12分） 解：（1）因为A?(22????3??2,)，所以A??(,)，又cos(A?)??， 42424410从而sin(A??4)?1?cos2(A??4)?72 ................3分 10所以sinA?sin[(A??4)??4]?sin(A??4)cos?4?cos(A??4)sin?4?4. 5..............6分

（2）f(x)?2sinx?cos2x?2sinx?1?2sinx??2(sinx?)?因为f(B)?21223， 2?5?31所以sinB?，从而B?或（舍去）。 ...............9分

6622BC5?由正弦定理知，所以BC?8 ...............12分 sinAsinB

17．（本小题满分12分）

②由已知及频率分布直

·7·

方图中的信息知，乙型号的节排器中一级品的概率为为

71，二级品的概率为，三级品的概率1041，如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，则二级品数X可能的值为0，1，2，203 ...............6分

又P(X?0)?C033273?(4)?64

P(X?1)?C113273?(4)1?(4)2?64

P(X?2)?C21393?(4)2?4?64

P(X?3)?C3113?(4)3?64

因而X的分布列为

X

0 1 2 P

272764 64 964 E(X)?0?2764?1?2764?2?964?3?164?34 （法二：因为X～B(3,14)，所以E(X)?34）

18．(本小题满分12分)

·8·

3

164 ...............10分

..............12分

（法二）

以点A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，AB所在直线为y轴，AE所在直线为z轴建立直角坐标系，则

A(0,0,0);B(0,2,0);D(?2,0,0);C(?2,2,0);F(?2,2,1);E(0,0,2)，

所以BD?(?2,?2,0);BF?(?2,0,1);EC?(?2,2,?2) 从而有EC·BD=0，EC·BF=0 所以EC?BD,EC?BF 又因为BD

由（1）知向量EC为平面BDF的法向量 设平面EBD的法向量为n?(x,y,z)

BF?B,从而EC?面BDF ...............6分

??n?BD?0???2x?2y?0则?即?；令z?1得x??2,y?2 ??n?ED?0???2x?2z?0故 cos?n,EC??n?ECn?EC?210 ...............10分 ?1021010 ...............12分 10所以二面角E?BD?F的余弦值为

·9·

①当n为偶数时，要使不

?等式?Tn?n?8?(?1)n（n?N）恒成立，只需不等式??(n?8)(2n?1)8?2n??17恒

nn在

成立即可，∵

2n?8?8n，等号

n?2时取得，

∴??25 ...............9分

②当n为奇数时，要使不等式?Tn?n?8?(?1)n（n?N）恒成立，只需不等式

???8(n?8)(2n?1)8?2n??15恒成立即可，∵2n?是随n的增大而增大，∴n?1时，

nnn82n?取得最小值?6，∴???21 ...............11分

n综合①②可得?的取值范围是(??,?21) ...............12分

20．（本小题满分13分）

(x?1)2?y21? 0)，设P(x，y)为C上任意一点，依题意有解：（1）F(1，x?42x2y2??1 ...............5分 ∴ 43（2）易知直线DE斜率不为0，设直线DE方程为x?ty?1

·10·

?x?ty?1?由?x2y2，得(3t2?4)y2?6ty?9?0

??1?3?4设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1?y2?由A(?2，0)，知AD方程为y?0??6t?9yy?， ...............7分 123t2?43t2?4y1?06y(x?2)，点M坐标为M(4，1) x1?2x1?2同理，点N坐标为N(4，6y2) ...............9分 x2?20)在以MN为直径的圆上 由对称性，若定点存在，则定点在x轴上。设G(n，则GM?GN?(4?n，6y16y36y1y2)?(4?n，2)?(4?n)2??0 x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)∴ (4?n)?236y1y236y1y2?(4?n)2?2?0 ……11分

(ty1?3)(ty2?3)ty1y2?3t(y1?y2)?9即(4?n)?236?(?9)?0，(4?n)2?9?0，n?1或n?7 22?9t?3t(?6t)?9(3t?4)0)和(7，0) ...............13分 ∴ 以MN为直径的圆恒过x轴上两定点(1，注：1.若只求出或证明两定点中的一个不扣分。2.也可以由特殊的直线l，如x?1，得到圆与x0)和(7，0)后，再予以证明。3.用几何法证明也给满分。 轴的交点(1，

21．（本小题满分14分）

解：（1）设F(x)?e?ln(x?1)令F(x)?e?'x'x1?0?x?0 x?1' 当x?(?1,0)，F(x)?0，当x?(0,??)，F(x)?0

所以当x?(?1,0)时，F(x)单调递减，当x?(0,??)时，F(x)单调递增 从而当x?0时，F(x)取得的极小值F(0)?1 …………3分 （2）证明：令G(x)?e?x?1，G(x)?e?1，当x?(0,??)，G(x)?0

所以当x?(0,??)时G(x)单调递增；G(x)?G(0)?0(x?0)；

·11·

x'x'

所以e?x?1?0?x?ln(x?1)，?(x?1)?ln(x?2)?g(x?1)

xf(x)?ex?x?1?g(x?1)

所以f(x)?g(x?1) …………8分 （3）令h(x)?(x?1)ln(x?1)?ax， h(x)?ln(x?1)?1?a，令h （i）当a?1时，x?e数.

所以有h(x)?h(0)?0(x?0)

即当a?1时，对于所有x?0，都有g(x)?a?1''(x)?0解得x?ea?1?1.

?1?0所以对所有x?0，h'(x)?0；h(x)在[0,??)上是增函

ax. x?1 （ii）当a?1时,对于0?x?ea?1?1,h'(x)?0,所以h(x)在(0,ea?1?1)上是减函数， 从而对于0?x?ea?1?1有h(x)?h(0)?0，

即

f(x)?ac，所以当a?1时，不是对所有的x?0都有g(x)?ax成立. x?1综上，a的取值范围是(??,1) …………14分

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