高等数学第四章 定积分及其应用

《高等应用数学实训教程》

第四章 定积分及其应用

一、学习要点

了解定积分的概念、几何意义及性质．

? 了解原函数存在定理，能够利用该定理求解变上限定积分的导数．

? 熟练掌握定积分的常用方法：牛顿—莱布尼兹公式、换元积分法、分部积分法． ? 掌握在直角坐标系下用定积分计算平面图形围成图形的面积的方法． ? 会计算绕坐标轴旋转生成的旋转体的体积，了解极坐标系中面积的求法． ? 了解无穷积分收敛的概念，能够判断和计算简单的无穷积分．

?

二、相关知识总结

1．定积分定义：定积分是一个数且与积分变量字母无关.

2．定积分的几何意义是：介于直线x?a和x?b之间，x轴之上、下相应的曲边梯形的面积的代数和.

3．定积分的性质: （1）

??? b a[k1f(x)?k2g(x)]dx?k1 a? a b af(x)dx?k2? b ag(x)dx；

（2）

b af(x)dx??? bf(x)dx， ? af(x)dx?0；

（3）

b af(x)dx?? c af(x)dx? b? b cf(x)dx；

b（4）若f(x)≥g(x)，则

? af(x)dx≥? ag(x)dx；

（5）积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]至少存一点?有

? b af(x)dx?f(?)(b?a)，??[a,b]；

（6）估值定理：若f(x)在[a,b]上可积，且m≤f(x)≤M 则有不等式m(b?a)≤? b af(x)dx≤M(b?a).

4．若函数f(x)在[a,b]上连续，则有

bddx? x af(t)dt?f(x).

5．重要补充：（1）

? adx?b?a.

- 1 -

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（2）

? a ?a?0?f(x)dx??2??当f(x)是奇函数? a 0f(x)dx当f(x)是偶函数.

6．变上限定积分（原函数存在定理）?(x)??f(t)dt是[a,b]上的一个可导函数，自变

a x量x，且??(x)?f(x).

7．牛顿—莱布尼兹公式：若F?(x)?f(x)，则等函数，此公式成立）.

8．定积分与不定积分的本质联系： ddxddx? b af(x)dx?F(b)?F(a)（F(x)必是初

?f(x)dx?f(x)? x af(t)dt?f(x).

9．定积分的换元积分法：

? b af(x)dx?? ? ?f(?(t))d?(t)x??(t).

?(?)?a?(?)?bt?[?,?]10．注意：定积分换元法中每进行一次变量替换，同时要将上、下限作相应的改变，而不要将新变量称成旧积分变量.

11．定积分的分部积分法：

b b? au(x)dv(x)?u(x)v(x)|ba?? av(x)du(x).

注意：此公式与不定积分的分部公式相似，只是每项带有积分限. 12．对于面积的应用，选择合适的积分变量，可以简化计算． （1）在直角坐标系中的面积（用x（或y）作积分变量）． （2）在极坐标系下的面积：

1曲线方程???(?)求由???(?)及???、???所围成的曲边扇形面积A?2? ? ??2(?)d?.

13．对于旋转体体积的应用：

（1）求由曲线y?f(x)及直线x?a、x?b、x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转的体积：v?? b aπy2dx?π? a?f(x)?dx.

? d c b2（2）若曲线是x??(x)、y??c,d?，曲线绕y轴旋转的体积：v?π三、重点例题剖析

- 2 -

xdy?π2? d c??(y)?dy.

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（一）基础题

1．设在区间[a,b]上f(x)?0，f?(x)?0，f??(x)?0.令S1??baf(x)dx，

1S2?f(b)(b?a)，S3?[f(a)?f(b)](b?a)，试说明三者之间的大小关系．

2解 用几何意义.如图4—1所示：曲线y?f(x)是上半平面的 一段下降的凹弧，S1是曲边梯形ABCD的面积， S3是梯形

ABCD的面积，S2是矩形ABCE的面积，显然有S2?S1?S3．

2.利用定积分定义计算

?10exdx.

图4—1 解 由于被积函数在积分区间上连续，因此将积分区间[0,1]n等分，并取子区间

[i?1ii,]的右端点作为介点?i?，从而有 nnn

?10exdx?lim11e[1?(e)]1e(1?e)e?lim?lim ?11n??nn??nn??ni?11?en1?en1n1x1nin1n1nn1n1xe1121?e1?e?lim(?ex)??1 ?lim由于limn(1?en)?lim ?limx2x???1/xx??n??n??1/nx??1/x所以

?10exdx?1?e?e?1． ?13．利用定积分的性质说明下列积分值的大小: （1）

?10xdx与?ln(1?x)dx； （2）?edx与?(1?x)dx．

0001111x1解（1）由于当x?0时，x?ln(1?x)，故?xdx比?ln(1?x)dx大．

00（2）由于当x?0时，x?ln(1?x)，故有e?1?x，因此4．设f?(x)在?0,a?上连续，且f(0)?0，证明：

x?10exdx比?(1?x)dx大．

01?a0Ma2f(x)dx?，其中M?

2 - 3 -

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maxf?(x)．

0?x?a证明 由泰勒中值定理知，当0?x?a时，f(x)?f(0)?f?(?)x?xf?(?) （0???x），从而f(x)?Mx，于是

?a0f(x)dx??|f(x)|dx?M?0aa0Ma2xdx?．

25．利用Newton-Leibniz公式计算下列各定积分：

?（1）

?40tan2?d?； （2）?|sinx|dx．

02???20?解 （1）

?404tan?d???4(sec??1)d??[tan???]0?1??4．

（2）

??2?02?|sinx|dx??sinxdx??(?sinx)dx ?[?cosx]?0?[cosx]??4．

0?2??6．估计下列各积分的值： （1）

313xarctanxdx； （2）?e02x2?xdx．

解 （1）在区间[有f(1,3]上，函数f(x)?xarctanx单调增加，因此， 31??)?f(x)?f(3)，即?xarctanx?，故有 3633

?9??13?633dx??1xarctanxdx??1333?32dx??．

332（2）设f(x)?x?x，x?[0,2]，则f?(x)?2x?1，f(x)在[0,2]的最大值与最

小值必为f(0),f(),f(2)中的最大值和最小值，即最大值和最小值分别为f(2)?2和

112?22?211f()??，因此有2e4??e4dx??ex?xdx??e2dx?2e2．

00024127．设x??1，求

?x?1(1?t)dt．

解 当?1?x?0时，原式??x?1(1?t)dt?11x(1?t)2|??(1?x)2； 122 - 4 -

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0x12x?0?(1?t)dt?(1?t)dt?1?(1?x)当时，原式?． ?0?12dx22(x?t)f(t)dt，其中f(t)为已知的连续数． 8．计算?0dx?x2x2x2??2解 原式?x?f(t)dt??tf(t)dt?2x?f(t)dt．

??00?0?9．f(x)??x0(t?t2)sin2ntdt,n?N，在?0,???上最大值不超过

1．

(2n?2)(2n?3)22n证明 由于f?(x)?(x?x)sinx(x?0)，当0?x?1时，f?(x)?0；当x?1时，

除去x?k?(k?N)的点外，都有f?(x)?0，故当x?1时，f(x)取得最大值f(1)，即：

22n22n当x?0时， f(x)?f(1)??(t?t)sintdt??(t?t)tdt?00111．

(2n?2)(2n?3)10．设y?f(x)是区间?0,1?上的任一非负连续函数．

（1）试证存在x0?(0,1)，使得在区间?0,x0?上以f(x0)为高的矩形面积，等于在 区间?x0,1?上以y?f(x)为曲边的曲边梯形面积； （2）又设f(x)在区间(0,1)内可导，且f?(x)??的．

证明（1）设F(x)?x2f(x)，证明上题中的x0是唯一x?1xf(t)dt，则F(0)?F(1)?0且F?(x)??f(t)dt?xf(x)，

x1对F(x) 在?0,1?上应用罗尔中值定理知，?x0?(0,1)使得F?(x0)?0，即命题得证． （2）设?(x)??1xf(t)dt?xf(x)，则当x?(0,1)时，有

??(x)??2f(x)?xf?(x)?0，所以?(x)在(0,1)内单调递减，故命题得证．

1x2t2?x2dt． 11．求极限lim?(1?t)ex??x0

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解 因为

?x0(1?t)ex2t2?x2dt?et2?x2?x0(1?t2)etdt

2? 所以原式?limx??0(1?t)edtxex22?limx??(1?x2)ex2(1?2x2)ex2?1． 212．设f(x)在?0,1?上可微，且满足条件f(1)?2使f(?)??f?(?)?0．

?120xf(x)dx，试证：存在??(0,1)

证明 令F(x)?xf(x)则F(x)在[0,1]上可微，又由f(1)?2?120xf(x)dx及积分中值

1)，于是F(x)在[?,1]上满足定理可知：???[0,]使f(1)??f(?)，即F(?)?F(罗尔中值定理条件，故???(?,1)?(0,1)使得F?(?)?f(?)??f?(?)?0．

13．f(x)在?0,1?上非增且连续，证明对任意a?(0,1)有证明 记F(a)?12?a0f(x)dx?a?f(x)dx．

0111af(x)dx?f(x)dx（a?(0,1)），则 ??00a F?(a)?af(a)??f(x)dxa02a?f(a)?f(?)?0,(0???a)

a故F(a)在(0,1]上单调减少，从而当a?(0,1)时，有F(a)?F(1)，故命题得证．

14．运用换元积分法计算下列定积分： （1）

???01(1?sinx)dx ； （2）?13121?x2dx）； 2x（3）

34?dx3； （4） ?2?cosx?cosxdx．

?1?x?12解 （1）

??0(1?sinx)dx??dx??sinxdx ????(1?cos2x)d(cosx)

0003??3? ???(cosx?cosx)|0???133?4． 3 - 6 -

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（2）

?112x?sinu?1?x2cos2u2dxdu ?22?x4sinu?2?2???2(cosu?1)du?[?cotu?u]??1?44?4．

（3）

??134u?1?x0?2ududx ?1??2[u?ln(1?u)]01?1?2ln2．

1?x?12u?12??（4）

??22cosx?cosxdx?2??320cosxsinxdxu?cosx?2?01udu?4． 315．设an??40tannxdx，求an?an?2．

??解 an?an?2??40tanx(1?tanx)dx??4tannxdtanx

n20?11n?14tanx|0? ?． n?1n?116．设f(x)??x1lntdt，其中x?0，求f(x)?1?t?1?f??． ?x?1lntt?1/yxlny?1?xdtdy，于是： 解 f?????111?ty(1?y)?x?xlntxlntxlnt1?1?f(x)?f????dt??dt??dt?ln2x．

1t(1?t)1t2?x?11?t17．设函数f(x)在(??,??)内满足f(x)?f(x??)?sinx且f(x)?x,x?? ?0,??，计算

??3?f(x)dx．

3?3?解

??3?f(x)dx??[f(x??)?sinx]dx????f(x??)dx2?t?x???2?0f(t)dt

??f(t)dt??0?2??f(t)dt??tdt??[f(t??)?sint]dt0?? - 7 -

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??22??2??f(t??)dt??sintdt

?2?u?t???22??f(u)du?2??2?2．

0?18．运用分部积分法计算下列定积分： （1）

?10exarctanxdx； （2）?(xsinx)2dx；

0?（3）（4）

?1esin(lnx)dx； （3）?(x?x)edx；

?212x?12?x?1|lnx|dx； （6）?1ee21dx．

111211x221dx 解 （1）?xarctanxdx??arctanxd(x)?[xarctanx]0??20002221?x ??2?1?1?[x?arctanx]1??． 08242（2）

?01?2?31?2(xsinx)dx??x(1?cos2x)dx??xd(sin2x)

2064?0121??31???[xsin2x]0??xsin2xdx???xd(cos2x) ?064264011??3???[xcos2x]0??cos2xdx??． ?644064（3）

?3?3?2?22(x?x)edx?2?xe?xdx??2xe?x|0?2?e?xdx

00?x222?(?2xe?x?2e?x)|0?2?6． e210（4）

?e1sin(lnx)dxx?eu?10ueusinudu?[eusinu]10??ecosudu 11uu?esin1?[eucosu]10??esinudu?e(sin1?cos1)?1??esinudu；

00e所以

?1sin(lnx)dx?e1(sin1?cos1)?． 22- 8 -

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（5）

?|lnx|dx???lnxdx??1e1ee1e1lnxdx

e1e ??[xlnx]?11e?11e2dx?[xlnx]??dx?2?．

1e1（6）

?1e212x?1dxt?2x?1?10tt1?1． tetdt?tet|10??edt?e?e|0019．设f(x)??x0?sintdt，求?f(x)dx．

0??t解

??0?f(x)dx?xf(x)|?0??xf(x)dx???0??0?sintsinxdt??xdx

0??t??x ?20．设f(x)?1?1?0???xsinxdx??sinxdx?2．

0??x?x21sinttdt，求?xf(x)dx．

0t2221x1xsinxx21f(x)]0??f?(x)dx????2xdx 解 ?xf(x)dx?[000222x2 ?1cos1?1[cosx2]1?． 02221．已知函数f(x)??（1）S0?（3）Sn??x,0?x?1计算下列个题：

?2?x,1?x?242?20f(x)e?xdx； （2）S1??f(x?2)e?xdx； f(x?2n)edx(n?2,3,...)； （4）S??Sn．

?xn?0??2n?22n1解（1）S0??0xedx??(2?x)e?xdx

1?x102|??e?xdx?(2?x)e?x|1??e?xdx

0112?x2 ?xe ?1?2e?e?1?2?(1?e?1)2.

（2）令t?x?2，则S1?

?42f(x?2)e?xdx?S1??f(t)e?t?2dt?e?2S0.

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（3）令t?x?2n，则Sn?（4）S??20f(t)e?t?2ndt?e?2nS0.

??Sn??(en?0n?0???2nS0)?S0?e?2n?n?0S0e?1． ??21?ee?122．f(x)在?0,??上有二阶连续导数，f(0)?0，证明：

??0?0?f(x)?f??(x)?sinxdx??f?(x)dx．

0?证明

??f(x)?f??(x)?sinxdx???f(x)dcosx??sinxdf?(x)

00?? ??f(x)cosx|0? ?f(?)?f(0)?????0f?(x)dcosx?f?(x)sinx|0??f?(x)dcosx

0???0f?(x)dx．

23．计算下列广义积分： （1）

???1??arctanxxe?xdx； （2）?dx； 2?x20x(1?e)（3）

?edxx1?(lnx)21； （4）

?10xdx． 1?x解 （1）

???1????arctanx11dx??dx??arctanxd()??arctanx|? 122??11xxxx(1?x)??4?limb???1?b1x?112(?)dx??lim[lnb?ln(1?b)?ln2] 2b???x1?x422?（2）

?1b?1?ln2?limln??ln2．

b???421?b242???????1xe?xxex?xd(dx?dx?0(1?ex)2?01?ex) (1?e?x)2?0????x????11|?dx?dx x0xx??001?e1?e1?e - 10 -

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x令e?t，则dx?dt，于是

1t???0????1xe?x11t??dx?dt?(?)dt?ln|1?ln2． ?x2??00(1?e)t(1?t)t1?t1?t（3）

??edxx1?(lnx)21??ed(lnx)1?(lnx)21e?[arcsin(lnx)]1??2．

（4）

10uxxxu，令，记，则 dx?limdxt??(u)?x?1??01?x1?x1?x1?u?10?(u)?(u)x2t22?1dx?limdt?lim[?td(1?t)] 22???0?0u?1u?11?x(1?t)? ?lim[?u?1tu??(u)?arctant] ． ?lim[?u(1?u)?arctan]?1u?1?1?t21?u2??24．讨论下列广义积分的敛散性： （1）

???3dxx4?10； （2）

?1dx；

1?x（3）

1arctanxlnxdx； （4）?01?x?01?x3dx． 1解（1）由于limx|f(x)|?limx???43x???3??4dx收敛． ?1，p??1，所以?34403x?1x?1x43（2）由于limx|f(x)|?limx???12x1?x12x????1,p???dx1发散． ?1，所以?121?x?lnx2(1?x)1/2（3）x?1是瑕点，由于lim(1?x)|f(x)|?lim?lim?0， 1/2x?1?x?1?(1?x)x?1?xp?1lnxdx1，??0，所以?收敛．

01?x2（4）x?1是瑕点，

?x)|f(x)|?lim由于lim(1??x?1x?1arctanx???p?1,???0， ，

x2?x?11212所以

arctanx?01?x3dx发散．

1 - 11 -

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25．如图4—2,求曲线y?lnx与x?解 A?1，x?10及x轴所围图形的面积． 1010?101/10lnxdx???11/10lnxdx??1lnxdx

10?[?xlnx?x]|11/10?[xlnx?x]|1

?1(99ln10?81). 10 图4—2

26．如图4—3，抛物线y2?2x把圆x2?y2?8分成两个部分，求这两个部分的面积之比．

解

A2?2?(8?y2?0212y)dy2?[y8?y2?8arcsin ?2??12?y3]|0 223y4， 图4—3 34A9??2A1?8??A2?6??，从而 1?．

3A23??21?12?2?12?2?a22??2(e?e?2?)． 解 A??(ae)d??a?ed??a?ed2??????2??2443328．求内摆线x?acost，y?asint（a?0）所围图形的面积．

?27．求对数螺线??ae(??????)及射线???所围图形的面积．

解 A??2?0asint3acostsintdt?3a2322?2?0sin4tcos2tdt

?12a??/2012?3a26a2I(2,2)?I(0,2) sintcostdt?4?22?24233a2?I(0,0)??a2．

8429．求曲线??asin?，??a(cos??sin?)（a?0）所围图形的面积． 解 如图4—4所示：联立两曲线的方程，解之得，两曲线的交点为(0,0)和(

- 12 -

?2,a)，

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故

S1???/20112?/21?cos2?2(asin?)d??a?d?

0222?121112/2a(??sin2?)|???a 图4—4 022483?43?1?2?24[2asin(??)]d??a??sin2(??)d? 2442S2???2???4?t?2a21?cos2ta?3dt?a?

?84242?a2a2?(??1)． 于是所求面积为：S?S1?S2?a?a?8844?2?230．求曲线y?x的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x?0，x?2所围成的

平面图形的面积最小．

解 设(x0,x0)为曲线上任意一点，则该点处的切线方程为

y?x0?xx1?0 (x?x0)，即y?22x02x0于是，该曲线与切线l及直线x?0，x?2所围成的平面图形的面积为

A(x0)??20(xx142?0?x)dx?x0??，x0?0

232x0x0又A?(x0)?1111，A??(x0)??， ??3532x02x04x04x01?0， 2令A?(x0)?0得x0?1（唯一），而A??(1)?故当x0?1，即所求切线方程为y?2x?1时，所求面积会最小． 2231．假设曲线l1：y?1?x(0?x?1)，x轴和y轴所围成区域被曲线l2：y?ax分 为面积相等的两个部分，其中a是大于零的常数，试确定a的值．

- 13 -

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1?x????y?1?x?1?a(0?x?1)解 由?，解得； ?2a??y?ax?y??1?a?2故曲线l1与l2的交点坐标为P(1a,)，从而有： 1?a1?a1S1??11?a012， [(1?x2)?ax2]dx?[x?(1?a)x3]01?a?331?a102S1?S1?S2??(1?x2)dx?于是S1?2， 3121?，得a?3． ，因此331?a3232．如图4—5：设曲线方程为y?x?1，梯形OABC的面积为D，曲边梯形 2OABC的面积为D1，点A的坐标为(a,0)，a?0，证明：

D2?． D13111a(1?a2)2解 根据题意D?a(??a)?，

22221aa2D1??(x?)dx??，

0223a2有

D3(1?a2)3(1?a2)2???D13?2a22?2a232.

图4—5

33．抛物线y?4ax及直线x?x0（x0?0）所围图形绕x轴旋转，计算所得旋转体的体积．

解 V??x00x0?ydx????4axdx?[2a?x2]0?2a?x02．

02x034．设D是曲线y?sinx?1与三条直线x?0，x??，y?0所围成的曲边梯形， 求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积． 解 V????01?cos2x?(sinx?1)dx???[?sinx?1]dx?(8?3?)．

0222? - 14 -

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35．求平面曲线x?a(t?sint)，y?a(1?cost)（a?0），0?t?2?，绕x轴旋转所围成的立体的体积．

解 V???32a?02?y2dx??a3?(1?cost)3dt

02???a?03[1?3cost?(1?cos2t)?(1?sin2t)cost]dt

23312???a3[t?4sint?t?sin2t?sin3t]|0?5?2a3．

24336．在曲线y?x(x?0)上某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形面积为

21，试求：（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程； 12（3）由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积． 解 设切点A的坐标为(x0,x02)(x0?0)，则切线方程为： y?x02?2x0(x?x0)，即y?2xx0?x02； 依题意：

?x020y?x021(?y)dy?，则x0?1，从而 2x012（1）切点A的坐标为(1,1)； （2）过A的切线方程为y?2x?1； （3）所求旋转体的体积为V??10?xdx??1?(2x?1)2dx?241?5??6??30．

x2y237．求平面曲线2?2?1绕y轴旋转所成的旋转体的体积．

aby2y3b422解 V???xdy??a?(1?2)dy ??a[y?2]|?b??ab．

?b?bb3b3b22b38．曲线y?(x?1)(x?2)和x轴围成一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积．

解 V??0?y?)2?(?y?)2]dy???16y?dy 1?[(?4?432143214014?130 ?4?(y?)2|1?．

4?4239．证明：由平面图形0?a?x?b，0?y?f(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积

- 15 -

《高等应用数学实训教程》

为V?2??baxf(x)dx．

证明 如图4—6，在x轴上x点处取一底边长为dx的小曲边梯形ABCD，则它绕y轴旋转所成的旋转体的体积为

dV?2?xf(x)dx，

于是平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积为 图4—6

V??ba2?xf(x)dx ?2??xf(x)dx．

ab40．求曲线y?sinx，0?x??，和x轴所围成的图形绕y轴旋转一周所成的旋转 体的体积． 解 V?2??aba?2xf(x)dx?2??xsinxdx ??2?[xcosx|?0?sinx|0]?2?．

0?41．求圆盘x2?y2?a2绕x??b(b?a?0)旋转所成的旋转体的体积． 解 V????a(b?a2?y2)2dy???(b?a2?y2)2dy

?aaa ?8?b?01a2?y2dy?8?b??a2?2?2a2b．

422222242．求由两个圆柱面x?y?a与z?x?a所围立体的体

积．

解 图4—7所示的为该立体在第一卦限部分的图像，对 ?x0?[0,a]，平面x?x0与这部分立体的截面是一个

22长为a?x0的正方形，所以A(x)?a?x，

22x?[0,a]，从而所求体积为：V?8?(a2?x2)dx?0a163a. 图4-7 343．如图4—8，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截， 试求解得楔形体的体积．

解 如图建立直角坐标系，此时底面边界曲线方程是

x2y2??1，x?0

10016

- 16 -

《高等应用数学实训教程》

顶面的倾斜角为?，有tan??51?． 102过?x?[0,10]，作截面垂直于x轴，与楔形体的 交面是矩形，其高为h?xtan??于是所求体积为：

1x，长为2y， 2V??h?2ydx?0102102x100?xdx?05

324002210??(100?x)|0?. 图4—8

15344．求曲线y?sinx(0?x??)绕x轴旋转所得的旋转曲面的面积． 解 S?2???0f(x)1?f?2(x)dx?2??sinx1?cos2xdx

0???2???01?cos2xdcosx

???[cosx1?cos2x?ln(cosx?1?cos2x)]?0

?2?[2?ln(2?1)]．

45．求曲线x?a(t?sint),y?a(1?cost)（a?0,0?t?2?）绕x轴旋转所得的旋

转曲面的面积．

解 S?2??2?0a(1?cost)a2(1?cost)2?a2sin2tdt

2? ?4?a2?0t(1?cost)sindt

22?t1t13t?4?a2?(sin?sin?sin)dt

022222t13t2?642?4?a2[?3cos?cos]0??a．

232346．计算曲线y?x(3?x)相应于1?x?3的一段弧的长度． 3 - 17 -

《高等应用数学实训教程》

解 因为y??12x?11?1?，所以所求弧长为 x，故1?y?2??x??22?x?s?13?1?1?23/24?3． x?dt?x?2x|?23???1???12?2?33x???x?1?cost47．求摆线?的一拱(0?t?2?)的弧长s．

y?t?sint?解 由于ds?sint?(1?cost)dt?所以s?22t2(1?cost)dt?2sindt

2?2?0t2sindt?8．

248．一个半球形（直径为20米）的容器内盛满了水，试问把水抽尽需作多少功？ 解 如图4—9建立坐标系，这时半球的截面半圆周方程为 x?y?100，x?0．

要将区间[x,x?dx]内一段圆台形水抽出半球面，需做功

22?W?dW??y2dx?103?g?x．于是把水抽尽需作功为

W??100?g?103xy2dx??g?103?x(100?x2)dx

010?25?g?105?7.70?107(J). 图4—9

49．长10米的铁索下垂于矿井中，已知铁索每米的质量为8千克， 问将此铁索提出地面需作多少功？

解 如图4—10建立坐标系，将一段位于区间[x,x?dx]间的 铁索提出地面需做功?W?dW?8?dx?g?x 于是将此铁索提出地面需作功 W??1008gxdx?4?102g

?3.92?106(J)． 图4—10

50．半径为r的球体沉入水中，其比重与水相同．试问将球体从水中捞出需作多少功？ 解 如图4—11建立坐标系，因为球的比重与水相同，故欲将位于区间[x,x?dx]的球台提升到[x?2r,x?dx?2r]位置，其前一段位于水中时不用作功（重力与浮力相同），而作功只是从离开水面时才开始，由于圆周方程为(x?r)?y?r， 从而有 dW??ydx?10?g?(2r?x)

- 18 -

23222《高等应用数学实训教程》

于是将球体从水中捞出需作功

W??g?103?(2r?x)[r2?(x?r)2]dx 图4-11

02r??g?103?2r0(4r2x?4rx2?x3)dx

224r3x42r4x?]|0??gr4?103 . ??g?10[2rx?3433 51．有一等腰梯形闸门，它的上，下两条底边各长为10米和6米,高为20米．计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力．

解 如图4—12建立坐标系，过两点A(20,3)，B(0,5)的直线方程为：

y?5x?01?x?5 ，即y??3?520?010从而，位于区间[x,x?dx]上的一段闸门条上，所受到水的静压力：

dP?x?10?g?2y?dx

3?2?103gx(5?1x)dx 101x)dx 10于是闸门一侧所受的总静压力： 图4—12

P??2002?103gx(5?3 ?2?10g[x? ?522120x]|0 3022?9.8?105?14373.33(N)． 352．设在坐标轴的原点有一质量为m的质点，在区间[a,a?l](a?0)上有一质量为

M 的均匀细杆．试求质点与细杆之间的万有引力．

解 细杆在[a,a?l]上点x处的线密度为力（设k为引力常数）为：

M，而从[x,x?dx]上的一段对质点的引 ldF?km?dMkmMdx? x2lx2- 19 -

《高等应用数学实训教程》

于是质点与细杆之间的万有引力为：

F??a?lakmMdxkmM1a?lkmM?(?)|． ?a2lxlxa(a?l)53．设有半径为r的圆形导线，均匀带电，电荷密度为?， 在圆心处有一单位正电荷．试求它们之间作用力的大小． 解 如图4—13建立坐标系，并采用半圆的参数方程 ??x?rcos?, 0????．

?y?rsin?.从而对于在区间[?,??d?]?[0,?]上的小段导线， 图4—13 单位正电荷对它的作用力为：

dF??k1??ds（设k为作用力常数）． r2?k??k?cos?dsdF?dF?sin??sin?ds． ，y22rr于是有：dFx?dF?cos??由导线的对称性，故水平分力dFx相互抵消，从而水平方向合力为零． 此时，垂直方向的合力为：Fy????0k?sin?ds 2r?k? ?2r ????0k?sin?(?rsin?)2?(rcos?)2d? 2rsin?ds??2k?． r?k?r?0这里负号表示单位正电荷对导线的作用力与y轴方向相反.

（二）提高题 1．单项选择题：

（1）设f(x)，g(x)在点x?0的某邻域内连续，且当x?0时，f(x)是g(x)的高阶无穷小， 则当x?0时，

?x0． f(t)sintdt是?tg(t)dt的（ ）

0xA.低阶无穷小 B.高阶无穷小 C.同阶但不等价的无穷小 D.等价无穷小 （2）设f(x)?（ ）．

- 20 -

?1?cosx0x5x6sintdt，g(x)??，则当x?0时，f(x)是g(x)的

562

《高等应用数学实训教程》

于是所求面积为S(x1)?令S?(x1)?又

11112ab??(?x2?1)dx?(x13?2x1?)?，

024x13111111； (3x12?2?2)?(3x1?)(x1?)?0得x1?4x14x1x13S??(x1)|1212，即所求点为(,)，此时?(6x?)|?01113x1?x?4x113333S(12)?(23?3)．

9313．考虑函数y?sinx(0?x??2)，问：

（1）x取何值时，图4—14中阴影部分面积S?S1?S2最小？ （2）x取何值时，图4—14中阴影部分面积S?S1?S2最大？ 解 S(t)??sinxdx??0t?2t(1?sinx)dx

?1?2cost?t??2，(0?x??2)

（1）S?(t)?2sint?1,S??(t)?2cost， 令S?(t)?0得t?故当t???（唯一），又S??()??0 66?时，S达到最小值； 图4—14 6（2）由于S(0)???1，S()?1，故当t?时，S达到最大值．

222??14．设曲线y?cosx(0?x??2)与x轴和y轴所围成区域被曲线y?asinx，

y?bsinx(a?b?0)三等分，试确定a，b的值．

解 依题意有

1a?arctan0?y1(cosx?asinx)dx??1?b2(arccosy?arcsin)dy??2cosxdx

0b30b - 26 -

《高等应用数学实训教程》

1arctan?1a??(sinx?acosx)|0453?a?b?即?，解得，． b312y1?2221?b2(yarccosy?1?y?yarcsin?b?y)|?0?b3?15．设直线y?ax与抛物线y?x2所围成图形的面积为S1，它们与直线x?1所围成的图形面积为S2，并且a?1．

（1）试确定a的值，使S1?S2达到最小，并求出最小值；

（2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V．

1a32?3a?a32解 S1??(ax?x)dx?，S2??(x?ax)dx?，

0a66a22?3a?2a32a2?1（1）S(a)?S1?S2?，S?(a)?，S??(a)?2a?0；

62令S?(a)?0，故有a?22；即当a?时，S1?S2达到最小，此时22S1?S2?2?2． 6（2）该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为

211112222V??()???2?x4dx??2?x4dx??2?(x)dx

0322222 ??30?2?1?2??． 3030 16．已知一抛物线通过x轴上的两点A(1,0)，B(3,0)．

（1）求证：两坐标轴与此抛物线所围成的图形的面积等于x轴与此抛物线所围图形的面积； 图4—15

（2）计算上述两个平面图形绕x轴旋转一周所得的两 个旋转体的体积之比． 解 （1）设过A，B两点的抛物线方程为

y?a(x?1)(x?3)（a?0时如图4—15），

则抛物线与两坐标轴所围图形的面积为：

S1??|a(x?1)(x?3)|dx?|a|?(x2?4x?3)dx?00114|a|3抛物线与x轴所围图形的面积为：

- 27 -

《高等应用数学实训教程》

S2??|a(x?1)(x?3)|dx?|a|?(x2?4x?3)dx?11334|a|即得S1?S2． 3（2）抛物线与两坐标轴所围图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为： V1???10a2[(x?1)(x?3)]2dx??a2?[(x?1)4?4(x?1)3?4(x?1)2]dx?01382?a 15抛物线与x轴所围图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为：

V2???a2[(x?1)(x?3)]2dx??a2?[(x?1)4?4(x?1)3?4(x?1)2]dx?1133162?a 15即得

V119?． V281，试确定a，b，c，使此图形绕x轴旋转一周所得旋3217．设抛物线y?ax?bx?c过原点，当0?x?1时，y?0，又已知该抛物线与x轴及直线x?1所围图形的面积为转体的体积V最小．

解 因为曲线过原点，所以C?0；由题设有

?10(ax2?bx)dx?22ab12??，即b?(1?a) 3233a2abb2?) 以及 V???(ax?bx)dx??(?05231a214(1?a)2] ??[?a(1?a)?5327令V?(a)??[a?又因V?(?)?2512853?a?(1?a)]?0，得a??，代入b的表达式得b?； 33274254453??0及实际情况，知当a??，b?，C?0时，体积最小． 1354218．设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内大于零，并且满足

3a22x（a为常数）xf?(x)?f(x)?，又曲线y?f(x)与x?1，y?0所围的图形S2的面积值为2，求函数f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

- 28 -

《高等应用数学实训教程》

[解 由题设，当x?0时，

的连续性得f(x)?又2?f(x)xf?(x)?f(x)3a]???；据此并由f(x)在点x?0处 2xx23a2x?Cx，x?[0,1] 2?10(3a23aCaCx?Cx)dx?(x3?x2)|1??，即C?4?a 022222因此f(x)?3a2x?(4?a)x；所求的旋转体的体积为： 210V(a)???[f(x)]2dx?(令V?(a)?(又V??(a)?12116a?a?)? 303311a?)??0，得a??5 1531?0，故当a??5时，旋转体体积最小． 1519．求由曲线x?a(t?sint)，y?a(1?cost)(a?0)(0?t?2?)与直线y?0所 围成的图形绕l轴旋转一周所得旋转体的体积，设轴l为（1）x轴；（2）y轴；（3）直线

y?2a．

解（1）Vx??2?a0?y2(x)dx???a2(1?cost)2a(1?cost)dt

02? ??a（2）Vy?3?2?0(1?3cost?3cos2t?cos3t)dt?5?2a3；

2a?2a02?x2(y)dy???x12(y)dy

0 ????2?a(t?sint)asintdt???a2(t?sint)2asintdt

0322? ???a （3）Vl???(t?sint)2sintdt?6?3a3；

02??2?a0?[(2a)2?(2a?y(x))2]dx

?4?a?2?a0y(x)dx??2?a0?y2(x)dx

- 29 -

《高等应用数学实训教程》

?4?a?2?0a(1?cost)a(1?cost)dt?5?2a3?7?2a3．

20．求曲线y?3?|x2?1|与x轴围成的封闭图形绕直线y?3旋转一周所得旋转体的体积．

解 作出图4—16，AB的方程为y?x2?2(0?x?1)，

BC的方程为y?4?x2(1?x?2)，设旋转体在区间

[0,1]上的体积为V1，在区间[1,2]上的体积为V2，则

它们的体积元素分别为：

dV1??{32?[3?(x2?2)]2}dx??[8?2x2?x4]dx

dV2??{32?[3?(4?x2)]2}dx??[8?2x2?x4]dx 图4—16

由对称性得 V?2(V1?V2)?2? ?2?12?0(8?2x?x)dx?2??(8?2x2?x4)dx

124?20(8?2x2?x4)dx?448?． 1521．已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1)，线段AB绕z轴旋转一周所得的旋转曲面为S，求由S及两平面z?0，z?1所围成的立体体积．

解 直线AB的方程为

?x?1?zx?1yz??，即?；在z轴上截距为z的水平面截此 ?111?y?z旋转体所得的截面是一个圆，此截面与z轴交于点?(0,0,z)，与AB交于点M(1?z,z,z)，故圆截面半径：r(z)?旋转体的体积为V??22．设有曲线y?1(1?z)2?z2，从而截面面积S(z)??(1?2z?2z2)；于是所求

22(1?2z?2z)dz??． ?03x?1，过原点作其切线，求由此曲线，切线及x轴围成的平面图

1x，再以点

2x0?1形绕x轴旋转一周所得的旋转体的表面积．

解 设切点为(x0,x0?1)，则过原点的切线方程为y?(x0,x0?1)代入，解得x0?2，即切线方程为y?

- 30 -

1x； 2

《高等应用数学实训教程》

由曲线y?x?1（1?x?2）绕x轴旋转一周所得的旋转体的表面积为

S1?由直线段y??212?y1?y?dx???2214x?3dx??6(55?1)

1x（0?x?2）绕x轴旋转一周所得的旋转体的表面积为 2 S2?152??x??022dx?5?

2因此，所得的旋转体的表面积为S?S1?S2??6(115?1)．

23．平面光滑曲线由极坐标方程r?r(?),?????（[?,?]?[0,?]，r?0）给出，试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式．

解 曲线的参数方程为x?r(?)cos?，y?r(?)sin?，?????，且由

r?0可知y?r(?)sin??0，故由 [?,?]?[0?,及] x?2(?)?y?2(?)?(r?cos??rsin?)2?(r?sin??rcos?)2?r?2(?)?r2(?) 可得所求面积为

S?2????y(?)x?2(?)?y?2(?)d? ?2??r(?)sin?r?2(?)?r2(?)d?.

?2?24．计算曲线y?2x(x?1)3被抛物线y2?截得的一段弧的长度． 332解 联立两曲线的方程，消去y，得解得x?2；

2x(x?1)3?，所以2x3?6x2?5x?2?0， 33又曲线与x轴的交点为(1,0)，由对称性，有

23??2221??(x?1)2?dx?2?1?(x?1)dx

133????2 s?2?1 ?2?213x?1dx?223x?1d(3x?1) ?1333222238532222(3x?1)|1?(5?2)?[()2?1]． ?999225．直径为20cm，高为80cm的圆筒内充满压强为10N/cm的蒸汽，设温度保持

- 31 -

2《高等应用数学实训教程》

不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功．

解 由玻意尔－马略特定理知：PV?10?(?102?80)?80000?，当底面积不变而高减少x(cm)时，设压强为p(x)(N/cm2)，则有

p(x)??102?(80?x)?80000?，所以p(x)?又dW???102?p(x)dx，于是所作的功为： W?800， 80?x?400??102?40800dxdx?8?104??

080?x80?x40 ??8?104?ln(80?x)|0?800?ln2(J)．

26．边长为a和b的矩形薄板，与液体成?角斜沉于液体内，长边平行于液面而位于深h处，设a?b，液体的密度为?，试求薄板每面所受的压力．

解 如图4—17，记x为薄板上点到近水面的长边的距离， 取x为积分变量，则x的变化范围为[0,b]，对应小区间

[x,x?dx]，压强为?g(h?xsin?)，面积为adx，因此所求

压力为

F???ga(h?xsin?)dx?0b1?gab(2h?bsin?) 图4—17 227．设有一长度为l，线密度为?的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M，试求这细棒对质点M的引力．

解 如图4—18所示，区间[x,x?dx]对质点M的引力大小为

dF?km?dx，它在x轴，y轴上的分量分别为

a2?x2dFx?dFsin??km?dxxm?x??kdx 图4—18 32222a?xa?x(a2?x2)2m?a(a2?x)322dFy??dFcos???kdx

故有 Fx??l0k11dx?km?(?) 322aa?l(a2?x2)2- 32 -

m?x

《高等应用数学实训教程》

Fy??k0?lm?a(a2?x)322dx??km?laa?l22．

四、测试题 1．单项选择题：

（1）设函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，且f(x)?0，则 方程

?xaf(t)dt??xb1dt?0在开区间(a,b)内的根有（ ）． f(t)A.0个 B.1个 C.2个 D.无穷多个

（2）设f(x)，g(x)在点x?0的某邻域内连续，且当x?0时，f(x)是g(x)的高阶无穷小， 则当x?0时，

?x0f(t)sintdt是

?x0． tg(t)dt的（ ）

A .低阶无穷小 B.高阶无穷小 C.同阶但不等价的无穷小 D.等价无穷小 （3）设a(x)?（ ）．

A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶但不等价的无穷小 D.等价无穷小 （4）设F(x)??5x0sinxsint，?(x)??(1?x)tdt，则当x?0时，a(x)是?(x)的

0t1?x?2?xesintsintdt，则F(x)（ ）．

A.为正常数 B.为负常数 C.恒为零 D.不为常数 （5）下列广义积分发散的是（ ）．

111dx B.?dx A.??1sinx2?11?x1C.

???0e?xdx D.?2??21dx

xln2x（6）广义积分收敛的是（ ）．

- 33 -

《高等应用数学实训教程》

A.

???e??lnx1dx B.?dx

exxlnxC.

???e??dxdx D.?exlnx x(lnx)2（7）曲线y?x(x?1)(2?x)与x轴所围成图形的面积可表示为（ ）． A.??20x(x?1)(2?x)dx

2B.

?10x(x?1)(2?x)dx??x(x?1)(2?x)dx

11C.??0x(x?1)(2?x)dx??x(x?1)(2?x)dx

12D.

?20x(x?1)(2?x)dx

32（8）曲线y?sinx(0?x??)与x轴所围成图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积 为（ ）． A.

44222 B.? C.? D.? 3333（9）设f(x)，g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x)?f(x)?m（m为常数），则曲线y?f(x)，y?g(x)，x?a及x?b所围平面图形绕直线y?m旋转而成的旋转体的体积为（ ）．

A.

??[2m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx

abB.

??[2m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx

abC.

??[m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx

abD.

??[m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx

ab2．填空题：

- 34 -

《高等应用数学实训教程》

（1）lim(?etdt)2x2x???0x0edt2t2＝_____ .

?（2）

?401xdx=_____ .

1?cos2x（3）

ln(1?x)?0(2?x)2dx=_____ .

（4）

???dx(x?1)43x?2x)1与直线x?2,y?2所围成的平面图形的面积S?_____ . x2=_____ .

（5）由曲线y1?xex与直线y2?ex所围成的平面图形的面积S?_____ . （6）由曲线y?x?（7）曲线r?a?(a?0,0???2?)的弧长s?_____ . 3．判断题: （1）

????（ ）． x4sinxdx?0．

（2）等式

?a0（ ）． f(x)dx???f(a?x)dx对任何实数a都成立．

0a4．计算题:

（1）设f(x)为连续可微函数，试求

dx(x?t)f?(t)dt． ?adx?1?x2,x?0,3?（2） 设f(x)???x求?f(x?2)dx．

1??e,x?0,

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?（3）求

?20sin(2n?1)xdx．

sinx2112?（4）已知f(2)?,f(2)?0,?f(x)dx?1，求?xf??(2x)dx．

002

（5）求连续函数f(tx)，使它满足

（6）过点P(1,0)作抛物线y?，该切线与上述抛物线及x轴围成一平x?2的切线，?10f(tx)dt?f(x)?xsinx．

面图形，求此图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

- 36 -

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（7）设曲线方程为y?e?x(x?0)

① 把曲线y?e?x，x轴，y轴和直线x??(??0)所围平面图形绕x轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体体积V(?)，并求满足V(a)?1limV(?)的a； ?2???② 求此曲线上一点，使过此点的切线与两坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出此面积．

2（8）求曲线y?x?2x，y?0，x?1，x?3所围平面图形面积S，并求该平面

图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V．

22（9）设平面图形A由x?y?2x与y?x所确定，求图形A绕直线x?2旋转一周

所得旋转体的体积．

- 37 -

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5．证明题:

（1）设函数f(x)在???,???内连续，且F(x)?① 若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数； ② 若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．

（2）设f(x)是区间?0,???上单调减少且非负的连续的函数，

?x0(x?2t)f(t)dt，试证：

an??f(k)??f(x)dx(n?1,2,...)，证明数列?an?的极限存在．

k?11nn

（3）设f(x)在?0,1?上可导，f(0)?0,0?f?(x)?1，试证：

?1f(x)dx??1f3(x)dx．

?0????0?

- 38 -

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（4）设f(x)，g(x)在?a,b?上连续，且g(x)?0，x??a,b?，试证：

?至少存在一点??(a,b)，使得?

（5）设f(x)?

babaf(x)dxg(x)dx?f(?)． g(?)?x?1xsin(et)dt，证明：exf(x)?2．

（6）设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内有f?(x)?0，证明：在(a,b)内 存在唯一的?，使曲线y?f(x)与两直线y?f(?)，x?a所围平面图形面积S1是曲线y?f(x)与两直线y?f(?)，x?b所围平面图形面积S2的三倍．

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（7）证明：把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是W?

mgRh． R?h第四章测试题参考答案

1.选择题：

（1）B；（2）B；（3）C；（4）A；（5）A； （6）C；（7）C；（8）B；（9）B． 2.填空题： （1）0； （2）

?131?ln2； 84（3）ln2；

（4）

233?； 38- 40 -

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（5）

1e?1； 21； 22（6）ln2?（7）a?4??1?aln(2??4?2?1)． 23．判定题： （1）√；（2）?． 4．计算题： （1）解

xxdxd??(x?t)f(t)dt?[xf(t)dt??atf?(t)dt] dx?adx?a ?（2）解

?1xaf?(t)dt?xf?(x)?xf?(x)??f?(t)dt ?f(x)?f(a)．

ax?3f(x?2)dxx?2?t?1?1f(t)dt??(1?t2)dt??e?tdt ??100171?． 3e?sin(2n?1)xsin(2n?1)x?sin(2n?1)xdx??2dx?In?1 （3）解 ?200sinxsinx?????2cos2nxdx?In?1?In?1?20?I1??20sin3xdx sinx???20cos2xsinx?sin2xcosx?dx?．

sinx2（4）解 令t?2x，则

2212112t22???????{[tf(t)]?2tf(t)dt}?[?2tdf(t)] xf(2x)dx?f(t)dt0???0?0008824122112??{[tf(t)]0??f(t)dt}??(1?1)?0．

044（5）解 令tx?u，则原式可变为：

x1xf(u)du?f(x)?xsinx，即?f(u)du?xf(x)?x2sinx ?0x0两边对x求导得：f(x)?f(x)?xf?(x)?2xsinx?xcosx， 即f?(x)??2sinx?xcosx，积分得：

2f(x)?2cosx??xdsinx?2cosx?xsinx?cosx?C?cosx?xsinx?C．

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（6）解 设所作切线与抛物线相切于点(x0,x0?2)，因为y?|x?x0?故此切线方程为：y?x0?2?1，

2x0?21(x?x0)

2x0?21(1?x0)，即x0?3

2x0?2又由于该切线过点P(1,0)，所以 ?x0?2?从而，切线方程为y?1(x?1)．因此，所求旋转体的体积为：2V???3131?(x?1)2dx???(x?2)dx?．

246（7）解 ① V(?)????0ydx???e?2xdx?02??2(1?e?2x)，

limV(?)??????2，V(a)??2(1?e?2x)

② 要使V(a)??a1??1limV(?)，即(1?e?2a)?，得a?ln2； 2????242?a设切点为(a,e)，则切线方程为y?e令x?0得y?(1?a)e?a??e?a(x?a)，

；令y?0得x?1?a，

于是切线与坐标轴所夹面积为S?1(1?a)2e?a，有 211S??(1?a)e?a?(1?a)2e?a?(1?a)(1?a)e?a

22令S??0得a1?1，a2??1（其中a2舍去）

由于当a?1时，S??0；当a?1时，S??0，故当a?1时，面积S有极大值，即

?1最大值，所求切点为(1,e)，最大面积S?12?1?2e?2e?1． 23（8）解 S?S1?S2??21112?(x3?x2)|3(2x?x)dx??(x2?2x)dx?(x2?x3)|12 2332 ?24??2 33 - 42 -

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S1绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1???(1?1?y)2dy????13011? 643? 6S2绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2?27????(1?1?y)2dy?0故所求旋转体的体积为V?V1?V2?9?．

（9）解V??10?[(1?1?y2)2?(2?y)2]dy???(4y?21?y2?2y2?2]dy

01?2??(?)．

235．证明题 （1）证明 ① 由于F(?x)??x0(?x?2t)f(t)dtu??t?x0(?x?2u)f(?u)(?du)

?② F?(x)?减．

?x0(x?2u)f(u)du?F(x)，故F(x)是偶函数；

x?x0f(t)dt?xf(x)?2xf(x)??[f(t)?f(x)]dt?0，所以F(x)单调不

0（2）证明 由题设可得：f(k?1)? an? ??k?1knf(x)dx?f(k)(k?1,2,...)，因此有

n?1k?1?f(k)??k?1n?1k?1nn1f(x)dx??f(k)???k?1k?1k?1kf(x)dx

?[f(k)??kf(x)dx]?f(n)?0

即数列?an?有下界，又an?1?an?f(n?1)?故

?n?1nf(x)dx?0，所以?an?单调递减，

由单调有界数列必有极限的准则知数列?an?的极限存在． （3）证明 因为0?f?(x)?1，f(0)?0，所以f(x)?0； 设F(t)?(

?t0f(x)dx)2??f3(x)dx，则F?(t)?2f(t)?f(x)dx?f3(t)，

00tt- 43 -

《高等应用数学实训教程》

又由于[2?t0于是得F?(t)?0，即F(t)单 f(x)dx?f2(t)]??2f(t)?2f(t)f?(t)?0，

调增加，且F(0)?0，因此F(t)?0，故命题得证． （4）证明 记F(x)??baf(t)dt?g(t)dt??g(t)dt?f(t)dt

aaaxbx则F(x)在?a,b?上可微，又F(a)?0,F(b)?0，故由罗尔中值定理知：???(a,b)，

?使得F?(?)?0，即

?babaf(x)dxg(x)dx?f(?)． g(?)t?ttx?1x（5）证明 f(x)???x?1xedcos(e)??ecos(e)|x?t??x?1xe?tcos(et)dt

x?1cos(ex?1)?]?cos(e)?e?tdt ?e[cos(e)?xe?xcos(ex?1)1?cos(e?)(1?)] ?e[cos(e)?ee?xx所以ex11f(x)?1??1??2．

ee（6）证明 设F(x)?f(x)(x?a)??xaf(t)dt?3[?f(t)dt?f(x)(b?x)]，则

xb F?(x)?f?(x)(x?a)?3f?(x)(b?x)?0，(0?x?b) 故F(x)在[a,b]上单调增加，F(x)在(a,b)内至多有一个零点．

又F(a)?3[?baf(x)dx?f(a)(b?a)]?0；（因为f?(x)?0）

F(b)?f(b)(b?a)??baf(x)dx?0，

由零点定理可知，F(x)在(a,b)内至少有一个零点．综合可知，在(a,b)内存在唯一点?，使得F(?)?0．即所求命题成立．

（7）证明 取地球的中心为坐标原点，把质量为m的物体升高时的功的微元是

mgR2dW?dx，

x2

- 44 -

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故升到h处需作的功为

W??R?hRmgR21R?hmgR2mgR2mgRh2dx?mgR(?)|R????． 2xxR?hRR?h - 45 -

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