北京市重点中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷

2014-2015学年北京市重点中学高一（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

2

1．（4分）已知全集U=R，集合P={x|x≤1}，那么?UP=（） A． （﹣∞，﹣1] B． D． 2．（4分）下列函数是偶函数的是（） A． y=x

3．（4分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）的是（） A． f（x）=

4．（4分）若函数f（x）=loga（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象恒过定点，则定点的坐标为（） A． （1，0） B． （2，0） C． （1，1） D．（2，1）

5．（4分）已知函数 A． ﹣2

6．（4分）设α∈为（） A． ﹣1，1，3

7．（4分）函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（） A． B． C．

8．（4分）设a=0.3，b=2，c=log0.34，则（） A． b＜a＜c B． c＜b＜a C． b＜c＜a

9．（4分）已知函数上是增函数，若函数

在

在

B． （0，5）

2

0.3

（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

B． y=2x﹣3

2

C． y= D．y=x，x∈

2

B． f（x）=（x﹣1） C． f（x）=e

2x

D．f（x）=ln（x+1）

，则f=（）

B． 2

C． 1

α

D．﹣1

，则使函数y=x的定义域为R且为奇函数的所有α的值

B． ，1 C． ﹣1，3 D．1，3

D．

D．c＜a＜b

上是减函数，在

C． 是函数y=f（x）的一对“友好

点对”（点对与看作同一对“友好点对”）， 已知函数f（x）=

，则此函数的“友好点对”有（）

A． 0对 B． 1对 C． 2对 D．3对

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上） 11．（4分）

12．（4分）幂函数f（x）的图象过点（3，

），则f（x）的解析式是 =．

??． 13．（4分）用二分法求方程f（x）=0在区间（0，2）的近似根，f（1）=﹣2，f（1.5）=0.625，f（1.25）=﹣0.984，f（1.375）=﹣0.260，下一个求f（m），则m=． 14．（4分）我国2000年底的人口总数为M，要实现到2010年底我国人口总数不超过N（其中M＜N），则人口的年平均自然增长率p的最大值是．

15．（4分）已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围

是．

16．（4分）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且f（）=2，则不等式f（2）＞2的解集为．

三、解答题：本大题有4小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（8分）已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}． （1）求A∪B，（?RA）∩B； （2）若C?（A∪B），求a的取值范围．

18．（8分）已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（4﹣2x）（a＞0，且a≠1）． （1）求函数f（x）﹣g（x）的定义域；

（2）求使函数f（x）﹣g（x）的值为正数的x的取值范围．

19．（10分）已知函数

，且f（4）=3．

x

（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；

（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明你的结论； （3）若对任意实数x1，x2∈，有|f（x1）﹣f（x2）|≤t成立，求t的最小值．

20．（10分）某商品近一个月内（30天）预计日销量y=f（t）（件）与时间t（天）的关系如图1所示，单价y=g（t）（万元/件）与时间t（天）的函数关系如图2所示，（t为整数）

（1）试写出f（t）与g（t）的解析式； （2）求此商品日销售额的最大值？

2014-2015学年北京市重点中学高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1．（4分）已知全集U=R，集合P={x|x≤1}，那么?UP=（） A． （﹣∞，﹣1] B． D． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

考点： 补集及其运算． 专题： 集合．

分析： 先求出集合P中的不等式的解集，然后由全集U=R，根据补集的定义可知，在全集R中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可．

2

解答： 解：由集合P中的不等式x≤1，解得﹣1≤x≤1， 所以集合P=，由全集U=R，

得到CUP=（﹣∞，1）∪（1，+∞）． 故选D

点评： 此题属于以不等式的解集为平台，考查了补集的运算，是一道基础题． 2．（4分）下列函数是偶函数的是（）

2

A． y=x B． y=2x﹣3

2

C． y= D．y=x，x∈

2

考点： 函数奇偶性的判断． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 偶函数满足①定义域关于原点对称；②f（﹣x）=f（x）．

解答： 解：对于选项C、D函数的定义域关于原点不对称，是非奇非偶的函数； 对于选项A，是奇函数；

对于选项B定义域为R，并且f（x）=f（x）是偶函数． 故选B．

点评： 本题考查了函数奇偶性的判定；①判断函数的定义域是否关于原点对称；②如果不对称是非奇非偶的函数；如果对称，再利用定义判断f（﹣x）与f（x）的关系．

3．（4分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）的是（） A． f（x）=

B． f（x）=（x﹣1） C． f（x）=e

2

x

D．f（x）=ln（x+1）

考点： 函数单调性的判断与证明． 专题： 综合题．

分析： 根据题意和函数单调性的定义，判断出函数在（0，+∞）上是减函数，再根据反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性进行判断．

解答： 解：∵对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）， ∴函数在（0，+∞）上是减函数；

A、由反比例函数的性质知，此函数函数在（0，+∞）上是减函数，故A正确；

2

B、由于f（x）=（x﹣1），由二次函数的性质知，在（0，1）上是减函数， 在（1，+∞）上是增函数，故B不对；

C、由于e＞1，则由指数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故C不对； D、根据对数的整数大于零得，函数的定义域为（﹣1，+∞），由于e＞1，则由对数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故D不对； 故选A．

点评： 本题考查了函数单调性的定义，以及基本初等函数的单调性，即反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性的应用．

4．（4分）若函数f（x）=loga（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象恒过定点，则定点的坐标为（） A． （1，0） B． （2，0） C． （1，1） D．（2，1）

考点： 对数函数的图像与性质． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 由loga1=0得x﹣1=1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标． 解答： 解：∵loga1=0，

∴当x﹣1=1，即x=2时，y=0，

则函数y=loga（x﹣1）的图象恒过定点 （2，0）． 故选：B．

点评： 本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用loga1=0，属于基础题．

5．（4分）已知函数 A． ﹣2 B． 2

考点： 函数的值． 专题： 计算题．

，则f=（） C． 1

D．﹣1

分析： 本题考查的分段函数的函数值，由函数解析式，我们可以先计算f（﹣1）的值，再根据f（﹣1）的值或范围，代入相应的解析式求出最后的结果． 解答： 解：∵﹣1＜0， ∴f（﹣1）=2=，且＞0， ∴f=f（）=log2=﹣1

故选D．

点评： 本题考查分段函数求函数值，按照由内到外的顺序逐步求解．要确定好自变量的取值或范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值

6．（4分）设α∈为（） A． ﹣1，1，3

B． ，1

C． ﹣1，3

D．1，3

，则使函数y=x的定义域为R且为奇函数的所有α的值

α

﹣1

考点： 幂函数的性质． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据幂函数的性质，我们分别讨论a为﹣1，1，，3时，函数的定义域和奇偶性，然后分别和已知中的要求进行比照，即可得到答案．

解答： 解：当a=﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；

α

当a=1时，函数y=x的定义域为R且为奇函数，满足要求； 当a=函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；

当a=3时，函数y=x的定义域为R且为奇函数，满足要求； 故选：D

点评： 本题考查的知识点是奇函数，函数的定义域及其求法，其中熟练掌握幂函数的性质，特别是定义域和奇偶性与指数a的关系，是解答本题的关键．

7．（4分）函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（） A． B． C． D．

考点： 函数零点的判定定理． 专题： 计算题．

分析： 根据函数的零点存在性定理，把题目中所给的四个选项中出现在端点的数字都代入函数的解析式中，得到函数值，把区间两个端点对应的函数值符合相反的找出了，得到结果．

α

解答： 解：∵f（）=∴只有f（）?f（）＜0， ∴函数的零点在区间上． 故选C．

＜0，f（）=＜0，f（）=＞0，f（1）=π，

点评： 本题考查函数零点的存在性判定定理，考查基本初等函数的函数值的求法，是一个基础题，这是一个新加内容，这种题目可以出现在高考题目中．

8．（4分）设a=0.3，b=2，c=log0.34，则（） A． b＜a＜c B． c＜b＜a C． b＜c＜a D．c＜a＜b

考点： 对数函数的单调性与特殊点． 专题： 计算题．

分析： 利用指数函数与对数函数的单调性可分别判断a、b、c与0与1的大小关系，从而可求得答案．

20

解答： 解：∵0＜0.3＜0.3=1， 0.30

2＞2=1，

log0.34＜log0.31=0， ∴c＜a＜b． 故选D．

点评： 本题考查指数函数与对数函数的单调性，熟练掌握它们的性质是解决问题的关键，属于中档题．

20.3

9．（4分）已知函数上是增函数，若函数

在

在

B． （0，5）

上是减函数，在

C． 上是减函数，在上是减函数，

在， 故选A．

点评： 本题考查函数的单调性及其应用，考查“对勾”的单调性特点，属中档题． 10．（4分）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件： ①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；

②P、Q关于原点对称，则称点对是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对与看作同一对“友好点对”）， 已知函数f（x）=

，则此函数的“友好点对”有（）

D．3对

A． 0对 B． 1对 C． 2对

考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法． 专题： 压轴题；新定义．

分析： 根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=﹣x﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可．

22

解答： 解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣（﹣x）﹣4（﹣x）=﹣x+4x，

2

可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x﹣4x，

22

则函数y=﹣x﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x﹣4x

2

由题意知，作出函数y=x﹣4x（x＞0）的图象，

看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可得到友好点对的个数．

2

如图，

观察图象可得：它们的交点个数是：2． 即f（x）的“友好点对”有：2个． 故答案选 C．

点评： 本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上） 11．（4分）

=4．

考点： 根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 专题： 计算题；函数的性质及应用．

分析： =+1+=4．

解答： 解：

=+1+

=+1+=4，

故答案为：4．

点评： 本题考查了指数幂的运算，属于基础题．

12．（4分）幂函数f（x）的图象过点（3，??f（x）=．

），则f（x）的解析式是

考点： 幂函数的单调性、奇偶性及其应用． 专题： 待定系数法．

分析： 幂函数f（x）的图象过点（3，），故可根据幂函数的定义用待定系数法设出函

数的解析式，代入所给点的坐标求参数，由此可得函数的解析式．

a

解答： 解：由题意设f（x）=x， ∵幂函数f（x）的图象过点（3，

a

），

∴f（3）=3=∴a=

∴f（x）=

故答案为：f（x）=

点评： 本题的考点是幂函数的单调性、奇偶性及其应用，考查用待定系数法求已知函数类

型的函数的解析式，待定系数法求解析式是求函数解析式的常用方法，主要用求函数类型已知的函数的解析式． 13．（4分）用二分法求方程f（x）=0在区间（0，2）的近似根，f（1）=﹣2，f（1.5）=0.625，f（1.25）=﹣0.984，f（1.375）=﹣0.260，下一个求f（m），则m=1.4375．

考点： 二分法求方程的近似解． 专题： 计算题．

分析： 本题考查的知识点是用二分法求方程的近似解，由二分法的步骤，我们可得，若，f（1）=﹣2，f（1.5）=0.625，f（1.25）=﹣0.984，f（1.375）=﹣0.260，故方程f（x）=0的根应在区间（1.375，1.5）上，故下一个求f（m）时，m就为区间（1.375，1.5）的中点，利用中点公式代入即可求解．

解答： 解：f（1）=﹣2，f（1.5）=0.625， f（1.25）=﹣0.984，f（1.375）=﹣0.260，

∴方程f（x）=0的根应在区间（1.375，1.5）上，

故下一个求f（m）时，m就为区间（1.375，1.5）的中点，

即m==1.4375

故答案为：1.4375

点评： 在使用二分法求在区间（x，y）上连续的函数f（x）的零点时，若f（a），f（b）异号，则下一步我们要求f： ①如果f=0，该点就是零点，

②如果f与f（b）异号，则在区间（③如果f与f（a）异号，则在区间（a，

，b）内有零点， ）内有零点．

14．（4分）我国2000年底的人口总数为M，要实现到2010年底我国人口总数不超过N（其中M＜N），则人口的年平均自然增长率p的最大值是

﹣1．

考点： 等比数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： 由题意可知，从2000年底到2010年底我国每一年底的人口总数构成等比数列，且公比q=1+p，然后由数列的第10项小于等于N列式求p的最大值．

解答： 解：设2000年底的人口总数为a1=M，2010年底我国人口总数的最大值a10=N， 则由题意可知，从2000年底到2010年底我国每一年底的人口总数构成等比数列，且公比q=1+p，

所以M（1+p）≤N，即故答案为

．

10

．

点评： 本题考查了等比数列的通项公式，考查了指数不等式的解法，是基础的运算题．

15．（4分）已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围

是（﹣∞，0）．

考点： 函数单调性的性质． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 由条件利用函数的单调性的性质，可得1﹣2a＞1，且 a＜0，由此求得a的取值范围．

解答： 解：由于函数f（x）=是R上的增函数，∴1﹣2a＞1，

且a＜0， 求得a＜0， 故答案为：（﹣∞，0）．

点评： 本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．

16．（4分）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且f（）=2，则不等式f（2）＞2的解集为（﹣1，+∞）．

x

考点： 奇偶性与单调性的综合．

专题： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析： 由于定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，则f（x）在上是减函数， 则f（x）在 （1）求A∪B，（?RA）∩B； （2）若C?（A∪B），求a的取值范围．

考点： 子集与交集、并集运算的转换． 专题： 计算题；数形结合；分类讨论．

分析： （1）把集合A和B用数轴表示出来，由图和运算定义求出并集、补集和交集； （2）因集合C含有参数故需要考虑C=?和C≠?两种情况，再由子集的定义求出a的范围，最后要把结果并在一起． 解答： 解：（1）由题意用数轴表示集合A和B如图：

由图得，A∪B={x|2＜x＜10}，?RA={x|x＜3或x≥7}， ∴（?RA）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}（6分） （2）由（1）知A∪B={x|2＜x＜10}，

①当C=?时，满足C?（A∪B），此时5﹣a≥a，得

；（8分）

②当C≠?时，要C?（A∪B），则，解得；（12分）

由①②得，a≤3．

点评： 本题考查了集合的混合运算和子集的定义应用，对于集合含有参数一定注意集合为空集时，故需要进行分类求解，当集合用不等式表示时，借助于数轴来求交集、并集和补集，更直观、准确，考查了数形结合和分类讨论思想．

18．（8分）已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（4﹣2x）（a＞0，且a≠1）． （1）求函数f（x）﹣g（x）的定义域；

（2）求使函数f（x）﹣g（x）的值为正数的x的取值范围．

考点： 对数函数的定义域；对数函数的单调性与特殊点． 专题： 综合题．

分析： （1）分别把f（x）和g（x）的解析式代入到f（x）﹣g（x）中，根据负数和0没有对数得到x+1和4﹣2x都大于0，列出关于x的不等式组，求出不等式组的解集即为函数f（x）﹣g（x）的定义域；

（2）f（x）﹣g（x）的值正数即为f（x）﹣g（x）大于0，即f（x）大于g（x），将f（x）和g（x）的解析式代入后，分a大于0小于1和a大于1两种情况由对数函数的单调性即可列出x的不等式，分别求出不等式的解集，即可得到相应满足题意的x的取值范围．

解答： 解：（1）由题意可知，f（x）﹣g（x）=loga（x+1）﹣loga（4﹣2x），

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