安徽省马鞍山市高三数学第二次教学质量检测试题 理 新人教A版

1 理科数学

第I 卷 选择题（50分）

选择题共10个小题，每小题5分，共计50分。(请将答案填到填空题后的答题框中)

（1）复数z 满足z+2= 2i ,则|z|=( ) A. 2 B.2 C.2 2 D.4

(2)已知集合P={x|x2 ≤ 1},M=(-∞，a).若 P ∪M=M,则a 的取值范围是（ ）

A.（-∞，-1]

B. (1，+∞)

C.[-1,1] D[1, +∞）

(3) 已知命题p ：x ∈R,cos x= 54

;命题q:x ∈R,x2-x+1＞0.则下列结论正确的是（ ） A. 命题p ∧q 是真命题

B.命题p ∧-q 是真命题

C. 命题-p ∧q 是真命题

D 命题-p ∨-q 是假命题

（4）设变量，x,y 满足约束条件 ，则z=3x-2y 的最小值是（ ）

A. -1

B. 4

C. 2

D. -12

（5）在的展开式中，各项系数之和为A ，各项的二次项系数之和为B ，且A+B=72，则展开式中常数项为（ ）

A.6

B.9

C.12

D.18

（6）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）

A. 5

B.4+√5

C.5+√5

D.5+2√5

（7）随机输入整数x ∈[1,9],执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于31的概率为（） A.79 B.23 C.59 D.49

（8）已知函数f(x)是偶函数，且f(x)在[0，+∞)上是增函数，如果不等式f(a) ≤ f(1)恒成立，则实数a 的取值范围是（）

A.（-∞，1]

B. [0，+∞)

C.[0,1] D[-1,1]

(9) 已知等差数列{an}的通项公式为an=64-4n 5

,设An=| an + an+1 +…+ an+12|（n ∈N*）,

2 则当An 取最小值时，n 的取值为（ ）

A.16

B. 14

C.12

D.10

（10）若a 是f(x)=sin x-x cos x 在（0,2π）内的一个零点，则对x ∈（0,2π），则下列不等关系恒成立的是（）

第II 卷 非选择题（100分）

填空题共5个小题，每小题5分，共计25分。(请将答案填到本题题后的答题框中)

（11）直线l 的极坐标方程为

上的点到直线l

的距离d ，则d 的最大值为_______

(12)函数y=Asin(wx+φ)的部分图像如图所示，其中A ＞0，w ＞0,|φ|＜π2

，则其解析式为_____________ (13)已知P 是椭圆2

2162x y 和双曲线x2-y2=2的一个交点，若F1，F2分别是椭圆的左,右焦点，则cos ∠F1PF2=__________

(14)在△ABC 中，若∠BAC=120，，则的最小值时____

(15)如图，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，E 为正方形BCC1B1的中心，F 为棱C1D1上的动点（包括端点C1，D1）给出下列命题：

① 存在点F ，使得EF ⊥平面AB1C :

ABCD 所成的角为π3 : 存在点F ，使得EF 与平面

对于任意点F ，总有EF ⊥

A1D ： 对于任意点F ，三棱锥

A1-DEF 的体积为定值。 其中正确命题的序号是

________ 选择、填空题答案填写处（50+25）

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

11__________________12__________________

13__________________14__________________

15__________________

解答题共6个小题，满分75分

（16）（本题满分12分）

（I ）证明：cos2α +cos2β =2cos （α+β ）cos （α-β ）：

（II ）在△ABC 中，若A=π3

，求sin2B+sin2C 的最大值。

【解】

（17）（本题满分12分）某市高二年级甲校有1100人，乙校有900人，现对两校高二年级在当年学业水平考试中的数学学科成绩进行统计分析，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，整理得到一下统计表（本次测试和合格线是50分，两校合格率均为100%）：

甲、乙两校高二年级数学成绩统计表

分组

[50,6

0)

[60,7

0)

[70,8

0)

[80,9

0)

[90,10

0]

甲

校

频

数

10 25 35 30 x

乙

校

频

数

15 30 25 Y 5

（I）计算x,y的值，并根据以上数据估计学校乙的数学成绩的平均分（精确到1分）：

若 (II) 数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，根据以下统计数据填写下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异？”

甲校乙校总计

3

4 优秀

非优秀

总计

附：

P(K2≥k) 0.10 0.0

5

0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.8

41

5.024

6.635

7.879 22()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++

【解】

(18)(本题满分12分)如图，AB 为圆柱的底面直径，过母线的截面ACEF 是边长为1的正方形。

（I ）求证：平面ABE ⊥平面BCF

（II ）若平面BEF 与平面BCF 所成的二面角为60°，求圆柱的底面直径AB 长。

【解】

A B C E F 第18题图

5

（19）(本题满分13分)已知抛物线C1：y=16

x2 -1的顶点为P ，两条互相垂直的直线恒与C1相切，切点分别为M,N 两点.

(I)若，求G 点的轨迹C2的方程：

（II ）若直线L ：mx-2y+1=0与C1相交于A,B 两点，与C2相交于C ，D 两点设△PAB , △PCD

的面积S1，S2,求证：不论m 取何值，S1S2

为定值，并求出这个值。

【解】

x y O M N P

6

（20）(本题满分13分)函数f(x)=(x-1)2+blnx,其中b ∈R 。

（I ）若函数在其定义域内是单调递增函数，求b 的取值范围：

（II ）设a>2,g(x)=x3-3a2x+4a2-6a+7.当b=12

时，若存在x1，x2 ∈[1,2],使得| f(x)- g(x)| ＜12

，求实数a 的取值范围。 【解】

7

21．（本题满分13分）已知正项数列{}n a ，{}n b 满足：对任意正整数n ，都有2n a ,2n b ,21n a 成等差数列，n b ,1n a ,1n b 成等比数列，且110a ，215a . （Ⅰ）求证：数列{n b }是等差数列； （Ⅱ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅲ）设22212111n n S a a a ，如果对任意正整数n ，不等式2aSn<2－22n n b a 恒成立，求实数a 的取值范围．

【解】

8

马鞍山市2013年高中毕业班第二次教学质量检测

高三理科数学参考解答及评分标准

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑.

1．【答案】C 由复数的运算得i z 22-= ，故z =22，选C

【命题意图】本题考查复数的概念及运算，容易题

2. 【答案】B

【命题意图】本题考查集合运算，简单题.

3. 【答案】C.

【命题意图】本题考查简易逻辑，容易题.

4．【答案】A.

【命题意图】本题考查线性规划，容易题.

5.【答案】B.

【命题意图】本题考查二项式定理，中等题.

6．【答案】C 该几何体为三棱柱，计算可得表面积

【命题意图】本题考查三视图，几何体表面积，中等题.

7. 【答案】A.

【命题意图】本题考查程序框图、古典概型等基础知识，考查分析问题解决问题的能力，中

9

等题.

8．【答案】D 由函数性质，得

1

a

,解得11x 故选D

【命题意图】本题考查函数基本性质，不等式，较难题.

9．【答案】D,而

126

13()

132

n n n

n a a A a +++=

=，又160a =，故当616n +=即10n =时n A 最小.

【命题意图】本题考查等差数列基础知识，中等题.

10．【答案】 A.简解：由sin cos 0sin cos ααα=

，知sin y x = ()0,2x π∈的过O 点的切线为l ，易知切线l 的斜率

αα

αsin cos =

，数形结合可知选A

【命题意图】本题考查三角函数，导数及其应用，不等式，难题. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

C

B

C

A

B

C

A

D

D

A

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．

11. 直线l 的极坐标方程为(cos

sin )

6，圆C ：cos sin x y θθ=??

=?（θ

为参数）上的点到直线l 的距离值为d ，则d 的最大值为 ▲ . 【答案】321+.

【命题意图】本题考查直线与圆的极坐标方程及参数方程，考查运算能力与数形结合能力，中等题.

12．函数sin()y A ωx φ的部分图像如图所示，其中0,02π

A

ω

φ

，，

则其解析式为 ▲

【答案】2sin(2)3y

x

【命题意图】本题考查三角函数图象，中等题

13. 已知P 是椭圆2

21

6

2

x y 和双曲线

22

2x y 的一个交点，若21,F F 分别是椭圆的左，

右焦点，则=∠21cos PF F ▲

【答案】0

【命题意图】本题考查椭圆与双曲线的基本知识，中等题. 14．在ABC 中，若120BAC ，1AB AC

，则|

AB

AC 的最小值是 ▲ .

【答案】6.

1112

x

O

y

2

2

6

10 【命题意图】本题考查平面向量基本知识，中等题.

15. 如图，在正方体1111ABCD

A B C D 中，E 为正方形11BCC B 的中心，F 为

棱11C D 上的动点（包括端点11C D ，）.给出下列命题：

存在点F ，使得1EF AB C 平面；

存在点F ，使得EF ABCD 与平面

所成角为3； 对任意的点F ，总有1EF A D ；

对任意的点F ，三棱锥1

A DEF 的体积为定值.

其中正确的命题的序号是 . 【答案】①③④

【命题意图】本题考查立体几何线面关系、线面角、几何体体积，较难题

三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16．(本题满分12分) （Ⅰ）证明：cos2

cos2

2cos(

)cos(

)；

（Ⅱ）在ABC 中，若

3A

，求22sin sin B C 的最大值.

【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数、平面向量平行关系、正弦定理等基础知识，考查逻辑推理和运算求解能力，简单题． （Ⅰ）证明：

cos 2

cos 2

cos

cos

[cos(

)cos()sin()sin()] [cos(

)cos()sin()sin()] 2cos(

)cos() 所以原等式成立.…………………………………………4分

（Ⅱ）解法1

221cos 21cos 2sin sin 22

B

C

B C

1

1

cos 2cos 22

B C

1cos cos B

C B C

1

1

cos 2

B C

……………………8分

∵3A

∴

22

(

,)33B C ∴3B C

时，

22max

3

sin sin 2B

C （）………………12分

解法2

2

241cos(

2)

21cos 23sin sin )

3

2

2

B B B

B （

1A

第15题图

11

1

1

cos 22

6B （以下同解法

1）

解法3 ∵

3A

由余弦定理可得：

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

b c b c a

b

c

bc b

c

∴2

2

2

2b c a ，由正弦定理可得2223

sin sin 2sin 2B C A

（以下略）

类似解法参照给分 17．(本题满分12分) 某市高二年级甲校有1100人，乙校有900人.现对两校高二年级在当年学业水平考试中的数学学科成绩进行统计分析，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，整理得到以下统计表（本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%）：

（I ）计算x

，y 的值，并根据以上数据估计出学校乙的数学成绩的平均分（精确到1分）；

（II ）若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异？”

附：

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++

【命题意图】本题考查2×2列联表、抽样调查的方法，及用样本估计总体的基本思想和设计抽样方法收集数据等基础知识，考查应用意识和数据处理的能力. 解：（Ⅰ）依题意甲校应抽取110人，乙校应抽取90人， 故10,15x y ==

估计乙校平均分为 551565

3075258515955

71

90?+?+?+?+?≈.………6分

（Ⅱ）

2

2

200(40702070) 4.714

1109060140k ?-?=≈???

12 又因为4.714 3.841 故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为 “两个学校的数学成绩有差异” ．……………………………………………………………………………12分

18．(本题满分12分)如图，AB 为圆柱的底面直径，过母线的截面ACEF 是边长为1的正方形.

（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面BCF ；

（Ⅱ）若平面BEF 与平面BCF 所成的二面角为60，求圆柱的底面直径AB 长.

【命题意图】利用圆柱为载体研究空间里的点、线、面之间的位置关系.如面面垂直，二面角等.中等题. （Ⅰ）证明：∵过圆柱母线的截面ACEF 是正方形，∴截面ACEF ⊥平面ABC, AE⊥CF 又AB 为圆柱的底面直径, ∴AC⊥BC ∴BC ⊥截面ACEF ∴ BC ⊥AE 又∵CF BC C 故AE ⊥平面BCF 又AE

ABE 平面

∴平面ABE ⊥平面BCF …………………………6分 （Ⅱ）解：平面BEF 与平面BCF 所成的二面角为60， 设AE CF =M 由（Ⅰ）AE ⊥平面BCF ，过E 作EH BF 于H

连接MH

MH

BF

EHM 为60

设BC t 则

22

2

11,2t BE t

EH

t

在Rt EMH 中，

依题222

3122sin 3

12

t EHM

t t

解得1t

故直径AB ……………………………12分

方法（2）建立空间直角坐标系如图 设BC t

则(0,,0),(1,0,1),(0,0,1)(1,,1),(1,0,0)

B t F E BF

t EF

设平面BEF 法向量为(,,)

m x y z 00(0,1,)

m EF x m

t x ty

z m BF

又平面BCF 法向量为n ，由AE

平面

BCF ，

A

B

C

E

F

H

M

A

B

C

E

F 第18题图

13 故(1,0,1)n 21cos ,1212m n t t ，

故直径AB 长2………12分

19．(本题满分13分)已知抛物线21116C y x ：的顶点为P ，

两条互相垂直的直线恒与1C 相切,切点分别为M ，N 两点.

（Ⅰ）若3OG OP OM ON ,求G 点的轨迹2C 的方程；

（Ⅱ）若直线210L mx y ：与1C 相交于A,B 两点, 与2C 相交于C,D 两点, 设

PAB ,PCD 的面积分别是1S ,2S ,求证：不论实数m 取何值，1

2S S 为定值，并求出这个定值.

【命题意图】本题考查抛物线及动点的轨迹方程等相关知识，考查运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力，中等题. 解: （Ⅰ）由2116y x 得13y x

设2

(,1)6m M m ,2(,1)6n N n ,

由PM PN L L 得111933m n mn

再设(,)G x y ，由(0,1)P 及3OG

OP OM ON 22

31836x

m n m n y 2218()2189y m n mn x

故G 点的轨迹2C 的方程为22x y …………………………………………6分

（Ⅱ）显然12||||S AB S CD ，由2211390

6210y

x x mx mx y 记11(,)A x y ,22(,)B x y ，∴212221233||314(4)

942x x m

m AB m m x x

记33(,)C x y ,44(,)D x y ，22210

10y x x mx mx y

x y

O M N P

14 ∴

2

34

2212

1||1

4

(4)

1

4

2

x x m m CD m m x x

∴2

2122

2

31

4

431

4

4

m m S S m m 为常数

∴命题成立，这个常数为3.……………………………………………………13分 解法2：由解法1，记11(,)A x y ,22(,)B x y ，33(,)C x y ,44(,)D x y 由

2

1116C y

x ：和2C ：2

2y

x 的焦点都是点1

(0,)

2，且直线21

0L mx

y ：过点1(0,)2

根据抛物线的定义可知：12211

223423

4()

+6+53122==

3

()

+14

2

2

m x x S y y m m x x S y y m

20．（本题满分13分）函数2

()

(1)ln f x x b x

，其中b R .

（Ⅰ）若函数在其定义域内是单调递增函数，求b 的取值范围； （Ⅱ）设3

22

2,()

3467

a g x x

a x a

a .当

1

2b

时，若存在12

,[1,2]x x ，使得

121

|()

(|<

2f x g x ），求实数a 的取值范围．

【命题意图】本题考察导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围，考查等价转化思想，这种常规的数学思想方法值得研究. 中等题. 解 （Ⅰ）函数

2

/

22f (x)=2(x-1)+

(0)

b

x x

b

x x x

由题意，f′(x)≥0在(0，＋∞)内恒成立，故2

220x

x

b

在(0，＋∞)内恒成立

即

22

11

2+2

2(-)2

2b

x x

x 恒成立．

显然，2

11

2(-)22x 在(0，＋∞)内的最大值为12，所以，b≥12

；

即b 的取值范围为

1

,2.……………………………………………………6分

（Ⅱ）首先研究f(x)，g(x)在[1,2]上的性质． 由（Ⅰ），当b ＝1

2时，

2

1()

(1)ln 2f x x x 在(0，＋∞)内单调递增，从而f(x)在[1,2]上

单调递增，

15 因此，f(x)在[1,2]上的最小值f(x)min ＝f(1)＝0，最大值f(x)max ＝f(2)＝1＋12

ln 2. g′(x)＝3(x2－a2)，由a>2，知当x ∈[1,2]时，g′(x)＝3(x2－a2)<0，

因此，322()34a 67g x x a x a 在[1,2]上单调递减．

g(x)在[1,2]上的最小值g(x)min ＝g(2)＝226150a a

最大值g(x)max ＝g(1)＝268a a ①若g(x)max ＝268a a ≥0，即a≥4时，两函数图象在[1,2]上有交点，此时a≥4显然满足题设条件，

②若g(x)max ＝268a a <0，即2

只需f(x)min －g(x)max<12，即f(1)－g(1)<12

，即－(268a a )<12，所以，3＋22

21．（本题满分13分）已知正项数列{}n a ，{}n b 满足：对任意正整数n ，都有2n a ,2n b ,21n a 成等差数列，n b ,1n a ,1n b 成等比数列，且110a ，215a .

（Ⅰ）求证：数列{n b }是等差数列；

（Ⅱ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅲ）设22212111n n S a a a ，如果对任意正整数n ，不等式2aSn<2－22n n b a 恒成立，求实数a 的取值范围． 【命题意图】本题考查等差、等比数列综合应用，以及对裂项相消及不等式相关知识的理解应用，考查了分类讨论思想，中等题.

（Ⅰ）证明 由已知，得

22212n n n b a a ① a2n ＋1＝bn·bn＋1 ②

将②代入①得，对任意n≥2，n∈N*，有

2112n n n n n b b b b b 即112n n n b b b ∴{bn}是等差数列． (4)

分

（Ⅱ）解 设数列{bn}的公差为d ，由

a1a2经计算，得21b ＝252

，22b ＝18. ∴1b ＝522，d ＝2b －1b ＝32－522＝22，bn ＝522＋(n －1)·22＝22

(n ＋4)．

16 ∴bn＝22(n ＋4)，an ＝2（n+3)(n+4) .…………………………………………………8分 （Ⅲ）解 由（Ⅰ）得21n a ＝2

3)(4)n n （ ＝2? ??

??1n ＋3－1n ＋4. ∴Sn＝2??????? ????14－15＋? ????15－16＋…＋? ????1n ＋3－1n ＋4＝2? ??

??14－1n ＋4. 不等式2aSn<2－22n n b a 化为4a ? ??

??14－1n ＋4<2－n ＋4n ＋3. 即(a －1)n2＋(3a －6)n －8<0，

设f(n)＝(a －1)n2＋(3a －6)n －8，则f(n)<0对任意正整数n 恒成立．

当a －1>0，即a>1时，不满足条件；

当a －1＝0，即a ＝1时，满足条件；

当a －1<0，即a<1时，f(n)的对称轴为x ＝－3a －22

a －1<0，f(n)关于n 递减， 因此，只需f(1)＝4a －15<0.解得a<154

，∴a<1. 综上，a≤1.………………………………………………………………………………13分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ho6q.html