数量积的坐标运算导学案

奇台县第一中学 高一数学◆必修4第二章◆平面向量导学案共12课时 编写： 校审： 高一数学组

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

第9课时

(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a?c)?b

【学习目标】

知识目标：1、在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）； 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.

例3、在△ABC中，AB=(2， 3)，AC=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值. 能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直等有关的问题.

【重点难点】 教学重点：平面向量数量积的坐标表示及运算 例4、已知向量a＝(k,1)，b＝(－2,2)，且a与b的夹角为锐角，求实数k的取值范围． 教学难点：用两个向量的坐标判断垂直关系

【课前自学】 一、课前准备：阅读课本P106-107 例5、已知a=（1，2），b=（-3，2）当k为何值时，（1）ka?b与a?3b垂直？ 二、预习自测

（2）ka?b与a?3b平行吗？平行时它们是同向还是反向？ a=（x1,y1）b?(x1,y2)

1.平面向量数量积（内积）的坐标表示 四、针对训练：

2.引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：

21.已知a?(?4,3),b?(5,6)则3a?4a?b（

）

(1)向量模的坐标表示：

A.23 B.57 C.63 D.83

(2)平面上两点间的距离公式：向量a的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)

已知a?(4,3),b?(?5,12)则a 与b夹角的余弦为（ ) AB= A、

6365 B、1665 C、135 D、13

(3)两向量的夹角公式cos? =

3、a=(5,-7), b=(-6,-4)，求a与b的 数量积 3. 向量垂直的判定（坐标表示）

4.向量平行的判定（坐标表示）

三、例题讲解：

4、设a=(2,1), b=(1,3),求a·b及a与b的夹角

例1、已知a =（1，3），b=（3，1），求a与b的夹角?.

5、已知向量a=(-2,-1), b=(λ,1)若a与b的夹角为钝角,则λ取值范围是多少? 例2、已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a?b＝10，求：

摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人

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2013年上学期◆高一 高一数学◆必修4第二章◆平面向量导学案共12课时 五、课后练习

1.已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ） A.60° B.30° C.135° D.４５°

77777777A. (,) B. (,) C.(?,?) D.(?,?)

39933993二、填空题

5．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝45，则b＝________. 6．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为______．

7．已知a＝(1，m)与b＝(n，－4)共线，且c＝(2,3)与b垂直，则m＋n的值为________．

?2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）

3A.2 B.23 C.6 D.12 3.已知a?(2,1),b?(?,3),a?b则?＝__________。

4.a?(?4,7),b?(5,2)则a?b?_______ (2a?3b)?(a?2b)?_______ 5.与a?(3,4)垂直的单位向量是__________

A、?,? B、??,?? C、??,?或?,?? D、?,?或??,?? 6．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)． (1)求a与b的夹角的余弦；

(2)若(a??b)?(2a?b)，求实数λ的值．

六、选做提高 一、选择题

1．已知向量a＝(1,0)与向量b＝(－1，3)，则向量a与b的夹角是( ) ππ2π5πA. B. C. D. 6336

n

2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－5，－1)，若ma＋nb (m≠0)与a垂直，则等于( )

mA．－1 B．0 C．1 D．2

3．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( ) A.3 B．23 C．4 D．12

4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )

?43??55??4?53?5??43??55??4?53?5??43??55?

?4?53?5?三、解答题

8．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)， (1)求证：AB⊥AD；

(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．

9．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)且a∥b，a⊥c. (1)求b和c；

(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m、n的夹角的大小．

【当堂总结】 1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．

2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．

3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．则a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.

课后作业：P108 A组9,10,11 B组2

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人生如一页历史，翻过就不可再重来；知识如一门技术，掌握就不会再落后

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