走进2018年中考数学复习专题攻略：走进2018年中考数学复习专题攻

走进2018年中考数学复习专题攻略第五讲二次函数压轴问题

【专题解析】

函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题.解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数关系式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案. 【方法点拨】

二次函数主要是借助动点问题和三角形、四边形相关的研究，分析此类问题主要是化动为静，化大为小，逐一解答的过程。 【类型突破】

类型一：函数动点问题

（2017?营口）如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E． （1）求抛物线解析式；

（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；

（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；

（2）根据函数解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式为y=x﹣2，设D（m，0），得到E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），根据已知条件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5，），E（5，），根据三角形的面积公式即可得到结论；

（3）设M（n，n﹣2），①以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n=4+，于是得到N（，﹣）；②以BD为边，根据菱形的性质得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴﹣2；

（2）令y=x2﹣x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=4，当x=0时，y=﹣2，∴B（4，0），C（0，﹣2），设BC的解析式为y=kx+b，则﹣2，

设D（m，0），∵DP∥y轴，∴E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），∵OD=4PE， ∴m=4（m2﹣m﹣2﹣m+2），∴m=5，m=0（舍去），∴D（5，0），P（5，），E（5，）， ∴四边形POBE的面积=S△OPD﹣S△EBD=×5×﹣

1×=

； ，解得：

，∴y=x

，解得：

，抛物线解析式为y=x2﹣x

（3）存在，设M（n，n﹣2），①以BD为对角线，如图1，

∵四边形BNDM是菱形，∴MN垂直平分BD，∴n=4+，∴M（，），∵M，N关于x轴对称，∴N（，﹣）；

②以BD为边，如图2，∵四边形BNDM是菱形，∴MN∥BD，MN=BD=MD=1， 过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+DH2=DM2，即（n﹣2）2+（n﹣5）2=12， ∴n1=4（不合题意），n2=5.6，∴N（4.6，同理（n﹣2）2+（4﹣n）2=1，

），

∴n1=4+（不合题意，舍去），n2=4﹣，∴N（5﹣，），

③以BD为边，如图3，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+BH2=BM2， 即（n﹣2）2+（n﹣4）2=12， ∴n1=4+

，n2=4﹣

（不合题意，舍去），∴N（5+

，

），

综上所述，当N（，﹣）或（4.6，）或（5﹣，）或（5+，），

以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、勾股定理，三角形的面积公式、菱形的性质、根据题意画出符合条件的图形是解题的关键． 变式练习：

（2017黑龙江鹤岗）如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+

=0（OA＞OC），直线y=kx+b

分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线

MN上的点D处，且tan∠CBD= （1）求点B的坐标； （2）求直线BN的解析式；

（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．

【考点】FI：一次函数综合题．

【分析】（1）由非负数的性质可求得x、y的值，则可求得B点坐标； （2）过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由条件可求得D点坐标，且可求得=，结合DE∥ON，利用平行线分线段成比例可求得OM和ON的长，则可求得N点坐标，利用待定系数法可求得直线BN的解析式；

（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方时，可知S即为?BNN′B′的面积，当N′在y轴的负半轴上时，可用t表示出直线B′N′的解析式，设交x轴于点G，可用t表示出G点坐标，由S=S可分别得到S与t的函数关系式． 【解答】解： （1）∵|x﹣15|+

=0，∴x=15，y=13，∴OA=BC=15，AB=OC=13∴B（15，13）；

四边形BNN′B′

﹣S△OGN′，

（2）如图1，过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，

由折叠的性质可知BD=BC=15，∠BDN=∠BCN=90°， ∵tan∠CBD=，∴

=，且BF2+DF2=BD2=152，解得BF=12，DF=9，

∴CF=OE=15﹣12=3，DE=EF﹣DF=13﹣9=4，

∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°，且∠ONM+∠CND=180°， ∴∠ONM=∠CBD，∴

=，∵DE∥ON，∴

=

=，且OE=3，∴

=，解

得OM=6，∴ON=8，即N（0，8）， 把N、B的坐标代入y=kx+b可得∴直线BN的解析式为y=x+8；

（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′， 当点N′在x轴上方，即0＜t≤8时，如图2，

，解得

，

由题意可知四边形BNN′B′为平行四边形，且NN′=t，∴S=NN′?OA=15t； 当点N′在y轴负半轴上，即8＜t≤13时，设直线B′N′交x轴于点G，如图3，

∵NN′=t，∴可设直线B′N′解析式为y=x+8﹣t，

令y=0，可得x=3t﹣24，∴OG=24，∵ON=8，NN′=t，∴ON′=t﹣8，

∴S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′=15t﹣（t﹣8）（3t﹣24）=﹣t2+39t﹣96； 综上可知S与t的函数关系式为S=类型二：二次函数存在点问题研究

（2017贵州安顺）如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．

．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；

（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．

【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C， ∴B（3，0），C（0，3），

把B、C坐标代入抛物线解析式可得∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3； （2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1）， 设M（2，t），且C（0，3）， ∴MC=

=

，解得，

，MP=|t+1|，PC==2，

∵△CPM为等腰三角形，

∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况， ①当MC=MP时，则有②当MC=PC时，则有此时M（2，7）；

③当MP=PC时，则有|t+1|=2﹣1+2

）或（2，﹣1﹣2

，解得t=﹣1+2）；

）

或t=﹣1﹣2

，此时M（2，

=|t+1|，解得t=，此时M（2，）； =2

，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，

综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2或（2，﹣1﹣2

）；

（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，

设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3）， ∵0＜x＜3，

∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，

∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF?OD+EF?BD=EF?OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，

∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，）， 即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大． 变式练习：

（2017毕节）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式；

（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；

（3）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标． 【解答】解：

（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c， 把A、B、C三点坐标代入可得∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4；

，解得

，

（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，

∴PO=PD，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2）， ∴P点纵坐标为﹣2，

代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=∴存在满足条件的P点，其坐标为（（3）∵点P在抛物线上， ∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），

过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，

（小于0，舍去）或x=

，

，﹣2）；

∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y=x﹣4，∴F（t，t﹣4）， ∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，

∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF?OE+PF?BE=PF?（OE+BE）=PF?OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，

∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4=﹣6， ∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．

类型三：二次函数相似点问题研究

( 2017湖南怀化)如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；

（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；

（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）根据待定系数法直接抛物线解析式；

（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；

（3）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；

（4）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．

【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上， ∴∴

，

，

∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5，

（2）如图1，令x=0，则y=﹣5，∴C（0，﹣5），∴OC=OB， ∴∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=6，BC=5

，

或

，

要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有①当②当

时，CD=AB=6，∴D（0，1）， 时，∴

，∴CD=

）；

，∴D（0，

），

即：D的坐标为（0，1）或（0，（3）设H（t，t2﹣4t﹣5），

∵CE∥x轴，∴点E的纵坐标为﹣5，

∵E在抛物线上，∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4， ∴E（4，﹣5），∴CE=4，

∵B（5，0），C（0，﹣5），∴直线BC的解析式为y=x﹣5， ∴F（t，t﹣5），∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣）2+

，

，

∵CE∥x轴，HF∥y轴，∴CE⊥HF，∴S四边形CHEF=CE?HF=﹣2（t﹣）2+当t=时，四边形CHEF的面积最大为

．

（4）如图2，∵K为抛物线的顶点，∴K（2，﹣9）， ∴K关于y轴的对称点K\'（﹣2，﹣9），

∵M（4，m）在抛物线上，∴M（4，﹣5），∴点M关于x轴的对称点M\'（4，5）， ∴直线K\'M\'的解析式为y=x﹣

，∴P（

，0），Q（0，﹣

）．

变式练习：

（2017四川眉山）如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，﹣）是抛物线上另一点． （1）求a、b的值；

（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；

（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）根据题意列方程组即可得到结论；

（2）在y=ax2+bx﹣2中，当x=0时．y=﹣2，得到OC=2，如图，设P（0，m），则PC=m+2，OA=3，根据勾股定理得到AC=②当PC=CA=

=

，①当PA=CA时，则OP1=OC=2，

时，③当PC=PA时，点P在AC的垂直平分线上，根据相似三角

时，于是得到结论；

形的性质得到P3（0，），④当PC=CA=

（3）过H作HG⊥OA于G，设HN交Y轴于M，根据平行线分线段成比例定理得到

OM=，求得抛物线的对称轴为直线x==，得到OG=，求得GN=t﹣，

根据相似三角形的性质得到HG=t﹣，于是得到结论．

【解答】解：（1）把A（3，0），且M（1，﹣）代入y=ax2+bx﹣2得，

解得：；

（2）在y=ax2+bx﹣2中，当x=0时．y=﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2， 如图，设P（0，m），则PC=m+2，OA=3，AC=①当PA=CA时，则OP1=OC=2，∴P1（0，2）； ②当PC=CA=

时，即m+2=

，∴m=

﹣2，∴P2（0，

﹣2）；

=

，

③当PC=PA时，点P在AC的垂直平分线上， 则△AOC∽△P3EC， ∴

=

，∴P3C=

，∴m=，∴P3（0，），

，

④当PC=CA=∴P4（0，﹣2﹣

时，m=﹣2﹣

），

综上所述，P点的坐标1（0，2）或（0，﹣2）或（0，）或（0，﹣2﹣）；

（3）过H作HG⊥OA于G，设HN交Y轴于M， ∵NH∥AC，∴

，∴

，∴OM=

，

∵抛物线的对称轴为直线x==，∴OG=，∴GN=t﹣，

∵GH∥OC，∴△NGH∽△NOM，∴∴HG=t﹣

，即=）=t2﹣

，

t（0＜t＜3）．

，∴S=ON?GH=t（t﹣

类型四：二次函数特殊点问题研究

（2017呼和浩特）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，其顶点记为M，自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等．若点M在直线l：y=﹣12x+16上，点（3，﹣4）在抛物线上． （1）求该抛物线的解析式；

（2）设y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，在x轴上有一点A（﹣，0），试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出相应的P点横坐标x的取值范围．

（3）直线l与抛物线另一交点记为B，Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），设Q点坐标为（t，n），过Q作QH⊥x轴于点H，将以点Q，H，O，C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数，标出自变量t的取值范围，并求出S可能取得的最大值．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）根据已知条件得到抛物线的对称轴为x=2．设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣8．将（3，﹣4）代入得抛物线的解析式为y=4（x﹣2）2﹣8，即可得到结论；

（2）由题意得：C（0，8），M（2，﹣8），如图，当∠PCO=∠ACO时，过P作PH⊥y轴于H，设CP的延长线交x轴于D，则△ACD是等腰三角形，于是得到OD=OA=，根据相似三角形的性质得到x=设抛物线与x轴交于F，B，则B（2+

，过C作CE∥x轴交抛物线与E，则CE=4，，0），于是得到结论；

（3）解方程组得到D（﹣1，28得到Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），①当﹣1≤t＜0时，②当0＜t＜时，③当＜t＜2时，求得二次函数的解析式即可得到结论．

【解答】解：（1）∵自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等，

∴抛物线的对称轴为x=2．∵点M在直线l：y=﹣12x+16上，∴yM=﹣8． 设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣8．

将（3，﹣4）代入得：a﹣8=﹣4，解得：a=4．∴抛物线的解析式为y=4（x﹣2）

2

﹣8，整理得：y=4x2﹣16x+8．

（2）由题意得：C（0，8），M（2，﹣8），

如图，当∠PCO=∠ACO时，过P作PH⊥y轴于H，设CP的延长线交x轴于D， 则△ACD是等腰三角形，∴OD=OA=，∵P点的横坐标是x，∴P点的纵坐标为4x2﹣16x+8，∵PH∥OD，∴△CHP∽△COD，∴过C作CE∥x轴交抛物线与E，则CE=4， 设抛物线与x轴交于F，B，则B（2+

，0），

，∴x=

，

∴y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P， ∴当x=当2+

时，∠PCO=∠ACO， ＜x＜

时，∠PCO＜∠ACO，当

，解得：

＜x＜4时，∠PCO＞∠ACO； ，∴D（﹣1，28），

（3）解方程组

∵Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合）， ∴Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），

①当﹣1≤t＜0时，S=（﹣t）（﹣12t+16﹣8）+8（﹣t）=6t2﹣12t=6（t﹣1）

2

﹣6，∵﹣1≤t＜0，∴当t=﹣1时，S最大=18；

②当0＜t＜时，S=t?8+t（﹣12t+16）=﹣6t2+12t=﹣6（t﹣1）2+6，∵ 0＜t＜，∴当t=﹣1时，S最大=6；

③当＜t＜2时，S=t?8+（12t﹣16）=6t2﹣4t=6（t﹣）2﹣， ∵＜t＜2，∴此时S为最大值．

变式练习：

（2017.湖南怀化）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；

（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；

（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）根据待定系数法直接抛物线解析式；

（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；

（3）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；

（4）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．

【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上， ∴∴

，

，∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5，

（2）如图1，令x=0，则y=﹣5，∴C（0，﹣5），∴OC=OB， ∴∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=6，BC=5

，

或

，

要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有①当②当

时，CD=AB=6，∴D（0，1）， 时，∴

，∴CD=

）；

，∴D（0，

），

即：D的坐标为（0，1）或（0，

（3）设H（t，t2﹣4t﹣5），∵CE∥x轴，∴点E的纵坐标为﹣5，

∵E在抛物线上，∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，∴E（4，﹣5），∴CE=4， ∵B（5，0），C（0，﹣5），∴直线BC的解析式为y=x﹣5，∴F（t，t﹣5）， ∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣）2+

，

，

∵CE∥x轴，HF∥y轴，∴CE⊥HF，∴S四边形CHEF=CE?HF=﹣2（t﹣）2+当t=时，四边形CHEF的面积最大为

．

（4）如图2，∵K为抛物线的顶点，∴K（2，﹣9）， ∴K关于y轴的对称点K\'（﹣2，﹣9），

∵M（4，m）在抛物线上，∴M（4，﹣5），∴点M关于x轴的对称点M\'（4，5）， ∴直线K\'M\'的解析式为y=x﹣

，∴P（

，0），Q（0，﹣

）．

【提高巩固】

1. （2017黑龙江鹤岗）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y=﹣x+3交于C、D两点．连接BD、AD． （1）求m的值．

（2）抛物线上有一点P，满足S△ABP=4S△ABD，求点P的坐标．

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H5：二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）利用方程组首先求出点D坐标．由面积关系，推出点P的纵坐标，再利用待定系数法求出点P的坐标即可；

【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+3过（3，0），∴0=﹣9+3m+3，∴m=2

（2）由，得，，∴D（，﹣），

∵S△ABP=4S△ABD，∴AB×|yP|=4×AB×，∴|yP|=9，yP=±9， 当y=9时，﹣x2+2x+3=9，无实数解， 当y=﹣9时，﹣x2+2x+3=﹣9，x1=1+∴P（1+

，﹣9）或P（1﹣

，x2=1﹣

，

，﹣9）．

3．（2017浙江湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与 A，B点不重合），抛物线L1：y=ax2+b1x+c1（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F． （1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L1，L2的解析式；

（2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；

（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法，将A，B，C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；

（2）过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，易证△ADG～△EBH，根据相似三角形对应边比例相等即可解题； （3）开放性答案，代入法即可解题；

【解答】解：（1）将A、C点带入y=ax2+b1x+c1中，可得：，

解得：，∴抛物线L1解析式为y=；

同理可得：，解得：，

∴抛物线L2解析式为y=；

（2）如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，

由题意得：，解得：，

，

），

∴抛物线L1解析式为y=﹣x2+（m﹣4）x+4m；∴点D坐标为（∴DG=

=

，AG=

；

同理可得：抛物线L2解析式为y=﹣x2+（m+4）x﹣4m； ∴EH=

=

，BH=

，

∵AF⊥BF，DG⊥x轴，EH⊥x轴，∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°， ∵∠DAG+∠ADG=90°，∠DAG+∠EBH=90°，∴∠ADG=∠EBH， ∵在△ADG和△EBH中，

，∴△ADG～△EBH，∴

=

，

∴=，化简得：m2=12，解得：m=±；

（3）存在，例如：a=﹣，﹣；当a=﹣时，代入A，C可以求得： 抛物线L1解析式为y=﹣x2+（m﹣4）x+m；

同理可得：抛物线L2解析式为y=﹣x2+（m+4）x﹣m； ∴点D坐标为（

，

），点E坐标为（

，

）；

∴直线AF斜率为，直线BF斜率为；

若要AF⊥BF，则直线AF，BF斜率乘积为﹣1，

即×=﹣1，化简得：m2=﹣20，无解；

同理可求得a=﹣亦无解．

∴tan∠BOR=tan∠TBK，∴=，∴BR=TK，∵∠CTQ=∠BTK，∴∠QCT=∠TBK，

∴tan∠QCT=tan∠TBK，设ST=TD=m，

∴SK=2m+1，CS=2﹣2m，TK=m+1=BR，SR=3﹣m，RK=2﹣m，

在Rt△SKR中，∵SK2+RK2=SR2，∴（2m+1）2+（2﹣m）2=（3﹣m）2， 解得m1=﹣2（舍去），m2=；∴ST=TD=，TK=， ∴tan∠TBK=

=÷3=，∴tan∠PCD=，

过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′，

∵CF′=OE′=t，∴PF′=t，∴PE′=t+3，∴P（t，﹣∴﹣t﹣3=t2﹣2t﹣3，解得t1=0（舍去），t2=． ∴MN=d=

t=

×=

．

t﹣3），

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