八年级数学下册 18.2.1矩形同步练习3 (新版)新人教版

矩形

矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )

A．内角和为360° B．对角线相等

C．对角相等 D．相邻两角互补

平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质( )

A．对角线相等 B．对角线互相平分

C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直

下列关于矩形的说法中正确的是( )

A．矩形的对角线互相垂直且平分

B．矩形的对角线相等且互相平分

C．对角线相等的四边形是矩形

D．对角线互相平分的四边形是矩形

下列说法正确的有( )

①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤对角线相等且垂直的四边形是矩形；⑥有一个角是直角的平行四边形是矩形．

A．1个 B．2个C．3个D．4个

如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE：∠BAE=1：2，试求∠CAE的度数．

如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，

∠BDE=15°，试求∠COE的度数．

Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，E是AB边的中点，F是AC边的中点，D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是．

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．

(1)线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．

如图，以△ABC的各边向同侧作正△ABD，正△BCF，正△ACE．

(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；

(2)当∠BAC=______时，四边形AEFD是矩形；

(3)当∠BAC=______时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在．

如图，已知平行四边形ABCD，延长AD到E，使DE=AD，连接BE与DC交于O点．

(1)求证：△BOC≌△EOD；

(2)当∠A=1

2

∠EOC时，连接BD、CE，求证：四边形BCED为矩形．

已知四边形ABCD中，AB=CD，BC=DA，对角线AC、BD交于点O．M是四边形ABCD外的一点，AM⊥MC，BM⊥MD．试问：四边形ABCD是什么四边形，并证明你的结论．

如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，延长DF交AN于点E．

(1)判断四边形ABDE的形状，并说明理由；

(2)问：线段CE与线段AD有什么关系？请说明你的理由．

已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．

(1)求证：△ADE≌△CBF；

(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

如图，矩形纸片ABCD的宽AD=5，现将矩形纸片ABCD沿QG折叠，使点C落到点R的位置，点P是QG上的一点，PE⊥QR于E，PF⊥AB于F，求PE+PF．

如图，已知，E是矩形ABCD边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G，你知道PF+PG与AB有什么关系吗？并证明你的结论．

矩形

课后练习参考答案

B．

详解：A．内角和为360°矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；

B．对角线相等只有矩形具有，而平行四边形不具有，故此选项正确；

C．对角相等矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；

D．相邻两角互补矩形与平行四边形都具有，故此选项错误．

故选B．

B．

详解：因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．故选B．

B．

详解：A．矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，本选项错误；

B．矩形的对角线相等且互相平分，本选项正确；

C．对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，本选项错误；D．对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，本选项错误．

故选B．

C．

详解：两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故①③⑤错；

有一个角为直角的平行四边形为矩形，故②④⑥正确．

故选C．

30°．

详解：∵∠DAE：∠BAE=1：2，∠DAB=90°，

∴∠DAE=30°，∠BAE=60°，

∴∠DBA=90°∠BAE=90°60°=30°，

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，

∴∠CAE=∠BAE∠OAB=60°30°=30°．

75°．

详解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，

∴∠CDE=∠CED= 45°，∴EC=DC，

又∵∠BDE=15°，∴∠CDO=60°，

又∵矩形的对角线互相平分且相等，∴OD=OC，

∴△OCD是等边三角形，

∴∠DCO=60°，∠OCB=90°∠DCO=30°，

∵DE平分∠ADC，∠ECD=90°，∠CDE=∠CED= 45°，

∴CD=CE=CO，∴∠COE=∠CEO；

∴∠COE=(180°-30°)÷2=75°．

6

．

5

详解：由题意知，四边形AFPE是矩形，

∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，

∴当AP为Rt△ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，

此时AM =12

AP ，由勾股定理知BC ， ∵S △A BC =12AB ?AC =12BC ?AP ，∴AP =345?=125，∴AM =12AP =65

．

详解：作点F 关于BC 的对称点G ，连接EG ，交BC 于D 点，D 点即为所求， ∵E 是AB 边的中点，F 是AC 边的中点，∴EF 为△ABC 的中位线，

∵BC =2，∴EF =12BC =12

×2=1； ∵EF 为△ABC 的中位线，∴EF ∥BC ，∴∠EFG =∠C =90°，

又∵∠ABC =60°，BC =2，FG =AC EG

∴DE +FE +DF =EG +EF

见详解．

详解：(1)BD =CD ．

理由：∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DCE ，∵E 是AD 的中点， ∴AE =DE ， 在△AEF 和△DEC 中，∠AFE =∠DCE ，∠AEF =∠DEC ，AE =DE ，

∴△AEF ≌△DEC (AAS)，∴AF =CD ，

∵AF =BD ，∴BD =CD ；

(2)当△ABC 满足：AB =AC 时，四边形AFBD 是矩形．

理由：∵AF ∥BD ，AF =BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，

∵AB =AC ，BD =CD ，∴∠ADB =90°，

∴平行四边形AFBD 是矩形．

见详解．

详解：(1)∵△BCF 和△ACE 是等边三角形，

∴AC =CE ，B C =CF ，∠ECA =∠BCF =60°，

∴∠ECA ∠FCA =∠BCF ∠FCA ，即∠ACB =∠ECF ，

∵在△ACB 和△ECF 中，AC =CE ，∠ACB =∠ECF ，BC =CF ，

∴△ACB ≌△ECF (SAS)，∴EF =AB ， ∵三角形ABD 是等边三角形，∴AB =AD ，∴EF =AD =AB ，

同理FD =AE =AC ，即EF =AD ，DF =AE ，∴四边形AEFD 是平行四边形；

(2)当∠BAC =150°时，平行四边形AEFD 是矩形，

理由：∵△ADB 和△ACE 是等边三角形，∴∠DAB =∠EAC =60°，

∵∠BAC =150°，∴∠DAE =360°60°60°150°=90°，

∵由(1)知：四边形AEFD 是平行四边形，∴平行四边形AEFD 是矩形．

(3)当∠BAC=60°时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在，理由如下：∵∠DAB=∠EAC=60°，∠BAC=60°，∴∠DAE=60°+60°+60°=180°，∴D、A、E三点共线，即边DA、AE在一条直线上，

∴当∠BAC=60°时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在．

见详解．

详解：(1)∵在平行四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，

∴∠EDO=∠BCO，∠DEO=∠CBO，

∵DE=AD，∴DE=BC，

在△BOC和△EOD中，∠OBC=∠OED，BC=DE，∠OCB=∠ODE，

∴△BOC≌△EOD(ASA)；

(2)∵DE=BC，DE∥BC，∴四边形BCED是平行四边形，

在平行四边形ABCD中，AB∥DC，∴∠A=∠ODE，

∵∠A=1

2

∠EOC，∴∠ODE=

1

2

∠EOC，

∵∠ODE+∠OED=∠EOC，∴∠ODE=∠OED，∴OE=OD，∵平行四边形BCED中，CD=2OD，BE=2OE，

∴CD=BE，∴平行四边形BCED为矩形．

见详解．

详解：矩形．

理由：连接OM，∵AB=CD，BC=DA，

∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AM⊥MC，BM⊥MD，∴∠AMC=∠BMD=90°，

∴OM=1

2

BD，OM=1

2

AC，∴BD=AC，

∴四边形ABCD是矩形．

见详解．

详解：(1)四边形ABDE是平行四边形，

理由：∵AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，∴DF∥AB，∵AB=AC，D是BC中点，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥DC，

∵AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠NAD=90°，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；

(2)CE∥AD，CE=AD；

理由：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=1

2

∠MAC，

∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，

∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，

∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形，

∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形，

∴CE∥AD，CE=AD．

见详解．

详解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD，

∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=1

2

AB，CF=1

2

CD．∴AE=CF，

在△AED与△CBF中，AD=CB，∠4=∠C，AE=CF，

∴△ADE≌△CBF(SAS)，

(2)当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形，

∵四边形BEDF是菱形，∴DE=BE，

∵AE=BE，∴AE=BE=DE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，即∠ADB=90°，

∴四边形AGBD是矩形．

5．

详解：把折叠的图展开，如图所示：EF=AD，

∵AD=5，∴EF=5，∴PF+PE=5．

PF+PG =AB．

详解：PF+PG=AB．理由如下：连接PE，

则S△BEP+S△DEP=S△BED，即1

2

BE?PF+1

2

DE?PG =1

2

DE?AB．

又∵BE=DE，∴1

2

DE?PF+1

2

DE?PG=1

2

DE?AB，即1

2

DE(PF+PG)=1

2

DE?AB，

∴PF+PG =AB．

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