高中数学人教a版高二选修2-1 - 章末综合测评1 有答案

高中数学人教a版高二选修2-1_章末综合测评1 有答案

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是( ) A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1 B．若－1＜x＜1，则x2＜1 C．若x＞1，或x＜－1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1

【解析】 命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”． 【答案】 D

2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( ) A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

【解析】 把全称量词改为存在量词并把结论否定． 【答案】 D

3．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】 命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．

【答案】 A

4．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

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【解析】 当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0, 即点P(2，－1)在直线l上．点P′(0，1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分而不必要条件．

【答案】 A

5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( ) A．?x0∈R，使得f(x0)＞0成立 B．?x0∈R，使得f(x0)≤0成立 C．?x∈R，使得f(x)＞0成立 D．?x∈R，f(x)≤0成立

【解析】 “关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x0，使得f(x0)＞0成立”．故选A.

【答案】 A

6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】 若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.

【答案】 A

7．命题p：函数y＝lg(x2＋2x－c)的定义域为R；命题q：函数y＝lg(x2＋2x－c)的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A，命题q为真命题时c的取值集合为B，则A∩B＝( )

A．?

C．{c|c≥－1}

B．{c|c<－1} D．R

【解析】 命题p为真命题，即x2＋2x－c>0恒成立，则有Δ＝4＋4c<0，解得c<－1，即A＝{c|c<－1}；令f(x)＝x2＋2x－c，命题q为真命题，则f(x)的值域包含(0，＋∞)．即Δ＝4＋4c≥0，求得c≥－1，即B＝{c|c≥－1}．于是A∩B＝?，故选A.

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【答案】 A

8．对?x∈R，kx2－kx－1＜0是真命题，则k的取值范围是( ) A．－4≤k≤0 C．－4＜k≤0

B．－4≤k＜0 D．－4＜k＜0

【解析】 由题意知kx2－kx－1＜0对任意x∈R恒成立，当k＝0时，－1＜0恒

?k＜0，

成立；当k≠0时，有?即－4＜k＜0，所以－4＜k≤0. 2

?Δ＝k＋4k＜0，

【答案】 C

9．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使2x0

＜0.下列选项中为真命题的是( )

A．綈p C．綈q∧p

B．綈p∨q D．q

【解析】 很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p∨q为假命题，綈q∧p为真命题，故选C.

【答案】 C

10．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

?a1>0，?a1<0，

【解析】 等比数列{an}为递增数列的充要条件为?或?故“q>1”是

?q>1?0

“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．

【答案】 D

11．已知命题p：?x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为( ) A．?x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1 B．?x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1 C．?x>0，总有(x＋1)ex≤1

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D．?x≤0，使得(x＋1)ex≤1

【解析】 因为全称命题?x∈M，p(x)的否定为?x0∈M，綈p(x)，故綈p：?x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1.

【答案】 B

12．已知p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在直线y＝－3x＋2上，则使p∧q为真命题的点P的坐标是( )

A．(0，－3) C．(1，－1)

B．(1，2) D．(－1，1)

【解析】 因为p∧q为真命题，所以p，q均为真命题．所以点P为直线y＝2x

?y＝2x－3，?x＝1，－3与直线y＝－3x＋2的交点．解方程组?得?即点P的坐标为(1，

?y＝－3x＋2，?y＝－1，

－1)．

【答案】 C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝x－3的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的为________．

【解析】 p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，綈p为真命题． 【答案】 p∨q与綈p

14．“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________________，否命题是________________．

【解析】 命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．

【答案】 末位数字是1或3的整数能被8整除 末位数字不是1且不是3的整数能被8整除

15．已知f(x)＝x2＋2x－m，如果f(1)>0是假命题，f(2)>0是真命题，则实数m的取值范围是______．

?f（1）＝3－m≤0，

【解析】 依题意，?∴3≤m<8.

?f（2）＝8－m>0，

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【答案】 [3，8) 16．给出以下判断：

①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；

3

②命题“?x∈N，x3>x2”的否定是“?x0∈N，使x0>x2； 0”

③“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数”的充要条件； ④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题． 其中正确命题的序号是________.

【解析】 ①②④是假命题，③是真命题． 【答案】 ③

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由． (1)q：所有的矩形都是正方形； (2)r：?x0∈R，x20＋2x0＋2≤0； (3)s：至少有一个实数x0，使x30＋3＝0.

【解】 (1)綈q：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题．

(2)綈r：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．这是由于?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2

＋1≥1>0恒成立．

(3)綈s：?x∈R，x＋3≠0，假命题．这是由于当x＝－3时，x3＋3＝0. 18．(本小题满分12分)指出下列命题中，p是q的什么条件？ (1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}； (2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数；

1

(3)p：0

3【解】 (1)因为{x|x2－x－6<0}＝{x|－2－2或x<3}?/ {x|－2－2或x<3}． 所以p是q的必要不充分条件．

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3

3

(2)因为a，b都是奇数?a＋b为偶数，而a＋b为偶数?/ a，b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件．

(3)mx2－2x＋3＝0

1?Δ>0，?4－12m>0，??m<，有两个同号不等实根??3????3?

??m>0?m>0?m>0

1

0

3

所以p是q的充要条件．

19．(本小题满分12分)已知命题p：不等式2x－x2

q：m2－2m－3≥0，

如果“綈p”与“p∧q”同时为假命题，求实数m的取值范围. 【解】 2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，所以p为真时， m>1.由m2－2m－3≥0得m≤－1或m≥3， 所以q为真时，m≤－1或m≥3. 因为“綈p”与“p∧q”同时为假命题， 所以p为真命题，q为假命题，所以得

?m>1，? －1

即1

20．(本小题满分12分)已知两个命题p：sin x＋cos x＞m，q：x2＋mx＋1＞0，如果对任意x∈R，有p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．

【解】 当命题p是真命题时，

?π?

由于x∈R，则sin x＋cos x＝2sin?x＋?≥－2，

4??

所以有m＜－2. 当命题q是真命题时， 由于x∈R，x2＋mx＋1＞0， 则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.

由于p∨q为真，p∧q为假，所以p与q一真一假．

考虑到函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象为开口向上的抛物线，对任意的x∈R，x2＋mx

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＋1≤0不可能恒成立．所以只能是p为假，q为真，

??m≥－2，

此时有?

－2＜m＜2，??

解得－2≤m＜2，

所以实数m的取值范围是[－2，2)．

21．(本小题满分12分)已知命题p：对数loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义；命题q：实数t满足不等式t2－(a＋3)t＋a＋2<0.

(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

5

【解】 (1)因为命题p为真，则对数的真数－2t2＋7t－5>0，解得1

25??

所以实数t的取值范围是?1，2?.

?

?

(2)因为p是q解集的真子集．

?5?????的充分不必要条件，所以t?1

的

法一 因为方程t2－(a＋3)t＋a＋2＝0的两根为1和a＋2， 51

所以只需a＋2>，解得a>.

22

?1?

即实数a的取值范围为?2，＋∞?.

??

法二 令f(t)＝t2－(a＋3)t＋a＋2，因为f(1)＝0， 1?5?所以只需f?2?<0，解得a>.

2??

?1?

即实数a的取值范围为?2，＋∞?.

??

22．(本小题满分12分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.

【证明】 充分性：∵∠A＝90°， ∴a2＝b2＋c2.

于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0， ∴x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.

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∴[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0.

∴该方程有两根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)，

同样另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0， 即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，

∴该方程有两根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)． 可以发现，x1＝x3， ∴方程有公共根．

必要性：设x是方程的公共根，

?x2＋2ax＋b2＝0， ①则?2 2

x＋2cx－b＝0， ②?

由①＋②，得x＝－(a＋c)，x＝0(舍去)． 代入①并整理，可得a2＝b2＋c2. ∴∠A＝90°. ∴结论成立．

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