解析几何第四版吕林根 期末复习 课后习题(重点)详解

第一章 矢量与坐标

§1.3 数量乘矢量

4、 设AB?a?5b，BC??2a?8b，CD?3(a?b)，证明：A、B、D三点共线． 证明 ∵BD?BC?CD??2a?8b?3(a?b)?a?5b?AB

∴AB与BD共线，又∵B为公共点，从而A、B、D三点共线．

6、 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL, BM,

?????????????????????CN可 以构成一个三角形.

证明： ?AL?1(AB?AC) 21 BM?(BA?BC)

21 CN?(CA?CB)

21 ?AL?BM?CN?(AB?AC?BA?BC?CA?CB)?0

2OA?OB+OC=OL+OM+ON.

7.、设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明 [证明] ?OA?OL?LA OB?OM?MB OC?ON?NC

?OA?OB?OC?OL?OM?ON?(LA?MB?NC) =OL?OM?ON?(AL?BM?CN) 由上题结论知：AL?BM?CN?0 ?OA?OB?OC?OL?OM?ON 从而三中线矢量AL,BM,CN构成一个三角形。

8.、如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明

OA+OB+OC+OD＝4OM.

[证明]：因为OM＝

1(OA+OC), OM＝21(OB+OD), 2所以 2OM＝1(OA+OB+OC+OD) 2所以

OA+OB+OC+OD＝4OM.

10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．

图1-5

证明 已知梯形ABCD，两腰中点分别为M、N，连接AN、BN． MN?MA?AN?MA?AD?DN，

MN?MB?BN?MB?BC?CN，∴ MN?AD?BC，即

§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解

3.、设一直线上三点A, B, P满足AP＝?PB(??－1),O是空间任意一点，求证：

???????????????OA??OB

1??[证明]：如图1-7，因为

OP＝

AP＝OP－OA,

PB＝OB－OP,

所以 OP－OA＝? (OB－OP),

(1+?)OP＝OA+?OB,

OA??OB从而 OP＝.

1??4.、在?ABC中,设AB?e1,AC?e2.

图1-7 (1) 设D、E是边BC三等分点,将矢量AD,AE分解为e1,e2的线性组合; （2）设AT是角A的平分线(它与BC交于T点),将AT分解为e1,e2的线性组合 解：（1）?BC?AC?AB?e2?e1,BD?

（2）因为

11BC?e2?e1， 33112121AD?AB?BD?e2?e1?e1?e1?e2，同理AE?e2?e1

333333??|BT||e1| ＝,|TC||e1|且 BT与TC方向相同， 所以 BT＝|e1||e2|由上题结论有

TC.

e1?AT＝|e1||e|e?|e1|e2|e2|＝21. |e||e1|?|e2|1?1|e2|e25．在四面体OABC中，设点G是?ABC的重心（三中线之交点），求矢量OG对于矢量

OA,,OB,OC的分解式。

解：?G是?ABC的重心。?连接AG并延长与BC交于P

12211AB?AC,AG?AP??AB?AC?AB?AC 2332311同理BG?BA?BC,CG?CA?CB C O

331?OG?OA?AG?OA?AB?BC （1） G P

31 OG?OB?BG?OB?BA?BC （2） A B

3 1 OG?OC?CG?OC?CA?CB （3） （图1）

3 ?AP?????????????????由（1）（2）（3）得

3OG?OA?OB?OC? ?OA?OB?OC

1?AB?AC?BA??1BC?CA?CB 33?? 6．用矢量法证明以下各题

（1）三角形三中线共点

证明：设BC，CA，AB中，点分别为L，M，N。AL与BM交于P1，AL于CN交于P2 BM于CN交于P3，取空间任一点O，则 A

21BM?OB?BA?BC 3311 ?OB?OA?OB?OC?OB?OA?OB?OC A

331同理OP2?OA?OB?OC N M

31 OP3?OA?OB?OC B L C

3OP1?OB?BP1?OB??????????? ?P1,P2,P3三点重合 O ?三角形三中线共点 （图2） 即OG?1OA?OB?OC 3??§1.5 标架与坐标

9. 已知线段AB被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A与B的坐标. 答 A(-1,2,4),B(8,-4,2).

10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.

[证明]：设四面体A1A2A3A4,Ai对面重心为Gi, 欲证AiGi交于一点(i＝1, 2, 3, 4).

在AiGi上取一点Pi，使AiPi＝3PiGi, 从而OPi＝

OAi?3OGi，

1?3设Ai (xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，则

?x?x3?x4,G1?23?y2?y3?y4,3y1?y3?y4,3y1?y2?y4,3y1?y2?y3,3z2?z3?z4??, 3?z1?z3?z4?

?,

3?z1?z2?z4??, 3?z1?z2?z3??, 3?x?x?xG2??134,3??x?x2?x4,G3?13??x?x2?x3,G4?13?所以

x2?x3?x4y?y3?y4z?z3?z4y1?3?2z1?3?2333P1(,,) 1?31?31?3x?x2?x3?x4y1?y2?y3?y4z1?z2?z3?z4?P1(1,,).

444同理得P2?P3?P4?P1，所以AiGi交于一点P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍.

§1.7 两矢量的数性积 3. 计算下列各题.

x1?3?

??????????????????????（1）已知等边△ABC的边长为1,且BC?a,CA?b,AB?C,求ab?bc?ca ；

????????????? (2)已知a,b,c两两垂直,且a?1, b?2,c?3,求r?a?b?c的长和它与a,b,c的夹角.

?????? (3)已知a?3b与7a?5b垂直，求a,b的夹角. ???????????2 (4)已知a?2, b?5, ?(a,b)??, p?3a?b, q??a?17b.问系数?取何值

3???时p与q垂直？

解

(1)∵

???a?b?c?1,????????0∴ab?bc?ca?a?b?cos120

???b?c?cos1200

??3?c?a?cos1200??

2?????? (2)∵a?b?c,且a?1, b?2, c?3 .

???????? 设r?a?b?c ?i?2j?3k ∴r?12?22?32?14

???? 设r与a,b,c的夹角分别为 ?,?,?.

∴cos??

1142143314?, cos???, cos???.14714141414

∴??arccos1414314. ，??arccos，??arccos14714

?2???2???? (3)(a?3b)?(7a?5b)?0，即7a?16ab?15a?0 (1)

?2???2????(a?4b)?(7a?2b)?0，即7a?30ab?8b?0 (2)

?????2?????2 (1)?(2)得：2a?b?b (1)?8?(2)?5得：2a?b?a

1?2????b?????????1a?b2∴a?b ∴cos?(a,b)?????2? ∴cos?(a,b)?

23a?bb

????????1 (4)a?b?a?bcos?(a,b)?2?5?(?)??5

2?????????2?????2p?q?(3a?b)（??a?17b） ?3?a?51ab??a?b?17b??680?17??0

∴??40

4. 用矢量法证明以下各题：

(1) 三角形的余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA;

(2) 三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.

?证明：（1）如图1-21，△ABC中，设AC＝b,AB＝c,BC＝a，

???且|a|＝a，|b|＝b,|c|＝c. 则a＝b－c,

??2?22??22?2

a＝(b－c)＝b+c－2b?c＝b+c－2|b||c|cosA. 此即 a2＝b2+c2－2bccosA.

(2) 如图1-22，设AB, BC边的垂直平分线PD, PE相交于P,

D, E, F为AB, BC, CA的中点, 设PA＝a, PB＝???b, PC＝c, 则AB＝b－a, BC＝c－b,

?1CA＝a－c, PD＝(a+b),

图1-11

1??PE＝(c＋b).

22图1-12

因为 PD?AB, PE?BC,

??11?2

所以 (a+b)(b－a)＝(b－a2)＝0,

22?1?12?2

(b+c)(c－b)＝(c－b)＝0, 22??2222 2

从而有 a＝b＝c,即 |a|＝|b|＝|c|2,

?1????1?所以 (c＋a)(a－c)＝(a2－c2)＝0,

22?所以 PF?CA, 且 |a|＝|b|＝|c|.

故三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.

将上述方程经同解化简为：x?y?(1?m)z?2cz?c?0 （*） （*）即为所要求的轨迹方程。

22222第三章 平面与空间直线

§ 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：

（3）已知四点A(5,1,3)，B(1,6,2)，C(5,0,4)D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与?ABC平面垂直的平面。 解：（ⅰ）设平面?通过直线AB，且平行于直线CD： AB?{?4,5,?1}，CD?{?1,0,2} 从而?的参数方程为：

?x?5?4u?v? ?y?1?5u?z?3?u?2v?一般方程为：10x?9y?5z?74?0。

（ⅱ）设平面??通过直线AB，且垂直于?ABC所在的平面

? AB?{?4,5,?1}， AB?AC?{?4,5,?1}?{0,?1,1}?{4,4,4}?4{1,1,1}

均与??平行，所以??的参数式方程为：

?x?5?4u?v??y?1?5u?v ?z?3?u?v?一般方程为：2x?y?3z?2?0. 5. 求下列平面的一般方程.

⑴通过点?1?2,?1,1?和?2?3,?2,1?且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点??3,2,?4?且在x轴和y轴上截距分别为?2和?3的平面; ⑶与平面5x?y?2z?3?0垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面; ⑷已知两点?1?3,?1,2?,?2?4,?2,?1?,求通过?1且垂直于?1,?2的平面; ⑸原点?在所求平面上的正射影为??2,9,?6?;

⑹求过点?1?3,?5,1?和?2?4,1,2?且垂直于平面x?8y?3z?1?0的平面.

x?2解:平行于x轴的平面方程为

y?1z?1?1000?0.即z?1?0.

11同理可知平行于y轴,z轴的平面的方程分别为z?1?0,x?y?1?0. ⑵设该平面的截距式方程为

xyz24???1,把点??3,2,?4?代入得c??

19?2?3c故一般方程为12x?8y?19z?24?0.

⑶若所求平面经过x轴，则?0,0,0?为平面内一个点,

?5,1,?2?和?1,0,0?为所求平面的方位矢量,

x?0∴点法式方程为

y?010z?0?2?0 051∴一般方程为2y?z?0.

同理经过y轴,z轴的平面的一般方程分别为2x?5z?0,x?5y?0.

1,?1,?3?.?1?2垂直于平面?, ⑷?1?2??1,?1,?3?,平面?通过点?1?3,?1,2?, ∴该平面的法向量n??因此平面?的点位式方程为?x?3???y?1??3?z?2??0. 化简得x?y?3z?2?0. (5) op??2,9,?6?. p?op??????4?81?36?11.

op?p?n0?11?cos?,cos?,cos????2,9,?6?.

296,cos??,cos???. 111111296则该平面的法式方程为:x?y?z?11?0.

111111∴ cos??既 2x?9y?6z?121?0.

1,?8,3?，M1M2??1,6,1?，点从?4,1,2? （6）平面x?8y?3z?1?0的法向量为n???x?4写出平面的点位式方程为

y?1z?2?8631?0，则A?11?8361??26,

B?3111?2,C?1311?14,D??26?4?2?28??74，

则一般方程Ax?By?Cz?D?0,即：13x?y?7z?37?0.

8．已知三角形顶点A?0,?7,0?,B?2,?1,1?,C?2,2,2?.求平行于?ABC所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。

????????????解：设AB?a,AC?b.点A?0,?7,0?.则a??2,6,1?,b??2,9,2?写出平面的点位式方程

x22y?769z1?0 2设一般方程Ax?By?Cz?D?0.?A?3.B?2,C?6,D??14?0. 则??1.p???D?2. 7相距为2个单位。则当p?4时D??28.当p?0时D?0.

?所求平面为3x?2y?6z?28?0.和3x?2y?6z?0.

9．求与原点距离为6个单位，且在三坐标轴ox,oy与oz上的截距之比为a:b:c??1:3:2的平面。

解：设a??x,b?3x,c?2x.?abc?0.?设平面的截距方程为即bcx?acy?abz?abc. 又?原点到此平面的距离d?6.xyz???1. abc?abc?bc22?ac?ab?x222221?6.

1132?x1?,?a??,b?,c?.

7777yz?所求方程为?x???7.

32xyz10．平面???1分别与三个坐标轴交于点A,B,C.求?ABC的面积。

abc解

A(a,0,

????????B(0,b,0),C(0,0,c)AB???a,b,0?,AC???a,0,c?.

???????????????? AB?AC??bc,ca,ab?;AB?AC?b2c2?c2a2?a2b2.

∴S?ABC=12222bc?ca?a2b2 2§ 3.2 平面与点的相关位置

3.已知四面体的四个顶点为S(0,6,4),A(3,5,3),B(?2,11,?5),C(1,?1,4)，计算从顶点S向底面ABC所引的高。

解：地面ABC的方程为：

2x?y?2z?5?0

所以，高h?

4.求中心在C(3,?5,2)且与平面2x?y?3z?11?0相切的球面方程。 解：球面的半径为C到平面?：2x?y?3z?11?0的距离，它为：

?6?2?4?53?3。

R?2?3?5?6?1114?2814?214，

所以，要求的球面的方程为：

(x?3)2?(y?5)2?(z?2)2?56.

即：x?y?z?6x?10y?4z?18?0.

5．求通过x轴其与点M?5,4,13?相距8个单位的平面方程。

解：设通过x轴的平面为By?Cz?0.它与点M?5,4,13?相距8个单位，从而

2224B?13CB2?C2?8.?48B2?104BC?105C2?0.因此?12B?35C??4B?3C??0.

从而得12B?35C?0或4B?3C?0.于是有B:C?35:12或B:C?3:??4?.

?所求平面为35y?12z?0或3y?4z?0.

6. 求与下列各对平面距离相等的点的轨迹. ⑴3x?6y?2z?7?0和4x?3y?5?0; ⑵9x?y?2z?14?0和9x?y?2z?6?0.

解: ⑴ ?1:1?3x?6y?2z?7??0 71?4x?3y?5??0 511令?3x?6y?2z?7???4x?3y?5? 75?2:化简整理可得:13x?51y?10z?0与43x?9y?10z?70?0.

⑵对应项系数相同,可求D'?程:9x?y?2z?4?0.

D1?D2?14?6???4,从而直接写出所求的方223.3 两平面的相关位置

2.分别在下列条件下确定l,m,n的值：

（1）使(l?3)x?(m?1)y?(n?3)z?8?0和(m?3)x?(n?9)y?(l?3)z?16?0表示同一平面；

（2）使2x?my?3z?5?0与lx?6y?6z?2?0表示二平行平面； （3）使lx?y?3z?1?0与7x?2y?z?0表示二互相垂直的平面。 解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：

l?3m?1n?38 ???m?3n?9l?3?16即：

?m?2l?3?0??n?2m?7?0 ?l?2n?9?0?从而：l?71337，m?，n?。

9992m3 ??l?6?6（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：

所以：l??4，m?3。

（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：

7l?2?3?0 所以： l??

1。 705. 求下列平面的方程:

(1) 通过点M1?0,0,1?和M2?3,0,0?且与坐标面xOy成60角的平面;

(2) 过z轴且与平面2x?y?5z?7?0成600角的平面.

解 ⑴ 设所求平面的方程为

xyz???1. 3b1?又xoy面的方程为z=0,所以cos60?11?0??0?13b?1??1?2??????1?3??b?22?1 2解得b??320,∴所求平面的方程为

x?3?y?z?1, 326即x?26y?3z?3?0

⑵设所求平面的方程为Ax?By?0;则cos60??2A?B?A2?B24?1?5?1 23A2?8AB?3B2?0,?A?B或A??3B 3?所求平面的方程为x?3y?0或3x?y?0.

§ 3.4空间直线的方程

1.求下列各直线的方程：

（1）通过点A(?3,0,1)和点B(2,?5,1)的直线； （2）通过点M0(x0,y0,z0)且平行于两相交平面?i：

Aix?Biy?Ciz?Di?0

(i?1,2)的直线；

（3）通过点M(1?5,3)且与x,y,z三轴分别成60,45,120的直线； （4）通过点M(1,0,?2)且与两直线

???x?1yz?1xy?1z?1和?垂直的直线； ???11?11?10（5）通过点M(2,?3,?5)且与平面6x?3y?5z?2?0垂直的直线。 解：（1）由本节（3.4—6）式，得所求的直线方程为：

x?3yz?1 ??2?3?50x?3yz?1x?3yz?1即：，亦即。 ????5?501?10（2）欲求直线的方向矢量为：

?B1??B2所以，直线方程为：

C1C1,C2C2A1A2A2,A1B1?? B2?x?x0y?y0z?z0??。

B1C1C1A1A1B1B2C2C2A2?A2?B2?（3）欲求的直线的方向矢量为：cos60,cos45,cos120?1????,2?21?,??， 22?故直线方程为：

x?1y?5z?3。 ??1?12（４）欲求直线的方向矢量为：?1,1,?1???1,?1,0????1,?1,?2?， 所以，直线方程为：

x?1yz?2。 ??112（５）欲求的直线的方向矢量为：?6,?3,?5?， 所以直线方程为：

x?2y?3z?5。 ??6?3?5３.求下列各平面的方程：

（１）通过点p(2,0,?1)，且又通过直线（２）通过直线

x?1yz?2的平面； ??2?13x?2y?3z?1且与直线 ??1?5?1?2x?y?z?3?0 ?x?2y?z?5?0?平行的平面； （３）通过直线

x?1y?2z?2且与平面3x?2y?z?5?0垂直的平面； ??2?32?5x?8y?3z?9?0向三坐标面所引的三个射影平面。

?2x?4y?z?1?0（４）通过直线?解：（１）因为所求的平面过点p(2,0,?1)和p?(?1,0,2)，且它平行于矢量?2,?1,3?，所以要求的平面方程为：

x?22?3即x?5y?z?1?0。

y?10z?133?0

（２）已知直线的方向矢量为?2,?1,1???1,2,?1????1,3,5?，

?平面方程为：

x?21?1即11x?2y?z?15?0

（３）要求平面的法矢量为?2,?3,2???3,2,?1????1,8,13?，

y?3z?1?53?1?0 5?平面的方程为：(x?1)?8(y?2)?13(z?2)?0，

即x?8y?13z?9?0。

（4）由已知方程??5x?8y?3z?9?0

?2x?4y?z?1?0分别消去x，y，z得到：

36y?11z?23?0，9x?z?7?0，11x?4y?6?0

此即为三个射影平面的方程。

§ 3.5直线与平面的相关位置

2.试验证直线l：和交角。

解： ? 2?(?1)?1?1?1?2??3?0

xy?1z?1与平面?：2x?y?z?3?0相交，并求出它的交点???112? 直线与平面相交。

?x??t?又直线的坐标式参数方程为： ?y?1?t

?z?1?2t?设交点处对应的参数为t0，

?2?(?t0)?(1?t0)?(1?2t0)?3?0 ?t0??1，

从而交点为（1，0，-1）。

又设直线l与平面?的交角为?，则：

sin??2?(?1)?1?1?1?26?6?1， 2? ??

?6。

3.确定l,m的值，使： （1）直线

x?1y?2z??与平面lx?3y?5z?1?0平行； 431?x?2t?2?（2）直线?y??4t?5与平面lx?my?6z?7?0垂直。

?z?3t?1?解：（1）欲使所给直线与平面平行，则须：

4l?3?3?5?1?0

即l?1。

（2）欲使所给直线与平面垂直，则须：

lm6?? 2?43所以：l?4,m??8。

§ 3.6空间直线与点的相关位置

?2x?2y?z?3?02.求点p(2,3,?1)到直线?的距离。

3x?2y?2z?17?0?解：直线的标准方程为：

x?11yz?25 ??21?2所以，p到直线的距离为：

2223d?241?2?24?2?92??932122?12?(?2)2?202545??15。 333.7空间直线的相关位置

7.求通过点??1,0,?2?且与平面3x?y?2z?1?0平行,又与直线交的直线方程.

解 设过点??1,0,?2?的所求直线为

x?1y?3z??相4?21

x?1yz?2??. XYZ∵ 它与已知平面3x?y?2z?1?0平行,所以有3x?y?2z?0 （1） 又∵ 直线与已知直线相交,那么必共面.

∴ 又有

1?13?00?24X?2Y1Z?0

即 7x+|8y-12z=0 (2) 由(1),(2)得 X:Y:Z??1833?1::??4:50:31 ?12?1277822而 ?4:50:31?4:??2?:1 ∴ 所求直线的方程为

x?1yz?2??. ?45031?x?y?z?1?x?y?z?3,与?8. 求通过点??4,0,?1?且与两直线?都相交的直线方

2x?y?z?22x?4y?z?4??程.

解 设所求直线的方向矢量为则所求直线可写为

?v??x,y,z?,

x?4yz?1??. XYZ∵ 直线l1平行于矢量

?n1?n2??1,1,1???2,?1,?1???0,3,?3?

1的方向矢量.

??∴矢量由于

v??0,3,?3?为直线l11?12?0因此令y=o解方程组得

x=1,z=o

∴ 点(1,o,o) 为直线l1上的一点. ∴ 直线l1的标准方程为

x?5yz?2. ??5?16∵ l与l1,l2都相交且l1过点M1?1,0,0?.方向矢量为 l2过点M2?1,0,?2?,方向矢量v1??0,3,?3?.

?v2??5,?1,6?.

?

∴ 有?m1p,v1,v??0???????3X0?1Y03Y?1?1?3?0 Z即 X+3Y+3Z=0.

???m2p,v2,v??5??X即 X-13Y-3Z=0. 得 X:Y:Z=30:6:-16

???36?0 Z又∵ 30:6:?16?0:3:?3, 即 v不平行v1.

30:6:?16?5:1:6, 即 v不平行v2. ∴ 所求直线方程为:

????x?4yz?1??. 153?8x?5yz?25??垂直相交的直线方程. 32?210. .求过点??2,1,0?且与直线l:?解 设所求直线的方向矢量为则所求直线l0可写为

v0??X,Y,Z?

?x?2y?1z?0??. XYZ直线l过点M?5，0，?25?,直线l的方向矢量v??3，2，?2?.

l0与l垂直，所以有v0?v?0.

∴ 3X+2Y-2Z=0 (1)

????l0与l相交，则有?MP,v,v0??3??X????302Y25?2?0. Z即 50X-69Y+6Z=0 (2) 由(1),(2)得 X:Y:Z?120:131:311 ∴所求直线l0为:

x?2y?1z??. 120131311§ 3.8 平面束

??x?5y?z?03.求通过直线?且与平面x?4y?8z?12?0成角的平面。

4?x?z?4?0解：设所求的平面为：?(x?5y?z)??(x?z?4)?0 则：?(???)?5??(?4)?(???)?(?8)(???)2?(5?)2?(???)212?(?4)2?(?8)2?2 2从而 ，?:??0:1或?4:3 所以所求平面为：x?z?4?0 或x?20y?7z?12?0 4.求通过直线

x?1y?2z且与点p(4,1,2)的距离等于3的平面。 ??02?3?x?1?0 ?3y?2z?2?0?解：直线的一般方程为：

设所求的平面的方程为?(x?1)??(3y?2z?2)?0， 据要求，有：

4??3??4????2???9??4?222?3

?有9(?2?13?2)?25?2?81?2?90??

? ?:???6:1或3:8

即所求平面为：?6(x?1)?(3y?2z?2)?0

或 3(x?1)?8(3y?2z?2)?0

即：6x?3y?2z?4?0或3x?24y?16z?19?0

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

§ 4.1柱面

?x?y2?z22、设柱面的准线为?，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。

x?2z?1,0,?2? 解：由题意知：母线平行于矢量?任取准线上一点M0(x0,y0,z0)，过M0的母线方程为：

?x?x0?t??y?y0?z?z?2t0?而M0在准线上，所以：

??x0?x?t? ?y0?y?z?z?2t?0?x?t?y2?(z?2t)2 ??x?t?2(z?2t)消去t，得到：4x?25y?z?4xz?20x?10z?0 此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线x?y?z,x?1?y?z?1,与x?1?y?1?z?2的圆柱面方程。 解：过原点且垂直于已知三直线的平面为x?y?z?0：它与已知直线的交点为

222?0,0,0?,(?1,0,1),(1,?1,4)，这三点所定的在平面x?y?z?0上的圆的圆心为

333M0(?21113,?,)，圆的方程为： 1515152211213298??(x?)?(y?)?(z?)?15151575 ???x?y?z?0此即为欲求的圆柱面的准线。

1,1,1?的直线方程为： 又过准线上一点M1(x1,y1,z1)，且方向为??x?x1?t??y?y1?t?z?z?t1?将此式代入准线方程，并消去t得到：

??x1?x?t??y1?y?t ?z?z?t?15(x2?y2?z2?xy?yz?zx)?2x?11y?13z?0

此即为所求的圆柱面的方程。

§ 4.2锥面

2、已知锥面的顶点为(3,?1,?2)，准线为x?y?z?1,x?y?z?0，试求它的方程。 解：设M(x,y,z)为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：

222X?3Y?1Z?2 ??x?3y?1z?2令它与准线交于(X0,Y0,Z0)，即存在t，使

?X0?3?(x?3)t??Y0??1?(y?!)t ?Z??2?(z?2)t?0将它们代入准线方程，并消去t得：

3x2?5y2?7z2?6xy?2yz?10xz?4x?4y?4z?4?0

此为要求的锥面方程。

4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。 解：（这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面，其余类推）

?圆锥的轴l与i,j,k等角，故l的方向数为1:1:1

?与l垂直的平面之一令为x?y?z?1

平面x?y?z?1在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，该圆的圆心为(,111,)，故该圆的方程为： 33312121222??(x?)?(y?)?(z?)?()3333 ???x?y?z?1它即为要求圆锥面的准线。

对锥面上任一点M(x,y,z)，过M与顶点O的母线为：

XYZ?? xyz令它与准线的交点为(X0,Y0,Z0)，即存在t，使X0?xt,Y0?yt,Z0?zt，将它们代入准线方程，并消去t得：

xy?yz?zx?0

此即为要求的圆锥面的方程。

5、求顶点为(1,2,4)，轴与平面2x?2y?z?0垂直，且经过点(3,2,1)的圆锥面的方程。 解：轴线的方程为：

x?1y?2z?4 ??221过点(3,2,1)且垂直于轴的平面为：

2(x?3)?2(y?2)?(z?1)?0

即： 2x?2y?z?11?0 该平面与轴的交点为(112037,,)，它与(3,2,1)的距离为： 999112037116d?(?3)2?(?2)2?(?1)2?

9993?要求圆锥面的准线为：

112202372116??(x?)?(y?)?(z?)?9999 ???2x?2y?z?11?0对锥面上任一点M(x,y,z)，过该点与顶点的母线为：

X?1Y?2Z?4 ??x?1y?2z?4令它与准线的交点为(X0,Y0,Z0)，即存在t，使X0?1?(x?1)t,Y0?2?(y?2)t,

Z0?4?(z?4)t

将它们代入准线方程，并消去t得：

51x2?51y?12z2?104xy?52yz?52zx?518x?516y?252z?1299?0

§ 4.3旋转曲面

1、求下列旋转曲面的方程：

x?1y?1z?1xyz?1绕?旋转 ???1?121?12xyz?1xyz?1（2）；??绕?旋转 ?211?1?12x?1yz（3）??绕z轴旋转；

1?33（1）；

?z?x2?（4）空间曲线?2绕z轴旋转。 2??x?y?1解：（1）设M1(x1,y1,z1)是母线

x?1y?1z?1上任一点，过M1的纬圆为： ??1?12?(x?x1)?(y?y1)?2(z?z1)?0?222222?x?y?(z?1)?x1?y1?(z1?1)又M1在母线上。

(1)(2)

?x1?1y1?1z1?1 ??1?12从（1）——（3）消去x1,y1,z1，得到：

5x2?5y2?2z2?2xy?4yz?4xz?4x?4y?4z?8?0

此为所求的旋转面方程。

（2）对母线上任一点M1(x1,y1,z1)，过M1的纬圆为：

?(x?x1)?(y?y1)?2(z?z1)?0?222222?x?y?(z?1)?x1?y1?(z1?1)因M1在母线上， ?(1)(2)

x1y1z1?1 (3) ??21?1从（1）——（3）消去x1,y1,z1，得到：

5x2?5y2?23z2?12xy?24yz?24xz?24x?24y?46z?23?0

此为所求的旋转面的方程。

（3）对母线上任一点M1(x1,y1,z1)，过该点的纬圆为：

?z?z1?222222?x?y?z?x1?y1?z1又M1在母线上，所以：

(1)(2)

x1?1y1z1?? （3） 1?33从（1）——（3）消去x1,y1,z1，得到：

9(x2?y2)?10z2?6z?9?0

此为所求的旋转面方程。

（4）对母线上任一点M1(x1,y1,z1)，过M1的纬圆为：

?z?z1?222222?x?y?z?x1?y1?z1又M1在母线上，所以

2??z1?x1?22??x1?y1?1(1)(2)

(1)(2)

从（1）——（3）消去x1,y1,z1，得到：

x2?y2?1

?z?z1?x12?1?0?z?1

即旋转面的方程为：x?y?1 (0?z?1)

§4.4椭球面

2、设动点与点(1,0,0)的距离等于从这点到平面x?4的距离的一半，试求此动点的轨迹。 解：设动点M(x,y,z)，要求的轨迹为?，则

22M(x,y,z)???(x?1)2?y2?z2?1x?42?3x2?4y2?4z2?12

x2y2z2即：???1

433此即为?的方程。

x2y2z23、由椭球面2?2?2?1的中心（即原点），沿某一定方向到曲面上的一点的距离为r，

abc设定方向的方向余弦分别为?,?,?，试证：

1?2?2?2??? r2a2b2c2证明：沿定方向{?,?,?}到曲面上一点，该点的坐标为{r?,r?,r?}

?该点在曲面上

r2?2r2?2r2?2?2?2?2?1

abc1?2?2?2即2?2?2?2 rabcx2y2z24、由椭球面2?2?2?1的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面p1,p2,p3，

abc设op1?r1,op2?r2,op3?r3，试证：

111111????? r12r22r32a2b2c21?i2?i2?i2证明：利用上题结果，有2?2?2?2riabc(i?1,2,3)

????其中?i,?i,?i是opi的方向余弦。

????若将opi(i?1,2,3)所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则?1,?2,?3是坐标矢量关于

?1??2??3?1，?1??2??3?1 新坐标系的方向余弦，从而?1??2??3?1，同理，

所以，

222222222111111222222222???(?????)?(?????)?(?????123123123)222222r1r2r3abc?111??a2b2c2111111????? r12r22r32a2b2c2

即：

§ 4.5双曲面

x2y2z23、已知单叶双曲面试求平面的方程，使这平面平行于yoz面（或xoz面）???1，

494且与曲面的交线是一对相交直线。

解：设所求的平面为x?k，则该平面与单叶双曲面的交线为：

?x2y2z2??1??（*） ?4 94?x?k??y2z2k2???1?亦即 ?944

?x?k?k2?0，即k??2 为使交线（*）为二相交直线，则须：1?4所以，要求的平面方程为：x??2

同理，平行于xoy的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线，则该平面为：y??3 4、设动点与(4,0,0)的距离等于这点到平面x?1的距离的两倍，试求这动点的轨迹。 解：设动点M(x,y,z)，所求轨迹为?，则

M(x,y,z)???(x?4)2?y2?z2?2x?1?(x?4)2?y2?z2?4(x?1)2

x2y2z2???1 亦即：?41212此为?的轨迹方程。

x2y2z2???1与平面x?2z?3?0的交线对xoy平面的射影柱面。 5、试求单叶双曲面

1645解：题中所设的交线为：

?x2y2z2??1?? 5?164?x?2z?3?0?从此方程中消去z，得到：

x2?20y2?24x?116?0

此即为要求的射影柱面方程。

§ 4.6抛物面

2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：

（1）到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹； （2）与两给定的异面直线等距离的点的轨迹，已知两异面直线间的距离为2a，夹角为2?。 解：（1）取定平面为xoy面，过定点且垂直于xoy面的直线作为z轴，则定点的坐标设为

(0,0,a)，而定平面即为z?0，设比值常数为c，并令所求的轨迹为?，则

点M(x,y,z)??22222?x2?y2?(z?a)2?c

z即x?y?(1?c)z?2az?a?0

此为的方程。

（2）取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取x轴，使其与二异面直线的夹角相等，则二异面直线的方程为：

?y?tg??x?0 与 ?z?a?设所求的轨迹为?，则

?y?tg??x?0 ?z??a?yM(x,y,z)???tg?z?a02?z?a0x12?xy21tg?

1?tg2?yz?a02?即

?tg??z?a0x12?xy21?tg?1?tg2?：

tg2??(z?a)2?(z?a)2?(xtg??y)2?tg2??(z?a)2?(z?a)2?(x??y)2

经同解化简得：z?sin?cos?xy a此即所要求的轨迹方程。

§ 4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线

x2y23、在双曲抛物面??z上，求平行于平面3x?2y?4z?0的直母线。

164x2y2解：双曲抛物面??z的两族直母线为：

164?xy???42??u(x???4?xy???42 及 ?y?v(x?)?z?2?4?u?vy)?z2

第一族直母线的方向矢量为：{2,?1,u} 第二族直母线的方向矢量为：{2,1,v} 据题意，要求的直母线应满足：

2?3?2?4u?0?u?12?3?2?4v?0?v?2要求的直母线方程为：

?x???4??x???45、求与两直线

y?12 及 y?z2?x???4??x???4y?22 yz?22x?6yz?1xy?8z?4与?相交，而且与平面2x?3y?5?0平???32132?21行的直线的轨迹。

解：设动直线与二已知直线分别交于(x0,y0,z0),(x1,y1,z1)，则

x0?6y0z0?1x1y1?8z1?4????， 32132?21又动直线与平面2x?3y?5?0平行，所以，2(x0?x1)?3(y0?y1)?0

x?x0y?y0z?z0??对动直线上任一点M(x,y,z)，有：

x1?x0y1?y0z1?z0x2y2??4z 从（1）——（4）消去x0,y0,z0,x1,y1,z1，得到：94

第五章 二次曲线一般的理论

§5.1二次曲线与直线的相关位置

1. 写出下列二次曲线的矩阵A以及F1(x,y)，F2(x,y)及F3(x,y).

x2y2x2y2222（1）2?2?1；（2）2?2?1；（3）y?2px；（4）x?3y?5x?2?0;

abab（5）2x?xy?y?6x?7y?4?0.

22?1?a2?解：（1）A??0???0??01b20?0??110?；F1(x,y)?2x；F2(x,y)?2y；F3(x,y)??1； ?ab??1????1?a2?（2）A??0??0???0?1b20?0??110?；F1(x,y)?2xF2(x,y)??2y；F3(x,y)??1. ?ab??1????00?p???（3）A??010?；F1(x,y)??p；F2(x,y)?y；F3(x,y)??px；

??p00?????1?（4）A??0?5??25?2??55?30?；F1(x,y)?x?；F2(x,y)??3y；F3(x,y)?x?2；

22?02??0??2?1（5）A????2????3??12172??3??7?117；F1(x,y)?2x?y?3；F2(x,y)??x?y?；2?222??4???F3(x,y)??3x?7y?4. 2 2. 求二次曲线x?2xy?3y?4x?6y?3?0与下列直线的交点. （1）5x?y?5?0； （2）x?2y?2?0； （3）x?4y?1?0； （4）x?3y?0； （5）2x?6y?9?0.

解：提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略 （1）(,?),(1,0)；

221252（2）??4?226i?7?226i??4?226i?7?226i?,,，?； ??????5555????（3）二重点(1,0)；

（4）?,?； （5）无交点.

3. 求直线x?y?1?0与二次曲线2x?xy?y?x?2y?1?0的交点. 解：由直线方程得x?y?1代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点. 4 .试确定k的值，使得（1）直线x?y?5?0与二次曲线x?3x?y?k?0交于两不同的实点；

（2）直线{222?11??26?x?1?kt,y?k?t与二次曲线x?4xy?3y?y?0交于一点；

222（3）x?ky?1?0与二次曲线?2xy?y?(k?1)y?1?0交于两个相互重合的点； （4）{x?1?t,y?1?t与二次曲线2x?4xy?ky?x?2y?0交于两个共轭虚交点.

22解：详解略.（1）k??4；（2）k?1或k?3（3）k?1或k?5；（4）k?49. 24§5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线

6. 求下列二次曲线的渐进线.

（1）6x?xy?y?3x?y?1?0； （2）x?3xy?2y?x?3y?4?0； （3）x?2xy?y?2x?2y?4?0.

22222213?6x?y??0,?13?22解：（1）由?得中心坐标(?,).

55??1x?y?1?0??22而由6X?XY?Y?0得渐进方向为X:Y?1:2或X:Y??1:3，所以渐进线方程分别为2x?y?1?0与3x?y?0

2231?x?y??0,?13?22（2）由?得中心坐标(?,).

55??3x?2y?3?0??22而由X?3XY?2Y?0得渐进方向为X:Y?1:1或X:Y?2:1，所以渐进线方程分别为x?y?2?0与x?2y?1?0

22?x?y?1?0,（3）由?知曲线为线心曲线，.

x?y?1?0?所以渐进线为线心线，其方程为x?y?1?0.

§5.3二次曲线的切线

1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程. （1）曲线3x?4xy?5y?7x?8y?3?0在点（2，1）； （2）曲线曲线3x?4xy?5y?7x?8y?3?0在点在原点； （3）曲线x?xy?y?x?4y?3?0经过点（-2，-1）； （4）曲线5x?6xy?5y?8经过点(0,2)；

（5）曲线2x?xy?y?x?2y?1?0经过点（0，2）. 解：（1）9x?10y?28?0；

2222222222（2）x?2y?0；

（3）y?1?0,x?y?3?0；

（4）11x?5y?102?0,x?y?22?0； （5）x?0.

2. 求下列二次曲线的切线方程并求出切点的坐标.

（1）曲线x?4xy?3y?5x?y?3?0的切线平行于直线x?4y?0； （2）曲线x?xy?y?3的切线平行于两坐标轴. 解：（1）x?4y?5?0，(1,1)和x?4y?8?0，(?4,3)； （2）y?2?0，(1,?2),(?1,2)和x?2?0，(2,?1),(?2,1).

4.试求经过原点且切直线4x?3y?2?0于点（1，-2）及切直线x?y?1?0于点（0，-1）的二次曲线方程.

解：利用（5.3-5）可得6x?3xy?y?2x?y?0

222222§5.4二次曲线的直径

2.求曲线x?2xy?4x?2y?6?0通过点（8，0）的直径方程，并求其共轭直径. 解：（1）把点（8，0）代入X(x?2)?Y(2y?1)?0

得X:Y?1:6，再代入上式整理得直径方程为x?12y?8?0，其共轭直径为

212x?2y?23?0.

3.已知曲线xy?y?2x?3y?1?0的直径与y轴平行，求它的方程，并求出这直径的共轭直径.

解：直径方程为x?1?0，其共轭直径方程为x?2y?3?0. 7．求下列两条曲线的公共直径.

（1）3x?2xy?3y?4x?4y?4?0与2x?3xy?y?3x?2y?0； （2）x?xy?y?x?y?0与x?2xy?y?x?y?0. 解：（1）2x?y?1?0；（2）5x?5y?2?0.

222222222§5.6二次曲线方程的化简与分类

1. 利用移轴与转轴，化简下列二次曲线的方程并写出它们的图形. （1）5x?4xy?2y?24x?12y?18?0； （2）x?2xy?y?4x?y?1?0； （3）5x?12xy?22x?12y?19?0； （4）x?2xy?y?2x?2y?0.

解（1）因为二次曲线含xy项，我们先通过转轴消去xy，设旋转角为?，则ctg2??22222223，41?tg2?3211?，所以tg??或-2.取tg???2，那么sin???即，cos??，所

2tg?4255?x???以转轴公式为??y???1'(x?2y'),5代入原方程化简再配方整理得新方程为

1(?2x'?y').56x''2?y''2?12?0；

类似的化简可得 （2）22x?5y''2''2''2''2''2?0；（3）9x?4y?36?0；（4）2x?1?0.

§5.7应用不变量化简二次曲线的方程

1. 利用不变量与半不变量，判断下列二次曲线为何种曲线，并求出它的化简方程与标准方

程.

（1）x?6xy?y?6x?2y?1?0； （2）3x?2xy?3y?4x?4y?4?0； （3）x?4xy?3y?2x?2y?0； （4）x?4xy?4y?2x?2y?1?0； （5）x?2xy?2y?4x?6y?29?0； （6）x?22222222222y?a；

2（7）x?2xy?y?2x?2y?4?0； （8）4x?4xy?y?12x?6y?9?0.

22

解：（1）因为I1?2，I2?13I??8，311?16，3??2，而特征方程 31I231?1133?2?2??8?0的两根为?1?4,?2??2，所以曲线的简化方程（略去撇号）为

4x2?2y2?2?0，

曲线的标准方程为

x2?2y2?1?0， 12曲线为双曲线； 类似地得下面：

（2）曲线的简化方程（略去撇号）为

2x2?4y2?8?0，

曲线的标准方程为

x2y2??1， 42曲线为椭圆；

（3）曲线的简化方程（略去撇号）为

(2?5)x2?(2?5)y2?0，

曲线的标准方程为

x2y2??0， 112?55?2曲线为两相交直线；

（4）曲线的简化方程（略去撇号）为

5y2?曲线的标准方程为

25x?0， 525x， 25y2?曲线为抛物线；

（5）曲线的简化方程（略去撇号）为

(曲线的标准方程为

3?523?52)x?()y?0， 22x2y2??0， 113?53?5曲线为一实点或相交与一实点的两虚直线； （6）曲线的简化方程（略去撇号）为

2y2?22ax?0,（0?x?a,0?y?a)，

曲线的标准方程为

y2?2ax，（0?x?a,0?y?a)

曲线为抛物线的一部分；

（7）曲线的简化方程（略去撇号）为

2y2?5?0，

曲线的标准方程为

y2?曲线为两平行直线；

（8）曲线的简化方程（略去撇号）为

5， 25y2?0，

曲线的标准方程为

y2?0，

曲线为两重合直线.

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