微积分在大学数学学习和生活中的应用

创新教育

微积分在大学数学学习和生活中的应用

陈阳

（哈尔滨师范大学　　哈尔滨　　１６１０４２）

摘　要：微积分是函数的微分和积分的数学分支，是建立在函数、实数以及极限的基础上的。微积分是解决变量的瞬时变化的，在大学数学当中主要研究的是变量在函数当中的作用，在物理方面是解决人们关于速度以及加速度的问题，所以，微积分对于我们解决问题有很大的应用。本文主要介绍了微积分的应用。关键词：微积分　　大学　　学习　　生活中图分类号：Ｏ１３文献标识码：Ａ文章编号：１６７４－０９８Ｘ（２０１１）０４（ｂ）－０１５２－０１

微积分在力学、生物学、经济学以及天文学等等领域都有很重要的作用，计算机的出现扩展了微积分的应用范围。函数概念产生后，科学技术快速发展，微积分就应运而生。微积分在大学数学的发展当中有着很重要的作用，是数学当中伟大的创造。

例４：设函数f(x)有连续导函数，且求。

解：根据不定积分定义，将两端同时对ｘ求导，可得f(x)=公式，有：

(1+

sinx)lnx+C，∫f(x(1+

sinx)lnx+C等式的∫f(x１　微积分在大学数学中的应用

研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方

法。这种方法叫做数学分析。本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。

积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。

1+sinx

+cosxlnx，再用分部积分x

xf(x)

∫f(x∫xf′

(x=(1+sinx)(1 lnx)+xcosxln

x+C

例５：求

。1

，得x

解：当x>0时，

由(lnx)′=

＝lnx+C；1

当x<0时，由

[ln( x)]′=，得

x两式可以统一写成

＝ln( x)+C；

x例１：求∫。

(x

1)3

解：分项积分法，将函数y=x2在点

2

＝ln|x|+C。２　微积分在物理学中的应用

x=1展开，得

2

x=1+2(x 1)+(x 1)

x2dx 12121

(x 1)3 ＝ x 1+(x 1)2+(x 1)3 dx＝ln|x 1| x 1 2(x 1)2+C

例２：求

f(x)dx,其中f(x)=

解：被积函数为分段函

数，应分段积分

。｛ 2x,x>1

1 x+1,x≤

∫

2

+x+C1,x ≤1

f(x)dx2

x+C2,x>1

1

，从而：2

原函数应是连续函数，于是C2

=C1+

对于恒力的做功问题，我们可以利用共识直接得到要求的结果；但是对于变力来说，我们却不能直接利用公式求解，这个时候我们就需要借助微积分，把位移无限细分，这样被细分后的最小单位就可以看做是恒力，再根据公式来求解，然后把每个小单位上的功无限求和，就可以得到变力所做的总功。

匀速直线的运动，位移和速度之间的关系是ｘ＝ｖｔ，但是如果物体的速度是时刻变化的，那么如何求位移呢。这个问题的解决可以用微积分，把物体运动的时间无限细分，在每个小单位的时间内，速度变化很小，就可以认为物体是在做匀速直线运动，根据已有的公式来求解，再把所有的位移加起来，就可以知道总的位移。

微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。

∫

2

1+x+C,x≤

f(x)dx1

++C,x>1

2n

2。n→∞

k=1n+k

2n

参考文献

［１］Ｍｉｃｈａｅｌ　２．ｔｉｙａｈ，Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　２０ｔｈ　Ｃｅｎｔｕｒｙ，Ａｄｖａｎｃｅｄ

ｉｎ　　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ［Ｊ］，２００４，３３（１）：２６～４０．

［２］王凡彬，蒲自均，田英．关于不等式证明的若干方法的探究［Ｊ］．

内江师范学院学报，２００９（Ｓ２）．

［３］张震，刘凯旋，倪志强．微积分在不等式证明中的应用［Ｊ］．中国

科教创新导刊，２００７（１９）．

［４］袁秀萍．微积分在证明和式不等式中的应用［Ｊ］．河北理科教学

研究，２００６（３）．

［５］马燕．用微积分方法证明不等式［Ｊ］．乌鲁木齐成人教育学院学

报，２００６（０３）．

例３：求极限lim∑

1n1lim∑n→∞nk=1 k ；另一方面，用定义计算定积分解：改写，得1+

n

1

∫1

+x

2

时，如果等分区间，在每个子区间上取右端点，所得也是

这个极限．于是：

nπ

lim∑＝2＝∫n→∞1

+x4k=1n+k0

n

1

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