【26个三角形面积公式】三角形面积公式的由来和演变

详解三角形面积公式的由来和演变

第25卷　第5期

Vol.25No.5昭通师范高等专科学校学报

JournalofZhaotongTeacherπsCollege2003年10月

Oct.2003

三角形面积公式的由来和演变

饶克勇

(昭通师范高等专科学校数学系,　云南　昭通　657000)

[摘　要]　系统揭示三角形面积公式的由来、演变及应用.[关键词]　三角形;　面积;　公式

[中图分类号]O123.6　　　[文献标识码]A2)0520021206

TriaπOrignandEvolution

RAOKe2yong

(DentofMathematics,ZhaotongTeacherπsCollege,Zhaotong657000,China)

Abstract:Bringtolighttriangularareaformulasπorign,evolutionandusesystematically.Keywords:triangle;area;formula

三角形是平面几何中最简单的基本图形,在后继学习及日常生活中有广泛的应用.中小学生对于三角形面积公式是熟悉的,并能用公式计算三角形的面积;但对于日常生活中有关面积的测算却时常会感到束手无策.其原因之一是对三角形面积公式的由来及演变并不清楚,对其中所含的数学思想认识

不足.

数学课本在表述人类积累起来的成果时,为了课堂上便于传授知识,

采用严谨、简洁的手法表述数学知识.而这些知识的来龙去脉就需要教师在备课时进行充分的思考,在上课时用科学思维方法引导学生进行探索、分析、研究,使他们重新“发现”这些知识,形成数学观念.只有如此,才能促进学生思维的发展、能力的培养和素质的提高.1　三角形面积公式的由来

人们认识事物总是遵循从特殊到一般的认识规律.矩形是生活中常见并且应用广泛的简单图形,它的面积等于底×高,由矩形面积公式可推导出其他图形的面积公式.

首先推导直角三角形的面积公式.设直角三角形两条直角边分别长a,b,两个这样的三角形可以完整拼合为一个长和宽分别为a,b的矩形.换言之,一个矩形可以通过一条对角线分解为两个全等的直角三角形.由此得到直角三角形面积公式:

SRt△ACB=

C BC.2

对于一般的三角形,可以通过一边上的高把它变成两个直角三角形的和或差.如图1.由直角三角

收稿日期:2003205201

作者简介:饶克勇(1939—　),男,云南昭通人,教授,主要研究初等数学.

21

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第25卷昭通师范高等专科学校学报2003年(总第90期)

形面积公式,可求出一般三角形的面积为

2

底×高.记△ABC三角A,B,C所对边为a,b,c,三边上的高分别为ha,hb,hc.即有:

S△ABC=

aha2=2bhb=2

chc.(1)

2　三角形面积公式的演变

根据三角形中边与角之间的函数关系ha=csinB=bsinC,代入公式(1),得:

S=2absinC=2bcsinA=2

casinB.

由正弦定理b=asinA

,代入(2),得:

S=2222sin(B+C)=+)sin(A+B)

由于sin(A+B)=sinC,2

2

2

22sinB=2sinC

R,由正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,代入(2),得

S=2R2

sinAsinBsinC.

将c=ha sinB,b=ha sinC代入公式(2),得

2

2

2

S=2sinBsinC=2sinCsinA=2sinAsinB

由正弦定理sinA=a 2R,sinB=b 2R,sinC=c 2R,代入(5),得

S=abc 4R.

将sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB代入(5),可得

2

2S=

2

2

2

2

4

=

4

=

4

由公式(5)还可得到如下公式:

22222S=22sin(A-B)=2sin(B-C)=2sin(C-A)

;

S=a+b+ccos2cos2cos2

;

2

S=

sinA

+

2

sinB

+

2

sinC

sin

2

sin

2

sin

2

证明　(9):

S=2R2sinAsinBsinC

=2R2

sinAsinBsin(A+B)=

4R2sinAsinBsin2

cos

2

=(2sin

cos

)(2cos

sin

2R2

sinAsinB

)=

2sin2cos

2

2222sin(A-B)=2sin(A-B)

=

222sin(A-B)

22

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)(10)(11)

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饶克勇三角形面积公式的由来和演变第5期

(10):

3右端=coscoscos=

2R(sinA+sinB+sinC)222

38Rcos

2cos

2

cos

cos

2

cos

2

cos

2

=2R2sinAsinBsinC=左端.

2

2sin

2sin

2=

(11):

4R2 4cos

右端=4R2(sinA+sinB+sinC)sin

2

cos

2

cos

2

sin

2

sin

2

sin

2

=2R2sinAsinBsinC=左端.

由(2)式两边平方,得

S=

2

222

absinC=4222

ab(1-sC),4

2

由余弦定理知,cosC=(a2+b2-c2) 2ab,代入上式,得

S=

2

22

2

.(12)

(12)22222

将S2=abC)S=ab(1+cosC)(1-

cosC),再应用余弦定理,得

4222

+a+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)=S=〔(a+b)2-c2〕〔c-(a-b)〕16

(半周长,下同),即得著名的海伦公式:应用平方差公式,再令p=

2

S=

p(p-a)(p-b)(p-c).

(13)

若已知三角形内切圆半径为r,由图2知,

S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△COA=cr+ar+br=

222

(a+b+c)r=pr,2

即S=pr.

将正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC代入(14)式,可得

S=4Rrcos

(14)

2

cos

2

cos

2

(15)

由半角定理:tan

2

=

p-a

,代入(14)式,得

S=p(p-a)tan

2

=p(p-b)tan

2

=p(p-c)tan

2

(16)

由(16)式和(13)式,可得

S=ptan

2

2

tan

2

tan

2

(17)

若已知三角形一角A及其对边a,以及该边上的中线长ma,则可由下式计算三角形面积:

S=tanA=tanB=tanC.(18)

888　　证明　因ma=2b2+2c2-a2,故(2ma+a)(2ma-a)=2(b2+c2-a2)=4bccosA,即

2

(2ma+a)(2ma-a)tanA=bcsinA=S.8

2

设△ABC的∠A,∠B,∠C的平分线分别长ta,tb,tc,由ta=和(13)式,易证:

b+c

23

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第25卷昭通师范高等专科学校学报2003年(总第90期)

S=

2bc

(p-b)(p-c)ta=

2ca

(p-c)(p-a)tb=

2ab

(p-a)(p-b)tc;

(19)

S=

abcp

(20)

b-c p(p-c　　设△ABC的∠A,∠B,∠C的外角平分线分别长t′a,t′b,t′c,由t′a=p(p-a)t′a=

2bc2ca(19)和(21)可得:　　由(13)、

S=

,易证:

p(p-b)t′b=

2ab

(21)

22222S=tat′tbttcta=bc

4bc4　　设△ABC的∠A,∠B,∠Crc,内切圆半径为r,则有

a(22)

bt

2

=rrccot

2

;(23)(24)

S=S=

rrarbrc;(25)

rarb+rbrc+rcra

证明　因为

r=4Rsinrb=4Rcos

2

sinsin

2

sincos

2

,ra=4Rsin

2

cos

2

cossin

2

,,

2

2

2

,rc=4Rcossin

2

cos

22

故rracot

2

=16R2sin

2

cos

2

sin

2

cos

2

22

cos

2

=2R2sinAsinBsinC=S.

rrarbrc=2RsinAsinBsinC=S.

因rarb+rbrc+rcra=4Rabcos

2

2

sinAsinBcos2

2

+sinBsinCcos2

2

+sinAsinCcos2

2

=

2

+bccos2

2

2

+cacos2

2

=

ab(1+cosC)+bc(1+cosA)+ca(1+cosB=2

(ab+bc+ca)+(abcosC+bccosA+cacosB)=

2

2

2

+

222

==S.

p

2

222

2

4

rarb+rbrc+rcra

x1x3

2==p2.

4

故

　若△ABC在平面直角坐标系三个顶点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则其面积S为

S=

x22

y1y2y3

111

.

(26)

证明　因直线BC的方程为

(y2-y3)x- 24

(x2-x3)y+(x2y3-x3y2)=0,

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饶克勇三角形面积公式的由来和演变第5期

故点A到BC的距离为

h=

22

(x2-x3)+(y2-y3)(x2-x3)2+(y2-y3)2,(x2-x3)y1+(x2y3-x3y2) =

x22

x3x1

y1y2y3

又故

S=

BC =

h BC =2

(y2-y3)x1-2

111

.

3　三角形面积公式的应用

通过以上分析可见,,个直角三角形之和或差...,就可求得足够精度的图形面积.,椭圆形、曲边三角形、曲边梯形等各种图形的精确面积.

,还能用于其他方面.以下举例说明.例1、重心、垂心三点共线.

3的坐标系中,设A(a,0),B(b,0),C(0,c),P,G,H分别为△ABC的外心、重心和垂心.AD为BC边上的高,E,F分别为AB,BC边上的中点.

由中点坐标公式可求出E(,0),F(,).

222

CH的方程是x=0,AD的方程是y=

x=0,

(x-c

a).

).得H点坐标为H(0,-c(x-a)y=

c

(x-).PE的方程是x=,PF的方程是y-=

22c2

2

).解这两个方程组成的方程组,得P点坐标为P(,

22c

重心G的坐标为G(,).

33

故△PGH的面积S为

1S=

22

-

c

2

111

=

+ (-2266

)=0.c

2c

33

故P,G,H三点共线.即三角形的外心、重心、垂心三点共线.

例2　已知正数x,y,z满足方程组

x+xy+y 3=25,

2

2

y 3+z=9,

2

2

z+xz+x=16

22

求xy+2yz+3xz的值.

解:原方程组化为

25

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第25卷昭通师范高等专科学校学报

22x

+(y3)-22z+(y3)-

2003年(总第90期)

2x(y3)cos150°=52,2z(y3)cos90°=32,

z+x-

22

2zxcos120°=42.

作Rt△ABC使AB=3,BC=4,CA=5,如图4.

在△ABC内取一点O,使∠AOB=90°,∠BOC=120°,∠COA=150°.由方程组知x=CO,y=而S△ABC=6,S△AOB=因S△ABC=S△AOC

3AO,z=BO.

yz,S△BOC=

4

6

+S△AOB+S△BOC,

xz,S△AOC=

xy.12

故xy+2yz+3zx=243.

例3　证明勾股定理的逆定理:在△ABC中,若a22=2∠C.

22证明　由a2+b2=c2得c=a+b,pab.又因S=absinC,故sinC=即.22

b,化简得S=

2例4　AD是△ABC中∠A的平分线,则

=S△ADCCD

=ACDC

△A△ADC的DC边上的高,由公式(1)知

又因为∠BAD=∠DAC,由公式(2)知故

=S△ADCAC

=ACCD

例5　设O为△ABC内任意一点,连接AO,B

O,C并延长分别交BC,CA,AB于

点D,E,F,求 的最大值.

ADBECF

解:作OG⊥BC于G,AH⊥BC于H,则OG∥AH.

由此得:==ADAHS△ABC

同理,有:=,=BES△ABCCFS△ABC

3

(S△BOCS△COAS△AOB故 =≤=33

ADBECF27S△ABCS△ABC

参考文献:

[1]欧阳维城,唐德论,曾岳生1中学数学方法的综合运用[M]1长沙:湖南教育出版社,19811[2]王占聪1中学数学中的数与形[M]1合肥:安徽科学技术出版社,19841

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