2004年全国数学建模 B题 电力市场的阻塞管理

电力市场的输电阻塞管理

（CUMCM 2004B）

B10020614 孙朋 B10020609 潘姝亚 B10020701 王琪

2013-08-10NUPT sunp3975@163.com

摘要

本题是关于电力市场的输电管理问题，首先要求附件中的数据确定发电机组出力与输电线路潮流值的关系，然后根据电力市场交易调度规则建立适当的模型，求解给定负荷的发电机组出力方案，并检测方案是否会引起输电阻塞。当发生阻塞时考虑不同因素，在安全且经济的原则下，给出调整后的方案。

问题一：要求结合附件表1和表2的数据，确定8台机组的出力和6条线路的潮流值的关系式。首先，我们利用散点图观察二者的定性关系，发现线路潮流值与机组出力值大致成线性关系。用SPSS软件计算各机组出力的Pearson相关系数，结果表明各机组出力之间线性无关。因此尝试对输电线路与机组出力进行多元线性回归分析，用MATLAB编程求出回归系数。最后，利用统计检验回归方程(见表3)，结果显示回归方程显著说明可行。

问题二：要求根据电力市场规则设计一种阻塞费用计算规则。阻塞费用包括补偿不能出力的序内容量和补偿在低于对应报价的清算价上出力的序外容量。发电商的损失与其减少的出力量、序内容量的报价及清算价格有关。出于简化问题的考虑，我们认为网方给予发电商阻塞补偿即为输电阻塞所导致发电商的损失。对于某一机组有确定的出力时，其各个段容的出力是容易确定的。结合调整后的方案，分段容计算阻塞费用，然后求和，最后对各个机组的阻塞费用进行求和即可得到阻塞费用。

问题三：要求在已知下一个时段预报的负荷需求为982.4MW的情况下，按照电力市场规则，同时结合各机组段容量、段价和爬坡速率等因素，给出下一个时段各机组的出力分配预案。这是一个最优化问题，目标函数为最小购电费用。电力市场规则规定确定的负荷有一个统一的价格即清算价，同时考虑各机组爬坡速率的限制等因素确定约束条件。利用LINGO软件编程求解，最后得到分配方案如表6所示。

问题四：结合问题三的求解结果，利用附件中表6给出的潮流限值进行输电阻塞检验，发现在有1、5、6号线路存在阻塞问题。按照阻塞管理原则，首先尝试调整出力分配方案，以消除线路阻塞。调整的目标是使消除输电阻塞引起阻塞费用最小，同时在问题三的模型的基础上，增加对各输电线路上的潮流值的约束。建立以阻塞费用最小为目标的单目标优化模型。利用LINGO软件进行编程，求得在负荷为982.4MW时，8台发电机组的出力分配方案，进而利用问题1模型的结果，得到6条线路的潮流值及检验结果。

问题五：总结问题三和问题四的求解过程，首先利用问题三的模型求出初始出力分配方案，然后进行输电阻塞检验，发现有1、5、6号输电线路存在阻塞问题。按照阻塞管理原则，尝试调整各机组出力分配以期消除线路阻塞，发现以阻塞费用最小为目标的模型不存在可行解。因此，进入阻塞管理原则的步骤二：尝试使用线路的安全裕度输电。在“安全第一”的指导思想下，提出“安全裕度利用率”的概念作为衡量网方使用线路安全裕度的程度。阻塞调整的首要目标是安全输电即安全性，其次才是阻塞费用最小即经济性。建立以各条输电线路安全裕度利用率最大值的最小和阻塞费用最小为目标的多目标优化模型。先不考虑阻塞费用，求得安全裕度利用率的最小值。然后通过改变安全裕度利用率的约束范围，对阻塞费用最小进行优化。最后，在综合权衡安全性与经济性后，给出了较为合理的个机组出力分配方案及线路输电潮流。

关键词多元线性回归单目标优化多目标优化

一、 问题重述

本题是关于电力市场的运输阻塞问题，电网公司在组织交易、调度和配送时，要制订一个电力市场交易规则，按照购电费用最小的经济目标来运作。市场交易-调度中心根据负荷预报和交易规则制订各发电机组的出力分配方案。每个电网有若干台发电机组和若干条主要线路，每条线路上的有功潮流取决于电网结构和各发电机组的出力。电网每条线路上的有功潮流的绝对值有一安全限值，限值还具有一定的相对安全裕度。如果各机组出力分配方案使某条线路上的有功潮流的绝对值超出限值，称为输电阻塞。当发生输电阻塞时，需要调整原来的发电机组出力分配方案。

电力市场交易规则规定以15分钟为一个时段组织交易，每台机组在当前时段开始时刻前给出下一个时段的报价。各机组将可用出力由低到高分成至多10段报价，每个段的长度称为段容量，每个段容量报一个段价，段价随段容量序号增加而增加。报价为负值表示发电商愿意付费维持发电以避免停机带来更大的损失。在当前时段内，市场交易-调度中心根据下一个时段的负荷预报,每台机组的报价、当前出力和爬坡率，按段价从低到高选取各机组的段容量或其部分，直到它们之和等于预报的负荷。每个机组被选入的段容量或其部分之和形成该时段该机组的出力分配预案。最高段价为该时段的清算价，该时段全部机组的所有出力均按清算价结算。

市场交易-调度中心首先监控当前时段各机组出力分配方案的执行，作出下一个时段的负荷需求预报，然后根据电力市场交易规则得到下一个时段各机组出力分配预案。对初始方案进行阻塞检验，计算各主要线路上的有功潮流，判断是否会出现输电阻塞。如果不出现，接受各机组出力分配预案，否则实施阻塞管理：首先调整各机组出力分配方案使得输电阻塞消除；如果做不到，可以使用线路的安全裕度输电，但要使每条线路上潮流的绝对值超过限值的百分比尽量小。发生阻塞时，网方应该在结算时应该补偿发电商由阻塞费用。阻塞费用包括补偿通过竞价取得发电权的发电容量（称序内容量）不能出力和补偿一些在竞价中未取得发电权的发电容量（称序外容量）要在低于对应报价的清算价上出力。网方在电网安全运行的保证下应当同时考虑尽量减少阻塞费用。 本题要求做一下5项工作：

1. 某电网有8台发电机组，6条主要线路，根据表1和表2中的方案0给出的各机组的当前出力和各线路上对应的有功潮流值和方案1~32给出的实验数据，用这些数据确定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近似表达式。 2. 设计一种简明、合理的阻塞费用计算规则，考虑电力市场规则外和在输电阻塞发生时公平地对待序内容量不能出力的部分和报价高于清算价的序外容量出力的部分。

3. 假设下一个时段预报的负荷需求是982.4MW，根据表3、表4和表5分别给出的各机组的段容量、段价和爬坡速率的数据，按照电力市场规则给出下一个时段各机组的出力分配预案。

4. 按照表6给出的潮流限值，检查得到的出力分配预案是否会引起输电阻塞，若发生输电阻塞时，调整各机组出力分配方案并给出相应的阻塞费用。 5. 假设下一个时段预报的负荷需求是1052.8MW，重复3~4的工作。

二、问题假设

假设1：题设附件中所给出的数据测量准确可靠。

假设2：发电机组工作状态稳定且能以额定爬坡调整出力。 假设3：输电线路能稳定、迅速输运来自发电机组的出力。

三、符号说明

Xi 第i发电机组的出力，单位MW，i=1，2，?，8 Yk 第k线路的潮流值，单位MW，k=1，2，?，6

Vij 第i发电机组的第j段的段容量，单位MW，j=1，2，?，10 Aij 原方案中第i发电机组的第j段的出力，单位MW

Bij 调整后的方案中第i发电机组的第j段的出力，单位MW

iPij 第发电机组的第j段的段价，单位元/MW*h

vi第i发电机组的爬坡速率，单位 MW/分钟 Q 原方案的清算价，单位元/MW*h

Di 第i发电机组的爬坡速率，单位MW/分钟 Lk 第k线路的潮流限值，单位MW Sk 第k线路的相对安全裕度，单位 1

Zk 第k条线路的阻塞费用，单位元，k=1，2，?，6 H 下一个时段预报的负荷需求，单位MW

YMk第k条线路的潮流限值，单位MW，k=1，2，?，6 SXk安全裕度利用率，k=1，2，?，6

四、模型的求解与分析

4.1问题一

4.1.1问题一的分析

每一个电网有若干台发电机组和若干条主要线路，每条线路上的有功潮流取决于电网结构和各发电机组的出力情况。问题一中的电网有8台发电机组Xi(i=1,2,3...8)和6条主要线路Yk(j=1,2,3...6)，题中给出了32个出力方案，包括每台机

组的出力情况，即每个方案中每台机组的出力大小和6条线路的有功潮流，即每条线路需要的输电功率。题目要求根据所提供的数据，确定各线路上有功潮流Yk关于各发电机组出力Xi的近似表达式。

为确定响应变量Y与预测变量X的关系，首先求出X的Pearson相关系数，判断自变量之间是否线性无关。随后画出X、Y的散点图，通过散点图可以更直观的观察X与Y的关系。根据以上分析可知，预测变量Xi相互之间线性无关，Xi与Yk线性关系显著，因此可以应用多元线性回归分析的方法找出变量之间的线性关系。 4.1.2问题一模型的建立与求解

根据以上分析，首先用SPSS软件计算预测变量Xi之间的Pearson相关系数，它既可衡量两变量是否有线性相关关系，同时在有线性相关的条件下，可以描述两变量相关的方向和相关的程度，其定义如下：

1ny1?yx1?xCov(Y,X) ??()()??n?1i?1sysxsysx相关系数的数值范围介于-1与1之间：如果??0,表明两个变量没有线性相关关系；如果??1,表明两个变量完全直线相关。线性相关的方向通过相关系数的符号来表示，“+”表示正相关，“-”表示负相关。

计算相关系数后进行显著性检验，用以检验相关系数是否显著区别于0。显著性值大，相关性越不显著，表明相关性接近0，两变量线性无关。用SPSS设置“标记显著性相关”选项，用（*）来标识在显著水平0.05下显著的相关系数；用（**）来标识在显著水平0.05下显著的相关系数，结果如表一所示。 表一预测变量X之间的Pearson相关性与显著性检验 X1 Pearson 相关性 显著性（双侧） N X2 Pearson 相关性 显著性（双侧） N X3 Pearson 相关性 显著性（双侧） N X4 Pearson 相关性 显著性（双侧） N X5 Pearson 相关性 显著性（双侧） N X6 Pearson 相关性 显著性（双侧） N X7 Pearson 相关性 显著性（双侧） N X8 Pearson 相关性 显著性（双侧） X1 1 X2 X3 X4 -.017 .928 32 -.016 .931 32 -.016 .929 X5 X6 X7 .113 .539 32 .108 .558 32 .112 .543 32 .017 .925 32 .116 .526 32 .118 .520 X8 -.112 .540 32 -.107 .559 32 -.111 .544 32 -.017 .925 32 -.116 .527 32 -.118 .521 32 .117 .523 -.103 -.107 .574 .559 32 -.112 -.113 .542 32 .537 32 32 -.103 .574 32 -.107 .559 32 -.017 .928 32 -.112 .542 32 -.113 .537 32 .113 .539 32 -.112 .540 32 32 1 -.102 -.107 -.108 .561 32 .556 32 32 -.102 .577 32 .577 32 1 -.111 -.112 .546 32 .541 32 32 32 1 -.016 -.016 .931 32 .929 32 -.017 -.017 .926 .925 32 32 -.017 .926 32 -.017 .925 32 .017 .925 32 -.017 .925 32 32 -.107 -.111 .561 32 .546 32 1 -.117 32 -.117 .524 32 .116 .526 32 .524 32 1 -.108 -.112 .556 32 .108 .558 32 .541 32 .112 .543 32 32 .118 .520 32 32 1 32 .117 .523 32 32 1 -.107 -.111 .559 32 .544 32 -.116 -.118 .527 32 .521 32 32 由表一所示结果可以看出，不同两个预测变量X之间的Pearson相关系数值

均在0.1左右，接近于0而远小于1，此外，显著性值较大，没有标记*与**的数据，以上两点说明预测变量Xi(i=1,2,3…8)任意两个之间没有线性关系。 为更直观的观察X与Y 的关系，作出32个方案中Xi与Yk的散点图。以方案1中第一台和第二台发电机组X1、X2的出力大小与第一条线路潮流值Y1的散点图为例分析32个方案中每台发电机组与每条线路的关系。观察题目中所给数据，方案1~方案4中只有第一台发电机组出力值改变，方案5~方案8中只有第二台发电机组出力值改变，因此分别选取方案1~方案4的数据和方案5~方案8的数据画出散点图，如图1(a)、(b)所示。

(a) (b)

图1 第一台和第二台发电机组X1(a)、X2(b)的出力大小与第一条线路潮流值Y1的散点图

从图1的散点图和拟合曲线可以看出，X1、X2与Y1大致呈线性关系，用相似方法判断32个方案中每台发电机组与每条线路是否成线性关系，整理后得到表2，表中z表示两变量正相关，f表示两变量负相关，x表示不成线性关系，0表示Y值不改变。

表2 响应变量Y与预测变量X的关系 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 X1 z f f f z z X2 z z z f z f X3 Z 0 f z f f X4 z z f f f z X5 f z z f f z X6 z f x z z x X7 z f x z z z X8 z z f z f x 由表2可以看出，32个方案中除个别数据(X3与Y2，X6、X7与Y3，X6、X8与Y6)外Xi与Yk均成线性关系。对响应变量Yk与预测变量Xi进行多元线性回归分析，线性回归模型：

Yk?bk0?bk1X1?bk2X2?...?bk8X8??k(j?1,2...6)（4.1-1）

,用Matlab编程求解回归系数b0,b1,b2…b8可得6条线路有功潮流Yk关于各发电机组出力X1~X8的线性回归模型：

?Y1?110.296510?0.082841X1?0.048279X2?0.052971X3?0.119934X4??0.025441X?0.122011X?0.121576X?0.001226X5678??Y2?131.228924?0.054558X1?0.127851X2?0.000026X3?0.033277X4??0.086847X5?0.112440X6?0.018928X7?0.098726X8?Y??108.873164?0.069542X?0.061645X?0.156617X?0.009922X1234?3?0.124494X5?0.002117X6?0.002511X7?0.201387X8??Y4?77.481684?0.034463X1?0.102409X2?0.205164X3?0.020827X4??0.011828X5?0.005953X6?0.144918X7?0.076546X8??Y5?132.974473+0.000533X1?0.243286X2?0.064555X3?0.041134X4??0.065220X?0.070343X?0.004263X?0.008913X5678??Y6?120.663278?0.237809X1?0.060168X2?0.077874X3?0.092975X4???0.046904X5?0.000078X6?0.165933X7?0.000687X8（4.1-2）

4.1.3问题一模型的检验

为检验回归模型，通过Matlab编程得到四个检验统计量如表3所示： 说明：1.相关系数r2，其值越接近于1，说明回归方程越显著；

2.F值，F值越大，拒绝H0说明回归方程越显著；

3.与F对应的概率 p，p

表3 检验回归模型的统计量 r2 F P S Y1 1 5861.5 0 0.036 Y2 1 7228.7 0 0.0318 Y3 1 22352 0 0.0328 Y4 1 25583 0 0.0316 Y5 1 6971.8 0 0.0327 Y6 1 17455 0 0.0373 通过四个检验统计量的分析可以看出：6个回归模型的相关系数r2值均为1，F值很大，与F对应的概率p值均为0，剩余标准差S值接近于0，说明回归方程十分显著，回归效果很好。

此外，由于Y3、Y6中分别有两个因子与之不成线性关系，因此对二者进行纯二次多元二项式回归分析，得到结果显示二次项系数的数量级在10-4以下，因此可以忽略二次项，结果近似为多元线性分析的结果表达式。

4.2问题二

4.2.1问题二的分析

市场交易-调度中心根据下一时段的负荷预报和机组信息等，在不考虑输电阻塞的情况下，按照电力市场交易规则给出的出力分配预案（即初始交易结果）为

原始方案。当发生输电阻塞时按照输电管理原则调整原始方案，得到经调整后的出力分配方案。致使发电商蒙受损失有两种情况：部分通过竞价取得发电权的发电容量（称序内容量）不能出力和一些在竞价中未取得发电权的发电容量（称序外容量）要在低于对应报价的清算价上出力。通俗地说，一是网方减少向发电商的合同内订货量，二是发电商合同外的部分出力被网方以低于报价的价格收买。

网方给予发电商的补偿即为为发电商的损失。

对于序内容量，发电商的损失与其减少的出力量、序内容量的报价及清算价格有关。若序内容量处于几个段，则因不同段容的段价不同要分段计算。出于简化问题的考虑，我们认为对于单位序内容量，阻塞费用应为网方清算价与发电商报价的价格差，如果序内容量包含两段（或两段以上）则费用也应当分段计算。对于序外容量，与序内容量相似，发电商的损失与其减少的出力量、序内容量的报价及清算价格有关。对于单位序外容量，发电商的损失应为发电商报价与网方清算价的价格差，网方给予发电商的补偿应该为发电商的损失。 4.2.2问题二的求解

根据以上对问题的分析，给出的阻塞费用计算规则如下：

1.对于序内容量，以机组4为例来说明该阻塞费用的计算方法：当出力分配预案的清算价为Q=303,机组4的计划发电量为99.5，若要消除阻塞，发电量调整为X4=80.2，序内容量为99.5-X4=19.3，则机组4应得的补偿单价（每小时对应的补偿费）为

Z40?(Q?302)?(99.5?90)?(Q?255)?(90?X4)?479.9

每个小时分为4个时段（15分钟为一个时段），所以每个时段的补偿费用为：

Z4?Z40/4?119.975 2.对于序外容量，与序内容量相似，以机组5为例来说明该阻塞费用的计算方法：当出力分配预案的清算价为Q=356,机组5的计划发电量为125，若要消除阻塞，发电量调整为X5=152，序外容量为X5-125=27，则机组5应得的补偿单价为

Z50?(510?Q)?(X5?145)?(396?Q)?(145?135)?(310?Q)?(135?125)?2449 所以每个时段的补偿费用为：

Z5?Z50/4?612.25

按照上述计算规则，最后的各机组的全部阻塞费用为：

Z?Z1?Z2?Z3?Z4?Z5?Z6?Z7?Z8 4.3问题三 4.3.1问题三分析

问题三给出下一个时段预报的负荷需求为982.4MW，要求根据题中所给各机组的段容量Vij、段价Pij和爬坡速率vi（每台机组单位时间内能增加或减少的出力值）等数据，按照电力市场规则给出下一个时段各机组的出力分配方案。电力市场规则要求按段价从低到高选取各机组的段容量或其部分，直到它们之和等于预报的负荷，这时每个机组被选入的段容量或其部分之和形成该时段该机组的出力分配预案。被选取的所有段的最高段价为该时段的清算价，用Q表示，该时段全部机组的所有出力均按清算价Q结算，那么总的购电费用为负荷需求与清算价乘积。因此，在给定的负荷需求情况下求最小的购电费用，即要得到清算价

最小的购电方案。

由问题一中方案0可以得到8个机组的当前发力值（单位为MW），用Xi0表示，加和可得当前总发力值为874.1 MW。15分钟后的下一个时段负荷需求为982.4 MW，则要求在15分钟内增加108.3 MW的电力。增加的电力由不同机组的剩余段提供，第i机组第j段的出力值为Aij选段的规则如上述，从段价低的开始选取，直到可提供的电力满足108.3 MW为止。每个段在15分钟内可以提供的电力由该段的段容量和该段所在机组的爬坡速率所决定。结合题目附件中的数据，可以制作出各机组出力调节范围如表4所示。若某机组被选的所有段段容量之和在出力区间内，则可以以段容量全部出力，若段容量之和超过出力区间，则受爬坡能力限制，只能以最大的出力量出力。

表4 各机组出力调节范围 机组 爬坡 速率 1个时段爬坡量 1 2.2 2 1 3 3.2 4 1.3 5 1.8 6 2 7 1.4 8 1.8 总出力 33 15 48 19.5 27 30 21 27 当前 出力 出力 区间 120 73 180 80 125 98-152 125 95-155 81.1 90 874.1 653.6-1094.6 87-153 58-88 132-228 60.5-99.5 60.1-102.1 63-117 4.3.1问题三模型的建立与求解

通过上述分析可知该问题是一个有约束非线性规划问题，将目标函数最小购电费用简化为最小清算价：

minf?Q（4.3-1）

约束条件（1），第i机组第j段的出力值Aij不能高于该段的段容量Vij：

Aij?Vij（4.3-2）

约束条件（2），第i机组的被选择的所有段的出力值之和受爬坡能力限制，应在出力区间内：

Xi0?15vi??Aij?aij?Xi0?15vi（4.3-3）

j其中Xi0为当前机组的发力值，vi为该机组的爬坡速率。 约束条件（3），清算价为8个机组中所有被选中段的最高段价：

Q?max(Pij?aij)（4.3-4） 式中以决策变量aij表示是否选用了第i机组的第j段。

约束条件（4），被选中段的出力总和等于下一个时段预报的负荷需求H，

H=982.4MW：

??Aij?aij?H（4.3-5）

ij根据以上分析，以最小清算价为目标函数，得到问题三的模型如表5所示：

表5 问题三模型 目标函数：minf?Q ?Aij?Vij??Q?max(Pij?aij)?s..t?Xi0?15vi??Aij?aij?Xi0?15vi j??Aij?aij?H????ij（i=1,2,3…8, j=1,2,3…10）

根据所建立的模型，求解出当下一个时段预报的负荷需求为982.4MW时，8台

发电机组的出力情况如表6所示：

表6 下一个时段预报的负荷需求为982.4MW时各机组的出力分配预案 机组 1 2 3 4 5 6 7 8 总计 出力 约束 区间 检验 结果 150 79 180 99.5 125 140 95 113.9 982.4 87-153 58-88 132-228 60.5-99.5 98-152 95-155 60.1-102.1 63-117 可行 可行 可行 可行 可行 可行 可行 可行 由上表可以得到下一时段机组的分配预案，即8个机组的出力大小分别为：150MW，79MW，180MW，99.5MW，125MW，140MW，95MW，113.9MW。其中第4机组被选中的段为前6段，此6段的段容量之和为100 MW，超过了爬坡能力约束的出力区间60.5~99.5，因此最多只能出力99.5MW。

下一个时段预报的负荷需求为982.4MW时，所有机组的所有段出力值以及每台发电机组的最高段价如表7所示：

表7 所有机组所有段的出力分布情况 机组\\段 1 2 3 4 5 1 70 30 110 55 75 2 0 0 0 5 5 3 50 20 40 10 15 4 0 8 0 10 0 5 0 15 30 10 15 6 30 6 0 9.5 15 7 0 0 0 0 0 最高段价 252 300 233 302 215

6 7 8 95 50 70 0 15 0 10 5 20 20 15 0 0 10 20 15 0 0 0 0 3.9 252 260 303 由表7可以看出，所有发电机组被选中的段中段价最高的为第八机组第7段，其段容量为20MW，满足下一时段的负荷预报982.4MW时，只需要选其中的3.9MW即可。其段价为303元/MWh，为该方案的清算价，因此得到该方案的购电价为：303?982.4=297667.2元。 4.4问题四 4.4.1问题四分析

问题四要求按照题中给出的潮流限值，检验问题三所得的出力分配预案是否会引起输电阻塞，并在发生输电阻塞时，对原来的出力分配方案进行调整，给出与该方案相应的阻塞费用，阻塞费用可根据问题二中建立的模型计算。首先对问题三中的出力预测方案进行检验，根据题目提供的各线路的潮流限值和相对安全裕度和问题三中表6所示的出力分配预案，可检验当负荷需求是982.4MW时的初始方案是否引起输电阻塞，检验结果如表8所示：

表8 问题三出力分配预案输电阻塞检验

线路 预测潮流 潮流限值 是否阻塞 安全域度 是否拉闸 1 173.32 165 是 186.45 否 2 141.01 150 否 177 否 3 -150.93 160 否 174.4 否 4 120.92 155 否 172.05 否 5 136.84 132 是 151.8 否 6 168.53 162 是 184.68 否 由检验结果可以看到，问题三中所得的8个机组的出力分配预案会引起输电阻塞，阻塞线路为第1、5、6条输电线路，若使用线路的安全裕度输电，则6条输电线路都不会发生阻塞。因此需要调整各机组出力分配方案以消除输电阻塞，并且使阻塞费用最小。该问题仍为一道最优化问题，以阻塞费用为目标函数，在问题三约束条件的基础上，增加对每条输电线路潮流值不能超过其潮流限制的约束条件。

4.4.2问题四模型的建立与求解

Zi为第i条线路的阻塞费用，建立以最小阻塞费用为目标函数的模型：

min?Zi（4.4-1）

i?18约束条件（1），段的出力值不能高于段容量：

Aij?Vij（4.4-2）

约束条件（2），机组的出力值之和受爬坡能力限制：

Xi0?15vi??Aij?aij?Xi0?15vi（4.4-3）

j约束条件（3），清算价为8个机组中所有被选中段的最高段价：

Q?max(Pij?aij)（4.4-4）

约束条件（4），满足下一个时段预报的负荷需求H：

??Aij?aij?H（4.4-5）

ij约束条件（5），每一条线路的有功潮流值小于潮流限值YMi：

Yk?YMk（4.4-6） 约束条件（6），机组的出力与各条线路有功潮流值的对应关系：

Yk?bk0??bki?Xi（4.4-7）

i?08根据以上分析，以最小阻塞费用为目标函数，得到问题三的模型如表5所示：

表9 问题四模型 目标函数：min?Zi?18i ?Aij?Vij??Q?max(Pij?aij)?X?15v?Aij?aij?Xi0?15vi?i?i0j?s..t?Aij?aij?H?? ?ij??Yi?YMi8??Yk?bk0??bki?Xii?0?（i=1,2,3…8, j=1,2,3…10，k=1,2,3…6） 根据上述模型，对问题三中引起阻塞的方案进行调整，用Lingo求解该最优化模

型，得到新的出力方案如表10所示：

表10 负荷需求为982.4MW时阻塞调整后的出力方案 机组 出力 1 150 2 88 3 228 4 80.2 5 152 6 97.2 7 70 8 117 总计 982.4 将上表中各机组的出力值X1~X8带入问题一中式4.1-2，求得方案调整后的各线路的有功潮流值及阻塞检验、安全裕度检验如表11所示：

表11 调整后出力方案潮流值的阻塞、安全裕度检验 线路 预测潮流 潮流限值 是否阻塞 安全域度 是否拉闸 1 165 165 否 186.45 否 2 149.5 150 否 177 否 3 -154.9 160 否 174.4 否 4 126.3 155 否 172.05 否 5 132 132 否 151.8 否 6 159.6 162 否 184.68 否 由上表可以看出，调整后的出力方案中，6条线路的潮流值都不会引起阻塞和拉闸，因此该调整方案可行。

根据问题二所建立的阻塞费用计算规则模型，带入式4.2-6计算阻塞费用，结果如表12所示：

表12负荷需求为982.4MW时的阻塞费用 机组 原方案 出力 调整后 出力 1个时段阻塞费用 1 150 2 79 3 180 4 99.5 5 125 6 140 7 95 8 总计 113.9 982.4 150 88 228 80.2 152 97.2 70 117 982.4 0 344.5 396 122.5 612.3 832.1 237.5 0 2544.8 由表11可得阻塞费用为：2544.8元

4.5问题五 4.5.1问题五分析

问题五中下一个时段预报的负荷需求是1052.8MW，即H=1052.8MW。要求首先根据各机组的段容量、段价和爬坡速率的数据求出下一个时段各机组的出力分配预案，可以利用问题三中所建立的最优化模型解决此问题。然后对所求得的

初始方案进行阻塞检验，若该方案会引起输电阻塞，要求调整各机组出力分配方案，并给出与该方案相应的阻塞费用，可以利用问题四中所建立的模型解决此问题。

首先，将预测值1052.8MW带入问题三的模型表5，得到初始的8台机组出力方案，对其进行阻塞检验，方案及检验结果如表13所示：

表13预报负荷需求为1052.8MW时的出力分配预案及输电阻塞检验

线路 潮流值 限值 是否阻塞 安全域度 是否拉闸限电 1 177.26 165 阻塞 186.45 否 2 141.18 150 不阻塞 177 否 3 -156.16 160 不阻塞 174.4 否 4 129.76 155 不阻塞 172.05 否 5 134.85 132 阻塞 151.8 否 6 167.08 162 阻塞 184.68 否 由检验结果可以看到，以上得到的分配预案会引起输电阻塞，阻塞线路为第1、5、6条输电线路，且6条输电线路都不会引起拉闸。利用问题四中建立的调整模型对预方案进行调整，结果显示调整后的方案仍不能满足消除阻塞的要求，因此必须利用安全域度输电，以避免拉闸限电，但要使每条线路上潮流的绝对值超过限值的百分比尽量小。 4.5.2问题五模型的建立与求解

通过以上分析，我们知道本问的目标是使阻塞费用和潮流的绝对值超过限值的百分比尽量达到最小值，即找到既能尽量满足最安全的要求也能达到阻塞费用最小的调度方案。该问题是一个双目标优化问题，用SXk表示第k条线路的安全裕度利用率，Sk表示第k条线路的安全裕度值，SXk值越小，表示越少利用了安全裕度，说明线路越安全。

该双目标最优化问题的目标函数为最小阻塞费用Z和最小安全利用率：

minmax?SXk?（4.5-1）

1?k?6min?Zk（4.5-2）

k?16由于可以使用安全裕度，因此每条线路上可以承受的最大电力改变，问题四中约束条件(5)，式4.4-6修正为：

Yk?YMk(1?Sk?SXk)（4.5-3）

根据以上分析，得到问题五的双目标函数最优化模型如表14：

表14问题五模型 ?minmax?SXk?1?k?6?6目标函数：? minZ??kk?1??Aij?Vij??Q?max(Pij?aij)?X?15v?Aij?aij?Xi0?15vi?i?i0j?s..t?Aij?aij?H?? ?ij??Yk?YMk(1?Sk?SXk)8??Yk?bk0??bki?Xii?0?（i=1,2,3…8, j=1,2,3…10，k=1,2,3…6） 求解双目标函数的最优化模型时，首先不考虑阻塞费用Zk，以安全裕度利用率SXk为单目标函数，画出得到的方案中对应的阻塞费用和安全裕度的散点图，如图2所示，运用散点如可以更直观的找到即安全又经济的方案：

图2 问题五不同方案中安全裕度利用率和其对应的阻塞费用散点图

由图2可以看出随安全裕度利用率减小，阻塞费用将会增大，没有能同时满

足安全利用率和阻塞费用均最小的点。因此，找到折中点如图中标注所示，此时安全裕度利用率为SX=0.4，对应的调度方案如表15所示：

表15 安全裕度利用率SX=0.4时的出力分配方案

线路 潮流值 潮流限值 安全裕度 安全裕值 安全裕度利用度 1 173.58 165 13% 186.45 40.0% 2 144.63 150 18% 177.00 0.0% 3 -155.06 160 9% 174.40 0.0% 4 128.88 155 11% 172.05 0.0% 5 134.56 132 15% 151.80 12.9% 6 163.46 162 14% 184.68 6.4% 由上表可以看出，线路1、5、6使用了安全裕度防止拉闸，最大的安全裕度利用率为0.1。

利用问题二中的阻塞费用计算模型计算此时的阻塞费用如表15所示：

表15 安全裕度利用率SX=0.4时的阻塞费用

机组 原方案出力 调整后出力 1个时段阻塞费用 1 150 150 2 79 88 3 180 228 4 99.5 80.2 5 125 152 6 140 97.2 7 95 70 8 总计 113.9 982.4 117 982.4 0 344.5 396 122.5 612.3 832.1 237.5 0 2544.8 该最佳折中方案所得的阻塞费用为：2544.8元。 五．模型评价与推广

利用回归分析在求解问题一的过程中，我们遇到这样的问题：如果8台机组均不出力，那么6条线路的潮流是否应该都是零？直观来看答案是肯定的，但是回归分析的结果是有非零常数项的，这否说明模型建立的不够恰当呢？其实这样理解是不合理的。每条线路上的有功潮流（输电功率和方向）取决于电网结构和各发电机组的出力，在实际输电过程中线路必然会损耗一部分电量，这与分析附件中的数据后我们发现机组出力总和大于各线路潮流值之和是一致的（见下图）。

100090080070060050040030020010001234567891011121314151617181920212223242526272829303132各线路潮流值之和各线路潮流值绝对值之和各机组出力之和 常数项的意义应该是表明电网结构的存在、实际输电的线路消耗和电网固有属性等因素，对线路潮流值的影响。这对我们有借鉴意义，在无法全面了解影响某一事物的诸多因子时，常数项或许能成探索未知影响因素的一个工具。

参考文献

[1] 姜启源，数学建模（第三版），北京：高等教育出版社，2003 [2] 薛薇，基于SPSS的数据分析，北京：中国人民大学出版社，2006

[3] 卓金武，MATLAB在数学建模中的应用，北京：北京航空航天大学教育出版社，2012

[4] 袁新生，邵大宏，郁时炼，LINGO和EXCEL在数学建模中的应用，北京：科学出版社，2007

附录

问题4的求解程序（由LINGO 11 编写）

SETS:

DATA:

H=982.4; !负荷值;

G0=110.296510,131.228924,108.873164,77.481684,132.974473,120.6632G=0.082841,0.048279,0.052971,0.119934,-0.025441,0.122011,0.121576

JZ/1..8/:XM,XN,X,XZ; XL/1..6/:G0,Y,YM; LINKS(XL,JZ):G;

ENDSETS

78;

,-0.001226 098726

0.069542,-0.061645,0.156617,0.009922,-0.124494,-0.002117,0.002511,0.201387 !注意3号线路的潮流为负值，这里将所有系数去符号相反;

-0.034463,-0.102409,0.205164,-0.020827,-0.011828,0.005953,0.144918,0.076546

0.000533,0.243286,-0.064555,-0.041134,-0.065220,0.070343,-0.004263,-0.008913 0687;

!目标函数; MIN=Z;

!各机组1时刻爬坡的约束;

@FOR(JZ(I):@BND(XN(I),X(I),XM(I))); !各机组出力总和满足负荷; @SUM(JZ(I):X(I))=H;

!各线路潮流的计算;

@FOR(XL(I):Y(I)=@SUM(JZ(J):G(I,J)*X(J)+G0(I))); !输电线路潮流限制;

@FOR(XL(I):Y(I)<=YM(I));

!各机组补偿费的计算公式;

XZ(1)=@IF(X(1)#GE#150,186*(X(1)-150),@IF(X(1)#GT#120,(150-X(1))*51,15

Z=@SUM(JZ:XZ);

YM=165,150,160,155,132,162;

XM=153,88,228,99.5,152,155,102.1,117; XN=87,58,132,60.5,98,95,60.1,63;

0.237809,-0.060168,-0.077874,0.092975,0.046904,0.000078,0.165933,0.00

-0.054558,0.127851,-0.000026,0.033277,0.086847,-0.112440,-0.018928,0.

ENDDATA

30+(120-X(1))*179));

XZ(2)=@IF(X(2)#LT#79,@IF(X(2)#GE#73,(79-X(2))*3,18+(73-X(2))*58),@IF(X(2)#LE#81,(X(2)-79)*17,34+(X(2)-81)*192));

XZ(3)=@IF(X(3)#LT#180,@IF(X(3)#GE#150,(180-X(3))*70,2100+(150-X(3))*151),@IF(X(3)#LE#200,(X(3)-180)*5,100+(X(3)-200)*53));

XZ(4)=@IF(X(4)#GE#90,(99.5-X(4))*1,@IF(X(4)#GE#80,9.5+(90-X(4))*48,@IF(X(4)#LE#70,489.9+(80-X(4))*103,1515.9+(70-X(4))*133)));

XZ(5)=@IF(X(5)#LT#125,@IF(X(5)#GE#110,(125-X(5))*88,1320+(110-X(5))*115),@IF(X(5)#LE#135,(X(5)-125)*7,@IF(X(5)#LE#145,(X(5)-135)*93+70,1000+(X(5)-145)*207)));

XZ(6)=@IF(X(6)#GE#140,@IF(X(6)#LE#150,(X(6)-140)*2,20+(X(6)-150)*77),@IF(X(6)#GE#125,(140-X(6))*51,@IF(X(6)#GE#105,(125-X(6))*130+765,3365+(105-X(6))*144)));

XZ(7)=@IF(X(7)#GE#95,@IF(X(7)#LE#105,(X(7)-95)*3,30+(X(7)-105)*12),@IF(X(7)#GE#85,(95-X(7))*43,@IF(X(7)#GE#70,(85-X(7))*52+430,@IF(X(7)#GE#65,(70-X(7))*123+1210,1825+(65-X(7))*183))));

XZ(8)=@IF(X(8)#GE#110,0,@IF(X(8)#GE#90,(110-X(8))*50,1000+(90-X(8))*120)); END

问题5的求解程序（由LINGO 11 编写）

MODEL: SETS:

JZ/J1..J8/:XM,XN,X,X0,XZ; XL/L1..L6/:G0,Y,YM,Q,S; LINKS(XL,JZ):G; ENDSETS DATA:

G0=110.296510,131.228924,108.873164,77.481684,132.974473,120.6632G=0.082841,0.048279,0.052971,0.119934,-0.025441,0.122011,0.12157678;

,-0.001226

-0.054558,0.127851,-0.000026,0.033277,0.086847,-0.112440,-0.018928,0.098726

0.069542,-0.061645,0.156617,0.009922,-0.124494,-0.002117,0.002511,0.201387 !注意3号线路的潮流为负值，这里将所有系数去符号相反;

-0.034463,-0.102409,0.205164,-0.020827,-0.011828,0.005953,0.144918,0.076546

0.000533,0.243286,-0.064555,-0.041134,-0.065220,0.070343,-0.004263,-0.008913

H=1052.8;

0.237809,-0.060168,-0.077874,0.092975,0.046904,0.000078,0.165933,0.000687;

@FOR(JZ(I):@BND(XN(I),X(I),XM(I))); @SUM(JZ(I):X(I))=H;

@FOR(XL(I):Y(I)=@SUM(JZ(J):G(I,J)*X(J))+G0(I)); @FOR(XL(I):Y(I)<=YM(I)*(1+Q(I)*S(I))); @FOR(XL(I):S(I)<=0.4);

XZ(1)=@IF(X(1)#GE#150,133*(X(1)-150),@IF(X(1)#GT#120,(150-X(1))*104,3120+(120-X(1))*232));

XZ(2)=@IF(X(2)#GE#81,(X(2)-81)*139,@IF(X(2)#GE#79,(81-X(2))*36,@IF(X(2)#GE#73,72+(79-X(2))*56,408+(73-X(2))*111)));

XZ(3)=@IF(X(3)#LT#200,@IF(X(3)#GE#180,(200-X(3))*48,960+(180-X(3))*123),0);

XZ(4)=@IF(X(4)#GE#90,(99.5-X(4))*54,@IF(X(4)#GE#80,113+(90-X(4))*101,@IF(X(4)#GE#70,1523+(80-X(4))*156,3083+(70-X(4))*186)));

XZ(5)=@IF(X(5)#LT#135,@IF(X(5)#GE#125,(135-X(5))*46,@IF(X(5)#GE#110,460+(125-X(5))*141,2575+168*(110-X(5)))),@IF(X(5)#LE#145,(X(5)-145)*40,400+(X(5)-145)*154));

XZ(6)=@IF(X(6)#GE#150,24*(X(6)-150),@IF(X(6)#GE#140,(X(6)-140)*51,@IF(X(6)#GE#125,510+(140-X(6))*104,@IF(X(6)#GE#105,2070+(125-X(6))*183,3900+(105-X(6))*197))));

XZ(7)=@IF(X(7)#GE#95,(102.1-X(7))*50,@IF(X(7)#GE#85,355+(95-X(7))*96,@IF(X(7)#GE#70,1315+(85-X(7))*105,@IF(X(7)#GE#65,2890+(70-X(7))*176,3770+(65-X(7))*236))));

XZ(8)=@IF(X(8)#EQ#117,0,@IF(X(8)#GE#110,53*(X(8)-110),@IF(X(8)#GE#90,371+103*(110-X(8)),2431+173*(90-X(8))))); END

MIN=Z;

Z=@SUM(JZ:XZ)/4;

SX=@SMAX(S(1),S(2),S(3),S(4),S(5),S(6));

YM=165 150 160 155 132 162; Q=0.13 0.18 0.09 0.11 0.15 0.14;

XM=153 88 228 99.5 152 155 102.1 117; XN=87 58 132 60.5 98 95 60.1 63;

X0=150 81 218.2 99.5 135 150 102.1 117;

ENDDATA

! MIN=SX;

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