复变函数与积分变换第4讲

《复变函数与积分变换》(第三版)华中科技大学数学系课件

复变函数的积分

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第三章 复变函数的积分

§3.1 复变函数积分的概念 §3.2 柯西-古萨基本定理 §3.3 基本定理的推广 §3.4 原函数与不定积分 §3.5 柯西积分公式 §3.6 解析函数的高阶导数 §3.7 解析函数与调和函数的关系

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§3.1 复变函数积分的概念

1. 有向曲线2. 积分的定义

3. 积分存在的条件及其计算法4. 积分性质

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1. 有向曲线 x x( t ) 设 C : ( t ) y y( t ) x' ( t )、y' ( t ) C [ , ], 且[ x' ( t )]2 [ y' ( t )]2 0

C : z(t ) x(t ) iy(t ) ( t ) (1)z' (t )连续且z' ( t ) 0

C z平面上的一条光滑曲线 .(因而可求长 ). 约定: C 光滑或分段光滑曲线

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C的方向规定 :开曲线 : 指定起点 , 终点b, 若a b为正, a 则b a为负, 记作 C ;

闭曲线: 正方向 观察者顺此方向沿 前进 C 一周, C的内部一直在观察者的 左边。

B(终点)C

A(起点)

C

C

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2. 积分的定义定义 设(1)w f ( z ) z D

yz k 1

( 2)C为区域D内点A 点B

k

zk zk

z n 1

B

的一条光滑有向曲线 . ⌒ z1 ( 3)将 AB 任意分划成 个 1 n A 小弧段 : A z0 , z1 , , zn B o ⌒ (4) k zk 1 zk 作乘积 ( k ) zk f(5)作和式S n f ( k ) z kk 1 n

D x

z k z k z k 1 , 记 S k 为 z k 1 z k 的长度, max { S k }1 k n

⌒

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若

( n ) k 1

lim 0

f (

n

k

) zk I

( 2) 则称 为f ( z )沿曲线

无论如何分割 , i 如何取 C

C从( A B )的积分, 记作 f ( z )dzC

i .e .,

C

f ( z )dz lim f ( k ) z k ( 3)n k 1

n

分割 取乘积 求和 取极限

(1)若闭曲线C

记作 f ( z )dzCb C a

(2)C : t [a, b], f ( z ) u(t ), 则 f ( z )dz u(t )dt

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( 3)如果 f ( z )dz存在,一般不能写成 f ( z )dz.C a

b

因为 f ( z )dz不仅与a , b有关, 与曲线C的形状 还C

和方向有关。特例：) 若C表示连接点 , b的任一曲线则 (1 a ,

dz b aC

b2 a 2 Czdz 2

( 2 ) 若 C表 示 闭 曲 线则 ,

dz 0, zdz 0C C

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3. 积分存在的条件及其计算法定理 当f ( z ) u( x , y ) iv( x , y )在光滑曲线 C

上连续时, f ( z )必沿C可积,即 f ( z )dz存在.C

且

C

f ( z )dz udx vdy i vdx udy (4)C C

记忆

C (u iv)(dx idy)C

这个定理表明 f ( z )dz可通过二个二元 实变函数的 第二型曲线 积分来计算 .

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证明 令z k x k iyk x k xk xk 1 yk yk yk 1 k k i k u( k , k ) uk v ( k , k ) v kS n f ( k ) zk ( uk ivk )( xk i yk )k 1 k 1 n n

u(

k , k ) x k v ( k , k ) ykk 1 k 1 n n

n

n

当 0时，均是 实函数的曲线积分 .

i[ v ( k , k ) x k u( k , k ) yk ] (5)k 1n

lim S n lim f ( k ) z k ( u( x , y )dx v ( x , y )dy)n n k 1 C C

k 1

i ( v ( x , y )dx u( x , y )dy) f ( z )dzC C C

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u( x , y )dx v ( x , y )dy i[v ( x , y )dy u( x , y )dy]C

f ( z )在C上连续, u( x , y ), v ( x , y ) 在C上连续 故 u( x , y )dx、 v ( x , y )dy、 C C

v( x , y )dx、 u( x , y )dy都存在! C C

推论1:当f ( z )是连续函数, C是光滑曲线时，

f ( z )dz一定存在。 推论2: f ( z )dz可以通过两个二元实函 数的 cc

线积分来计算。

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设光滑曲线 : z z( t ) x(t ) iy(t ) C

t :

由曲线积分的计算法得

C

f ( z )dz

(终 )

i

(起) (终 ) (起)

{u( x( t ), y( t )) x' ( t ) v ( x( t ), y( t )) y' ( t )}dt {v ( x( t ), y( t )) x' ( t ) u( x( t ) y( t )) y' ( t )}dt

{u[ x(t ), y(t )] i[v[ x(t ), y(t )]]}( x' (t ) iy' (t ))dt

f [ z(t )]z' (t )dt

f ( z )dz C

f [ z ( t )]z' ( t )dt (6)

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4. 积分性质1) f ( z )dz C C

由积分定义得：f ( z )dz

2) kf ( z )dz k f ( z )dzC C

3) [ f ( z ) g ( z )]dz f ( z )dz g ( z )dzC C C

4) C C1 C 2 C n (分段光滑曲线 )

C

f ( z )dz C1 C2

Cn

f ( z )dz

5)设C的长度为 , 函数f ( z )在C上满足 f ( z ) M L

C f ( z )dz C

f ( z ) ds ML 估值定理 .

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例1 计 算 Czdz 解1 C 0

x 3t OA : ( 0 t 1) y 4t

zdz (3 4i )t (3 4i )dt 1 1 2 (3 4i ) tdt ( 3 4i )2 0 2 zdz C C

yA

又解

( x iy )( dx idy)

xdx ydy i ydx xdyC C

o

x

容易验证 右边两个积分都与路径 , , 无关 连接OA的曲线C,其上积分: C

1 f ( z )dz ( 3 4i )2 2

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dz 例2 计算 这里C表示以z0为中心, n 1 C (z z ) 0 r为半径的正向圆周 为整数. ,n

解 C : z z0 re i

0 2

y

z z0 re i

i 2 dz ire d n 1 n 1 i ( n 1 ) C (z z ) 0 r e 0

zoz0

r

Cx

2

0

i r n e in

i 2 d 2 i n 0 0 d i 2 n 0 (cos n i sin n )d 0 n 0 r

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2 i dz dz n 1 n 1 z0 r C (z z ) z ( z z0 ) 0 0

n 0 n 0

这个结果与半径 及z0无关, 这个结果 r 以后经常用到, 应记住.

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例3 计 算 zdz 值 的C

y

z0 1 iC1

1)C C 1 Oz 0 2)C C 2 C

3 (见 图)

C3C2

解 1)C1 : z (1 i )t1 C 0

0 t 11 0

o

x

zdz (t it )(1 i )dt 2)C 2 : z tC C2 1 C3 1

2tdt 1

0 t 1 C 3 : z 1 it 0 t 1

zdz zdz zdz 1 1 tdt (1 it )idt ( i ) 1 i 2 20 0

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例4 计算

C

1

zdz, zdz的值, 其中C2

C1是单位圆z 1的上半圆周 顺时针方向 , ; C 2 是单位圆z 1的下半圆周，逆时针方 . 向

解: 1)C1 : z e i ,0 .

zdz eC1 0

0

i

ie d i dt ii

0

2)C 2 : z e i , 0.

zdz eC2

i

ie d i dt ii

0

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§3.2 Cauchy-Goursat基本定理分析§1的积分例子:

例1中f ( z ) z在全平面解析 , 它沿连接起点及终点的 C的积分值相同， 任意 即， f ( z )dz与路径无关，即 f ( z )dz= f ( z )dz C C A B

例2中

z z0 r

1 dz 2 i 0 z z0

z z0为奇点, 即不解析的点 , 但在除去 z0的非单连通区域内处处 z 解析。

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例3中f ( z ) z在 复 平 面 上 处 处 不 解 析 , C zdz的 值 与 积 分 路 径 有 关.C

由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的积分值=0的条件可能与被积函数的解析性及解

析区域的单连通有关。先将条件加强些，作初步的探讨

"设f ( z ) u iv在单连通D内处处解析, 且 f ' ( z )在D内连续"

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f ' ( z ) ux iv x v y iuy

u和v以 及 它 们 的 偏 导 数 x , u y , v x , v y 在D内 u 都 是 连 续 的并 满 足C R方 程u x v y ,又, C D,

v x uy

c f ( z )dz C udx vdy i C vdx udy由Green公 式

udx vdy ( vc D

x

u y )dxdy 0

vdx udy ( uc D

x

v y )dxdy 0

f ( z )dz 0c

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