第二章数理统计答案

第二章数理统计答案

习题课

1. 设总体X

N , 2 ， X1,

2

n 1i 1

,Xn 是其样本：

2

a) 求k使 k Xi 1 Xi 为 2的无偏估计量； b) 求k使 k Xi X为 的无偏估计量。

i 1

n

n 1

2 n 12 2

a) 解：E kE Xi 1 Xi k E Xi 1 Xi

i 1 i 1

E Xi 1 Xi D Xi 1 Xi E Xi 1 Xi

DXi 1 DXi 2

2

22

2

E k n 1 2 2

2 1

2n 1 当E k n 1 2 2= 2时，k 。

b) E kE Xi X k EXi X nkEXi X

i 1i 1

n

n

而

X1 X2 1n

Xi X X

i Xi

ni 1

Xi 1 n 1 Xi Xi

1

n

Xn

n 12 N 0,

n

EXi X

x2

2n 1 2 n

dx dx

x2

2 202n 1 n

te

t22

第二章数理统计答案

故E nk

时，

k

2. 设总体 X

对于容量为n的样本，求使得 N , 2 ，

A

f x; , 2 dx 0.05

的点A的最大似然估计。 解：设X1,X2,分别为

,Xn为来自总体X的一个样本，可求得 与 2的最大似然估计

1n

X, S Xi X

ni 1

2n

2

2

因

从而

A

X A

f x; , 2 dx P X A P 0.05

X A A

P 0.95

查正态分布表知

A

1.645，故A的最大似然估计：A 1.64

3. 证明样本均值的平方X不是总体均值平方 的无偏估计（可见若 是 的

无偏估计，并不能推出g 是g 的无偏估计）

2

2

证：

DX EX

2

EX

2

2

n

2

EX DX EX

故X不是 2的无偏估计。

2

2

2 2

e x,x 0

0 未知，X1,X2,4. 设总体X的分布密度为f x;

0,x 0

自X，且n 2

a) 求 的极大似然估计 。

,Xn来

第二章数理统计答案

*

b) 计算E ，求k使 k 为 的无偏估计。

c) 证明 是 的渐进有效估计。 解：

a) 似然函数为L e

nn

*

xi

i 1

n

,xi 0,i 1,2,

,n

那么lnL nln xi

i 1

dlnL nn

xi 0 由

d i 1得

n

x

i 1

n

i

1

为 的极大似然估计量。 X

b) X

e 即X

1, ，又X1,X2,

Xi nX

i 1n

,Xn来自X，

n,

即nX的密度函数为

nn 1 x

xe,x 0

f x n

0,x 0

故

E

n n 2 xf x dx nxedx

0x n1 n 1 1 t

n tedt

n 0 n

1

n 1 n

n n 1

n 1*

可见，当k 时， k 为 的无偏估计。

n

第二章数理统计答案

c)

n 1 * n 1

D D D n

X nX

i i 1

= n 1 n 1

2

2

1 nn 1 x2

xedx 2

x n

2

n2

x

2

n 2 1

e xd x 2

n 1

n n 2 2

n 12

2 n 2

2

n 2

2

lnf X;

I E

1 1

E X E X

DX

1

22

2

1

* nI n 2 e 1 2n

n D *

n 2

故 是 的渐进有效估计。

1

e5. 设总体X的密度为：f x; , 2

x

2

*

，其中 0，设x1,x2,,xn是来自

这一总体的样本。 求：

a) , 的矩估计

第二章数理统计答案

b) , 的极大似然估计 a) 解:

E X

D X

x

2

2

e

x

dx

2

2

u2edu

u

2 u2e udu 2 3

2 2

1n

以x代E X ，以S

ni 1

2

2 x

xi x代D X ；以 ， 分别代 , 得

2

S2 2

从而得 , 的矩估计为

x

b) 似然函数

n

xi 1

L nnexp i 1

2

n

lnL nln2 nln

x

ii 1

对任意固定的 ，若 xi 达到最小值，则lnL达到最大值，因此， 的极大似然估计 满足

x

ii 1

n

min

第二章数理统计答案

xi

lnLn 又 i 12 0 解得

1n

xi

ni 1

n

即为 的极大似然估计。

1 x

,x 0 e

6. 设总体X具有概率密度f x; , ,其中 0，求 , 的极大

0,其它

似然估计。

解：似然函数为

1 xi 1 ei 1,xi i 1,2,L , n

0,其它

n

,n

0， 愈大，又 minxi，故 的极大似然估计为 minxi。 L , 愈大，

1 i n

1 i n

又

lnL ,

1

x nln

i

i 1

n

lnL , 1

2

xi

i 1

n

n

0

1n

得 的极大似然估计为 xi ，其中 minxi或 x x minxi。

1 i n1 i nni 1

7. 设总体X本Y1,Y2,

N 1, 12 ，总体Y2

N 2, 2 ，样本X1,X2,

,Xn1来自X，样

,Yn2来自Y，2样本独立。

a) 求 1 2的一个无偏估计。

b) 若n1 n2 n固定，问n1和n2应如何配置可使 的方差达到最小。 解:

1

X

ni

n1

X, E Z

i

1

i 1

第二章数理统计答案

1Y

n2

Y, E Y

ii 1

n2

2

EX Y EX EY 1 2 X Y是 1 2的一个无偏估计。

D DX Y DX DY

DXDXn2 n1

DX n1n2n1n2

nn n2 n1 n固定， 当n2 n1 时，n1n2达到最大， 当n2 n1 时，D 22

达到最小。

8. 设X1,

,Xn是来自正态总体N , 2 的样本，a,b为常数，0 a b，则随

n Xi 2n Xi 2

, 机区间 的长度L的期望为 方差为 。 bai 1 i 1

X

i 1

n

i

2

2

2 n

n2

E Xi E 2 n 2 n 2

i 1

n2

D Xi 2n 4 i 1

从而

11

E L n 2

ab

11

D L 2n 4

ab

9. 设 n X1,

,Xn 是总体X的参数 的无偏估计，且limD n 0，证

n

2

第二章数理统计答案

明 n是 的相合估计。 若总体X

N 0,

2

，X,

1

1n2

,Xn是来自该总体的样本，令 Xi，证明 2

ni 1

2

是 2的相合估计。

证：由切比雪夫不等式， 0，有

D n

P n 2

limD n 0，故limP n 0

n n

即limP n 1，从而 n是 的相合估计。 n

由上及

X

i 1

n

2i

2

2 n ，知

1 n 2 1n 2 D D Xi D Xi2

ni 1 n2 i 1

12 44

2n lim 0

n nn2

故知 是 2的相合估计。

2

第二章数理统计答案

第二章 习题

1. 解：

EX

0

x e xdx

1

X

1

2. 解：

a) EX k 1 p

k 1

k 1

，故

1 X

p kqk 1p

k 1

p kqk 1

k 1

p

1 q

2

p1 2pp

设X1,,Xn是总体X的一个样本，以X代替EX，得

X

故

p

1p

1 X

Xi 1

b)

n

p Xi 1 p

n

p

Xi nn 1

L p p Xi 1 p pn 1 p pn i 1

i 1

lnL p nX 1ln 1 p nlnp

lnL p n X 1 n

0

p

1 p1

X

p

解得

p

3. 解：设X1,

b a a b

DX ,Xn来自X，已知EX ，，按矩法应有 212

2

第二章数理统计答案

b a a b ，S2 X

122

由此解得

2

a X

，b X

4. 解：

5. 解：

a)

EX= 1

x x 1dx 1

0

x dx

1

X

X，得

1

1 X

L n X1X2

X 1

n

n

lnL nln 1 lnXi

i 1

lnL nn

lnXi 0 i 1

解得

n

n

lnX

i

i 1

iL

1

exp n

Xi 1

2

n

n

i

lnL nln 2

X

i 1

n

i

nln2 nln

X

i 1

n

lnL nXi

i 1

2 0

第二章数理统计答案

得

1n

Xi

ni 1

b)

1n 1n 1n

E E Xi EXi EX

ni 1 ni 1 ni 1

EX

x

1 1

xedx xedx

02

x

1n

Xi是 的无偏估计。

ni 1

6. 解:

L

kn

n

k 1 !

x1x2xn

k 1

e

xi

i 1

n

n

lnL knln nln k 1 ! k 1 lnxi xi

i 1

i 1

n

lnL knn

xi 0 k已知，

i 1

kk

解得 或

Xx

7. 解：

1

6,0 x 1 x 6

L

0,其它

的极大似然估计是

=maxxi x 6 2.2

1 i 6

X

U 0, ，令 E X , D X ,则

2

2

2

,

2

2

12

和 皆是 的函数，由不变原则，在上面的式子中以 代 ，即得 和 2的极大似然估计：

第二章数理统计答案

2

2

x n 2

2.2

1.1 2

2.22

0.4033

121212

2

x 2n

8. 解：似然函数

L

i 1n

xi ,xi i 1,2,f xi ei 1 0,其它

n

,n

愈大时，L 愈大，由似然函数的表达式，又 minxi，故取 minxi，L i1 i n

达到最大。根据定义， 的极大似然估计

minxi或 minXi

1 i n

1 i n

9. 解：似然函数

1000

L 1000e

xi*mi

i 1

lnL 1000ln xi*mi

i 1

1000

lnL 10001000*

ximi 0 i 1

的极大似然估计值为

1000

i 1

1000

*

i

i

xm

10001

0.05 2000020

10. 解：

a)

1

R d5

1

R 0.3249 0.14 0.045486 d10

b)

11. 解：

第二章数理统计答案

1n1n

EX EXi EX EX

ni 1ni 1

x

1

1 8 3 40 6 10 26 2 4 60

12. 解：

1415 4

D 1 DX1 DX2

9999 9

9195 1

D 2 DX1 DX2

1616168 16

1111 1

D 3 DX1 DX2

4442 4

D 3 最小。

13. 解：

已知E S*2 DX

又

X

P

DX EX E S*2 DX

即S*2是 的无偏估计。 又

EX EX

E X 1 S*2 EX 1 E S*2

EX 1 DX 1

0,1 , X 1 S*2也是 的无偏估计。

n 1n 1

2 22

14. 解：E CE Xi 1 Xi C E Xi 1 Xi

i 1i 1

第二章数理统计答案

2

E Xi 1 Xi D Xi 1 Xi E Xi 1 Xi

DXi i DXi 2 2

1 2 2 2

2n 1 E C n 1 2 ，当E C n 1 2 2 2时，C

2

15. 证：为证 n是 的一致估计量，下证limP n 0

n

而

P n

n

n fxdx f x dx 2

n

2

n

2

E n

2

又

2 2 2 2 E n E n 2 n E n 2 E n 2

D n E n 2 E n 2

2

故

E n

0 limP n limn 2 n

即

limP n 0 n

2

即 n是 的一致估计量。

xx

p 1 p 16. 解：X的分布律为P X x CN

xx

f x;p CNp 1 p

N x

N x

，即

,N

,x 0,1,2,

第二章数理统计答案

x

lnf x;p lnCN xlnp N x ln 1 p

所以

lnf x;p XN X I p E E

p p1 p

2

2

1p 1 p

2

2

E X Np

2

DXp 1 p

2

2

Np 1 p p 1 p

2

2

于是C R的下界为

N

p1 pp 1 p

nN

1nIp又由第1节例4知P 而

X N

X 11DXNP 1 P P 1 P D 2DX 2 2

NnnNnN N N

e p

nI p

X D N

1, p

X

是p的优效估计。 N

17. 解： 已知， 似然函数为

L 2 f

xi; 2 i 1

i 1

n 2

nn

xi

i 1n

2

xi 2

2 2

2

2

n2 2

12 e

nn1

lnL ln2 ln 2 2

222

xi

i 1

n

2

令

dlnL 2 d

2

n2

2

12

x 4 i

i 1

n

2

0

第二章数理统计答案

解得 2的极大似然估计为

1n2

xi

ni 1

2

从而

1n 2 1n22

E E Xi E X DX 2

ni 1 ni 1

即 是 2的无偏估计。 又

2

4 n Xi 2 1n2

D D Xi 2D nn i 1 i 1

2

Xi 2 42 4

2 D 22n ni 1 nn

4

n

由本章第2节例5知 2的C R下界为

2 4

IR n

2 4 2

D IR

n

是 2的优效估计。

18. 解：n 100,X 1000,S 40,1 0.95,u 1.96

2

2

整批电子管的平均寿命的置信区间为

X u X u 992.16,1007.84 22

20.

解：枢轴量T 置信区间为

*X t

n 1 6720 2.2622 6720 157.3815

2

t n 1

第二章数理统计答案

21. 解：记事件A发生为1，不发生为0，总体分布 X由1 0.95得u 1.96

2

据题n 60,m 15，B 1,p ，

概率p的置信度为0.95的近似置信区间为

m 0.25 1.96 0.25 0.4472136 0.1404327,0.3595673 n

22. 解： 的置信度为1

的置信区间为X u

2

其区间长度为2u

2

依

题意要求2u

2

L

解得

2

4 2u

n

2

4 2u

2

L

2

即当n

L。

2

L

2

时，方能使总体均值 的置信度为1 的置信区间的长度不大于

25. 解：因Zn 1标准化得

N ,

2

,Z

2

N , ，Zn

1 Z

n

2 2N 0,

n

N 0,1

又由抽样定理知

2

nSn

2

2 n 1 ，于是据

t分布的定义得

t n 1

即

t n 1

第二章数理统计答案

26. 解：若对 1 2作区间估计， 1 2可用 Z Y作点估计

Z,Y都服从正态分布且独立 Z Y也服从正态分布

由E Z Y 1 2，D Z Y

2

2

m

2

2

n

U

Z Y

Z 1 Y 2

N 0,1

又

mSx2

2

m 1 ，

2

2mSy

2

2 n 1 ,再利用相互独立 2变量的可加性得

2

mSx2 mSy

利用t分布定义，可知

2

2 m n 2

T

Z 1 Y 2

t m n 2

n 1 S*2 2

27. 解：由抽样定理知 n 1 ，当样本容量n 45时，由第一章

2.22

中 2分布的性质3知

n 1 S*2

2

n 1 近似地

N 0,1

S*2

P u 1

u2 1

2

2

*2*22

P 1

第二章数理统计答案

总体方差 2的置信度为1 的近似置信区间为

*2*2

S1*2

31. 解：由题中条件可得*2 0.6862745，由于 0.05, 0.025,1 0.975，

22S2

查F分布表可得（临界值）分位数为

F0.025 8,5 6.76,F0.975 8,5

1F0.0255,8

1

4.82

12

2的置信区间（置信概率95%）为 2

S1*2S1*2 F1 n2 1,n1 1 *2,F n2 1,n1 1 *2

S2S2 22

S1*2S1*2

F0.975 8,5 *2,F0.025 8,5 *2

S2S2

0.1423806,4.6392156

32. 解：钢索所能承受平均张力的单侧置信下限（置信度为95%）为

*Z t

n 1 6720 1.8331 65920471

33. 解：n 100,m 6，由1 0.95，得u 1.64

这批货物次品率的单侧置信上限为

m u 0.06 0.0990665n

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