2008-2009学年第1学期线性代数B1期终考试试卷

西南交通大学 2008－2009 学年第(一)学期考试试卷

课程代码 2100024 课程名称 线性代数B 考试时间 120 分钟

注意：1．答题前，请在密封线内清楚、正确地填写班级、学号、姓名；

2．请将判断题、填空题和选择题的答案填写在指定的位置，写在其它地方不得分。

一、判断题（ 每小题 3 分，共 12 分；正确的打“√”，错误的打“×” ）

1、若向量组 1, 2, , r 线性相关，则向量组 1, 2, , m(r m) 线性相关。（ ） 2、(A B)2 A2 2AB B2

。（ ）

3、设 1, 2是对称矩阵A的两个相同的特征值， 1, 2是对应于 1, 2的特征向量，则 1和 2一定线性相关。（4、V {x (xT

1,x2, ,xn)|x1 2x2 nxn 0,xi Ri 1,2, ,n} 是向量空间。（ ）二、填空题（每空3分，共15分）

2x

1 1

5、求函数f(x) x

xx中x3

的系数为 ； 1

2

x

6、设 (1

23), (3

2

1)T

，则 = ；

1

2347、已知四阶行列式D

5678 4 4 4 4，则 A11 A12 A13 A14 ；

1

2

3

8、若n元非齐次线性方程Ax b有唯一解，则它对应的齐次线性方程Ax 0 ； （填写“只有零解”或“有非零解”）

9、设A为n阶方阵，且A2

A 7E 0，则 A 2E

1

三、选择题（每小题3分，共18分）

10、设 2 xy x

6

4x y

01 11 1 ，则（ ） 1

（A） x 4y 10 （B） x 10y 4 （C） x 1

y 1 （D） x 0

y 1

100 200

1、矩阵A

0

01 030 ，则 A 1

=（ ）

01

0 0

4

）

1 2

（A） 0

0 1 （C） 0

0

001

013

00 1 0

0 1

20 （B） 0 01

4

013

1

0014

0

13

0

0 （D） 0 4

2 0 0

12、设 A、B均为n阶方阵，下列各式正确的是( ).

(A) | A| |A|； (B) (AB)(C) (AB)

T

T

T

1

B

1

A

1

；

BA； (D)|A B| |A| |B|.

12

13、设3阶可逆方阵A，且A ，则(2A)

1

5A

*

（ ）；

（A） 4 （B） -4 （C） 16 （D） -16 14、已知 3 阶方阵A的特征值为 1，-2，3，则

A* A2

=（ ）;

（A） -245 （B）245 （C）49 （D）-35 15、设矩阵

A ( 1, 2, 3, 4),其中 2, 3, 4线性无关，且 1 3 2 2 3， 的通解为( ).

1 2 2 3 3 4 4，则 AX

1

3 (A) x c

2 1 1 3 (C) x c

2 0

四、计算题（48分）

1

2 3 4 4 3 2 1

1 1 32 c R (B) x c

2 3 0 4 1 2 c R (D) x c 3 4

1 2 3 4

c R

c R

3

16、计算四阶行列式 D4

1311

1131

1113

（6分）

111

3

17、设矩阵A和B满足关系式AB A 2B，其中A 0

0

040

0

0，求矩阵 B。（6分） 5

18、设向量组

A: 1 (1,0,2,0), 2 (1,2,0,1), 3 (2,1,3,0), 4 (2,5, 1,4), 5 (1, 1,3, 1)，

求向量组A的秩及一个最大线性无关组，并把其余向量用最大线性无关组线性表示。（12分）

TTTTT

(1 )x1 x2 x3 0

19、设有线性方程组 x1 (1 )x2 x3 3， 问 取何值时，此方程

x x (1 )x

23 1

（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多个解？并在有无限多个解时求其通解。 （12分） 20、求一个正交变换x Py，把二次型

f 2x1 5x2 5x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3化为标准形。 （12分）

五、证明题：（7分）

21、设有向量组 i (ai,ai, ,ai),i 1,2, ,m,m n，试证向量组 1, 2, , m线性无关。其中：

2

n

222

a1,a2, ,am为m个互不相等且不为零的常数。

《线性代数B》参考答案及评分标准

一、判断题：（每小题3分）：

1、 √ ；2、 × ；3、 × ；4、 √ 。

二、填空题答案填写处（每空3分）：

5、 -2 ；6、 10 ；7、 0 ；

8、 只有零解 ；9、 A+3E 。

三、选择题：（每小题3分）

3

三、16、计算D

1311

1131

1113

。（6分）

111

解：

6D

1111 6

1111 6

000

13111

631111311

613111131

6113

(3)

(4)

200

020

002

(5)

48 (6)

注：本题有多种解法，只要行列式性质使用正确，并且结果正确即可给满分；

3

17、设矩阵A和B满足关系式AB A 2B，其中A 0

0

解：

因为 AB A 2B 所以 (A

040

0

（6分） 0，求矩阵 B。

5

2E)B A

B (A 2E)

1

A 2E 0

0

020

1

A ……………3分

0

0，A 2E 6 0，故A 2E可逆； 3

(A 2E)

1

1 0 0

02

0 0 1 3

3 B 0

0

18、设向量组

020

0 ……………6分

5 3 0

注：此题如有其它解法，只要计算过程及结果正确，均可给满分。

A: 1 (1,0,2,0), 2 (1,2,0,1), 3 (2,1,3,0), 4 (2,5, 1,4), 5 (1, 1,3, 1)，

求向量组A的秩及一个最大线性无关组，并把其余向量用最大线性无关组线性表示。（12分）

TTTTT

解：增广矩阵为：

1 0 2 0 1 0 ~ 0 0

12011100

21302010

25 1424 30

1 1 10 ~ 3 0 1 01 1 10 ~ 1 0 0 0

12 211100

21 100010

25 5484 30

1 1

10 ~ 1 0 1 0 1 1 10 ~ 1 0 0 0

12100100

21000010

254044 30

1

1 1 0 0 1 1 0

所以 向量组A的秩为3；

1, 2, 3为一个最大线性无关组；

4 4 1 4 2 3 3； 5 2 3。

(1 )x1 x2 x3 0

19、设有线性方程组 x1 (1 )x2 x3 3， 问 取何值时，此方程

x x (1 )x

23 1

（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多个解？并在有无限多个解时求其通解。 （12分）

解：增广矩阵为：

1

B 1

1 1 0 0

1

11 11 2

2

111

0

3

r3 r1

1

1 1 1 0 0

11 11

1 111

2

3 0

r2 r1

r3 r1

1

0 0

1

r r

32

3

(1 )

3

3 ……………4分

2

3 2

1 ( 3)

3

( 1)( 3)

A) 3，即 0且 3时，原方程组有惟一解；……………6分 （1） 当R(A) R(

（2）当 0时，原方程组无解；……………8分

（3）当 3时，原方程组有无穷多解；……………10分

对方程组的增广矩阵作初等行变换如下：

1

B~0

0

1 30

230

3 1 6~0

0 0

010

1 10

1

2

0

1

所以此方程的通解为x c1

1 1

2,(c R)……12分 0

20、求一个正交变换x Py，把二次型

f 2x1 5x2 5x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3化为标准形。 （12分）

解：

222

2

（1）二次型的矩阵 A 2

2

（2）方阵A的特征多项式为：

25 4

2

4； ……… 2分

5

2

p( ) |A E|

2 2

25 4

2 45

( 1)( 10)

2

令 p( ) 0，解得特征值为 1 10, 2 3 1. …………………5分 将 1 10, 2 3 1.分别代入方程组 (A E)x 0,可得特征向量分别为

1 2 2

1 2, 2 1, 3 0，………………………………7分

2 0 1

对它们进行schimidt正交化再单位化后得到

2

1 2 5 q1 2,q2 1,q3 4

5 2 0 1

1

3

2

e1 ,e2 ,e 3 3

0 5 2

3 所求正交矩阵Q (e1,e2,e3)， ………9分 且满足QAQ diag(10,1,1) ………10分

（3）该二次型在正交变换X QY下的标准型为：

T

f(y1,y2,y3) 10y1 y2 y3 ……………12分

五、证明题：（7分）

21、设有向量组 i (ai,ai, ,ai),i 1,2, ,m,m n，试证向量组 1, 2, , m线性无关。其中：

2

n

222

a1,a2, ,am为m个互不相等且不为零的常数。

证明：由题设可知

1 (a1,a12, ,a1n)

2n 2 (a2,a2, ,a2) ………………………1分

(a,a2, ,an)

mmm m

去掉每一个向量的后面(n m)个分量得：

1 (a1,a12, ,a1m)

2m 2 (a2,a2, ,a2)

……………………2分

(a,a2, ,am)

mmm m

设有数x1,x2, ,xm，使得

x1 1 x2 2 ... xm m 0……………………3分

a1x1 a2x2 ... amxm 0

222

a1x1 a2x2 ... amxm 0即 ……………………4分

..........................

amx amx ... amx 0

22mm 11

a1

其系数行列式为

a2a2a2

2

............

amamam

2

a1a1

2

...

m

...

m

...

2

a1a2...am

1 j i m

(ai aj) 0………………5分

故 1, 2,..., m线性无关，………………………6分 从而 1, 2, , m线性无关。……………………7分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hmu4.html