三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

向量的重心、垂心、内心、外心、旁心

三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。 重心：?ABC中、每条边上所对应的中线的交点； 垂心：?ABC中、每条边上所对应的垂线上的交点；

内心：?ABC中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）； 外心：?ABC中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。 一、重心

1、O是?ABC的重心?OA?OB?OC?0

1若O是?ABC的重心，则?BOC??AOC??AOB??ABC故OA?OB?OC?0,

31PG?(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心.

312、 P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心?PG?(PA?PB?PC).

3证明：

PG?PA?AG?PB?BG?PC?CG?3PG?(AG?BG?CG)?(PA?PB?PC) ∵G是△ABC的重心

∴GA?GB?GC?0?AG?BG?CG?0，即3PG?PA?PB?PC

1由此可得PG?(PA?PB?PC).（反之亦然（证略））

3，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足3、已知O是平面上一定点，A??????????????????)，则P的轨迹一定通过△ABC的重心. OP?OA??(AB?AC)，??(0，

?????????????例1 若O 为?ABC内一点，OA?OB?OC?0 ，则O 是?ABC 的（ ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

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二、垂心

1、O是?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OA?OC 若O是?ABC(非直角三角形)的垂心，则 故tanAOA?tanBOB?tanCOC?0

2、H是面内任一点，HA?HB?HB?HC?HC?HA?点H是△ABC的垂心. 由HA?HB?HB?HC?HB?(HC?HA)?0?HB?AC?0?HB?AC, 同理HC?AB，HA?BC.故H是?ABC的垂心. （反之亦然（证略）） 3、P是△ABC所在平面上一点，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，则P是△ABC的垂心． ????????????????????????????????????????????由PA?PB?PB?PC，得PB?(PA?PC)?0，即PB?CA?0，所以PB⊥CA．同理

????????????????可证PC⊥AB，PA⊥BC． ∴P是△ABC的垂心．如图1.

AECMB

CP

图1

PAOHF图⑷ B，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足4、已知O是平面上一定点，A??????????????????ABAC?，??(0，OP?OA?????????????)，则动点P的轨迹一定通过??ABcosBACcosC???△ABC的垂心．

例2 P是△ABC所在平面上一点，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，则P是△ABC的（） A．外心

B．内心 C．重心 D．垂心

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三、内心

1、O是?ABC的内心的充要条件是

???????ABAC??BABC??CACB?OA???????OB????OC????0

?ABAC??BABC??CACB???????

引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3，则刚才O是?ABC的内心的充要条件可以写成

B A e1e2C P OA?e1?e3?OB?e1?e2?OC?e2?e3?0

2、O是?ABC的内心的充要条件也可以是a?OA?b?OB?c?OC?0。 3、若O是?ABC的内心，则S?BOC:S?AOC:S?AOB?a:b:c

故 a?OA?b?OB?c?OC?0或者sinA?OA?sinB?OB?sinC?OC?0;

4、已知I为△ABC所在平面上的一点，且AB?c，AC?b，BC?a ．若?????????aIA?bIB?cIC?0，则I是△ABC的内心．

?????????????????????????????????????∵IB?IA?AB，IC?IA?AC，则由题意得(a?b?c)IA?bAB?cAC?0，

?????????????????????????????????????????ABAC∵bAB?cAC?AC?AB?AB?AC?AC?AB????????????ABAC??????????????bc?ABAC?∴AI??????????．

a?b?c?ABAC???????????A????????ACAB∵????与????分别为AB和AC方向上的单位向量，

ACAB???∴AI与∠BAC平分线共线，即AI平分?BAC．

cIC??， ??Bab

同理可证：BI平分?ABC，CI平分?ACB．从而I是△ABC的内心，如图。

，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足5、已知O是平面上一定点，A第 3 页 共 10 页

???OP?????OA????????????AB?????????AC????，??(0，??)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的内?ABAC??C心．

O由题意得???AP????????????AB???????????AC??ABAC??，

?P∴当??(0，??)时，???AP?表示?BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点AP的

轨迹一定通过△ABC的内心，如图。

例3 O平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OP?OA??(AB?ABCAB?ACAC)，???0,???则P点的轨迹一定通过的（ ）

（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心

四、外心

1、O是?ABC的外心?OA?OB?OC,若O是?ABC的外心则

S?BOC:S?AOC:S?AOB?sin?BOC:sin?AOC:sin?AOB?sin2A:sin2B:sin2C 故sinAOA?sinBOB?sinCOC?0。

2、 已知O是△ABC所在平面上一点，若????OA?2?????OB?2?????OC?2，则O是△ABC的外心．

若???OA?2????OB?2????OC?2，则???OA?2?OB????2OC?????2，∴???OA??OB????O?C????，则O是△ABC的外心，如图1。

C B ABMP

O图1

2

O图AC

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B

，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足3、已知O是平面上的一定点，A??????????????????????OB?OCABAC?，??(0，OP????????????则动点P的轨迹一定通??)，??ABcosBACcosC?2??过△ABC的外心，如图2。

????????????例4 若O 为?ABC内一点，OA?OB?OC，则O 是?ABC 的（ ）

A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

关于“欧拉定理”的一些问题：

著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：

（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；

（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

例5 在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。

证明：

以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：

xx?x2y2xyxD（1,0)、E(1,)、F(2,2) 由题设可设Q（1,y3)、H(x2,y4),

222222?????????xx1?x2y2xyG(,)?AH?(x2,y4)，QF?(2?1,2?y3)

33222????BC?(x2?x1,y2)

y C(x2,y2) ??????????AH?BC??????????AH?BC?x2(x2?x1)?y2y4?0

x(x?x1)?y4??22y2F G Q A 第 5 页 共 10 页

H E x B(x1,0) D

??????????QF?AC?????????xxy?QF?AC?x2(2?1)?y2(2?y3)?0

222x(x?x1)y2?y3?22?2y22?????x2x?x13x2(x2?x1)y2?QH?(x2?1,y4?y3)?（2,??)

222y22????x?xxy2x?x1y2x2(x2?x1)y21?QG?(2?1,2?y3)?（2,??)323632y222x2?x13x2(x2?x1)y212x?x13x2(x2?x1)y2,??)?(2,??) 66y26322y22?1???? =QH3?????????2 即QH=3QG，故Q、G、H三点共线，且QG:GH?1： ?(

例6．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证

OH?OA?OB?OC.

证明

若△ABC的垂心为H，外心为O，如图. 连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.

∴AD?AB，CD?BC.又垂心为H，AH?BC，CH?AB， ∴AH∥CD，CH∥AD，

∴四边形AHCD为平行四边形，

∴AH?DC?DO?OC，故OH?OA?AH?OA?OB?OC.

“欧拉定理”简化：

例7 设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证 OG?OH 证明

按重心定理 G是△ABC的重心?OG?(OA?OB?OC) 按垂心定理 OH?OA?OB?OC 由此可得 OG?OH.

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补充练习一： 1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是?ABC的重心，动点P满足

111OP= (OA+OB+2OC),则点P一定为?ABC （ ）

232A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心）

C.重心 D.AB边的中点

2．在同一个平面上有?ABC及一点Ｏ满足关系式：

OA2?BC2?OB2?AC2?OC2?AB2，则Ｏ为?ABC的 （ ）

A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心

????????????2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：PA?PB?PC?0， 则P为?ABC的 ( )

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：

OP?OA??(AB?AC)，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足： ????????????????????????PA?PC?PA?PB?PB?PC?0，则P点为三角形的 （ ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：????????????则P点为三角形的 a?PA?b?PB?c?P0C?，（ ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

6．在三角形ABC中，动点P满足：CA?CB?2AB?CP，则P点轨迹一定通过△ABC（ ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

的

22：

???ABAC?ABAC17.已知非零向量AB与AC满足???BC?0,且??， 则??ABAC?ABAC2???ABC为

A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

8.?ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，

OH?m(OA?OB?OC)，则实数m = 。

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9.点O是?ABC所在平面内的一点，满足OA?OB?OB?OC?OC?OA，则点O是

?ABC的（）

A 三个内角的角平分线的交点 C 三条中线的交点

B 三条边的垂直平分线的点 D 三条高的交点

10. 已知点G是?ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，

?????????????????11且AM?xAB，AN?yAC，则??3。

xy

???????????? 证 点G是?ABC的重心，知GA?GB?GC?O，

????1????????????????????????????AG?(AB?AC)。又M，N，G三点共线得?AG?(AB?AG)?(AC?AG)?O，有

3（A不在直线MN上），

????????????? 于是存在?,?，使得AG??AM??AN(且????1)，

?????????????????1??? 有AG??xAB??yAC=(AB?AC)，

3?????111???3。 得?，于是得1xy?x??y??3?

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补充练习二： 1、已知O是△ABC内的一点，若OA?OB?OC，则O是△ABC的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

2、在△ABC中，有命题①AB?AC?BC；②AB?BC?CA?0；③若

222?AB?AC???AB?AC??0，则△ABC为等腰三角形；④若AB?AC?0，则?ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕

A、①② B、①④ C、②③ D、②③④

???ABAC?ABAC13、已知△ABC中，有?和??,试判断△ABC的形??BC?0??ABAC?ABAC2??状。

4、已知△ABC中，AB?a，BC?b，B是△ABC中的最大角，若a?b?0，试判断△ABC的形状。

5、已知O是△ABC所在平面内的一点，满足

OA?BC?OB?AC?OC?AB，则O是△ABC的〔 〕

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

6、已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足

222222???ABAC?OP?OA?????,???0,???，则动点P一定过△ABC的〔 〕

?ABAC???A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

7、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足

1??OP?OA???AB?BC?,???0,???，则动点P 的轨迹一定通过△ABC的〔 〕

2??A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

8、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足

???ABAC? OP?OA?????,???0,???，则动点P一定过△ABC的〔 〕

?ABcosBACcosC???A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

9、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足

???OB?OCABAC?OP??????,???0,???，则动点P一定过△ABC的

2?ABcosBACcosC???第 9 页 共 10 页

〔 〕

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

10、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且

11AM?x?AB,AN?y?AC，求证：??3

xy

补充练习三： 1、已知O是△ABC内的一点，若OA?OB?OC?0，则O是△ABC的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

2、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且OA?OB?OC?0，则OA?OB等于〔 〕

11A、 B、0 C、1 D、?

223、已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是a、b、c若

a?OA?b?OB?c?OC?0，则O是△ABC的〔 〕

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

4、已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点，满足AB?AC?3AP，则P是△ABC的〔 〕

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

5、平面上的三个向量OA、OB、OC满足OA?OB?OC?0，OA?OB?OC?1求证：△ABC为正三角形。

6、在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，求OA?(OB?OC)

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