固定收益证券定价（第六讲）

固定收益证券定价（四）

在实际的投资交易中，会遇到很多含权债券，例如可赎回债券、可转换债券、抵押债券等等，债券中所含的期权对于债券定价会有很大的影响。

含权债券定价的一般方法

期权定义及其特征

期权是一种选择的权利，它授予期权购买者在特定的时间以确定的价格向期权卖出者购买或者出售一定数量某种资产的权利。

期权购买者可以执行期权，也可以不执行期权，而一旦期权执行，那么期权的出售者必须履行合约上指定的义务。

投资者由于取得期权而付出的费用称为期权的价格，在期权合约中规定的买卖资产的价格称为执行价格，期权失效的时间称为到期日。

如果期权只能在到期日执行，称为欧式期权；如果期权在到期日之前的任何有效时间都可以执行，称为美式期权

? 期权有两种基本的类型：看涨期权和看跌期权。

看涨期权是指可以在特定的时间以确定的价格买入一定数量某种资产的权利。看跌期权是指可以在特定的时间以确定的价格卖出一定数量某种资产的权利。 从回避风险角度来看，看涨期权可以使得期权持有者能够锁定未来资产的购买价格，从而有效地回避了未来资产价格上涨带来的风险。

? 看跌期权则可以使期权持有者能够锁定未来资产的卖出价格，可以回避未来资产价

格下跌带来的风险

【例】某投资者未来1年后需要购买债券A，购买价格不能超过110元，投资者可以买入1年期以债券A为标的的看涨期权，执行价格为110元。

? 当1年后债券A价格上涨到ll0元以上时，投资者还是可以以执行价格110元购买

债券A，对于债券价格的上涨风险进行了有效的规避。

【例】某投资者未来1年后需要购买债券A，购买价格不能超过110元，投资者可以买入1年期以债券A为标的的看涨期权，执行价格为110元。

? 当1年后债券A价格上涨到ll0元以上时，投资者还是可以以执行价格110元购买

债券A，对于债券价格的上涨风险进行了有效的规避。

以欧式期权为例，四种期权头寸的损益情况(损益不包括购买期权的费用)。

对于期权空头来说，其收益最大不超过期权的价格。对于看涨期权空头来说，其损失是随着到期日资产价格增加而增加的；对于看跌期权空头来说，其损失是随着到期日资产价格下跌而增加的。

由于期权只是一种衍生品．和股票债券等资产不一样，除了交易双方，并没有其他现金流入，因此期权交易双方的损益之和是等于零的，也就是说，空头的亏损金额总是等于多头

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的收益，反之亦然。

期权的定价原理

期权的价格包括两部分：期权的内在价值、期权的时间价值。

内在价值：期权立即执行时的收益和零之间的最大值．当期权立即执行时收益为正时，内在价值等于该收益；当期权立即执行时收益为负时，内在价值等于零 ? 实值期权：立即执行收益为正的期权 ? 虚值期权：立即执行收益为负的期权 ? 两平期权：立即执行收益为零的期权 期权的价格一般要大于期权的内在价值，因为如果期权的价格小于其内在价值的话，那么投资者可以买入期权．然后执行期权可得到大于期权价格的收入，这样投资者就可以获得无风险的利润，这种情况在有效市场中是不可能存在的。

期权价格和期权的内在价值之间的差值就是期权的时间价值。

时间价值实际上是期权购买者为什么持有期权的理由，如果期权没有时间价值，那么投资者不可能持有虚值期权，

当期权为虚值和两平期权的时候内在价值为零，所以此时期权的时间价值就等于期权的价格。

期权(以固定收益证券为标的物)价格主要受下面的因素影响： (1)标的债券的现价 (2)执行价格； (3)到期时间；

(4)期权期限内的无风险利率； (5)债券息票利率；

(6)期权期限内预期的利率波动率。

债券的现价和执行价格反映了债权的内在价值。

? 对于看涨期权来说，债券的现价越高，内在价值越大，期权的价格越高； ? 对于看跌期权来说，债券的现价越低，内在价值越大，期权的价格越高。

到期期限对于欧式期权和美式期权价格的影响是不同的。对于欧式期权来说，出于期权的执行时间只能为到期日，所以到期期限对价格的影响没有特定的规律；

对于美式期权，由于到期时间越长，投资者获得更大的收益的可能性就越大，所以期权的价格越高。

其他条件不变时，当市场的无风险利率增加的时候，会产生两种效应：

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一是资产的价格增长率(即收益率)倾向于增加

二是期权的持有者未来的现金流的现值将减少。这两种效应都会使得看跌期权的价格减少。

对于看涨期权来说，第一种效应将会使得期权价格升高，第二种效应将会使得期权价格减少，但是第一种效应起主导作用，因此看涨期权的价格将升高。

其他条件不变时．债券的息票利率越大，利息支付后债券价格降低得越多，那么看跌期权的价格会升高，而看涨期权的价格会降低。

如果利率的波动性增加，那么债券的价格上升很高和下降很低的可能性都会增加，对于看涨期权的持有人来说，将从债券价格上升中获利，债券价格下跌时其最大的损失等于期权的价格。

对于看跌期权的持有人来说，将从债券价格下跌中获利，债券价格上升时其最大的损失也等于期权的价格

这就是说，利率的波动率增大可以增加期权多头获利的可能性，这将导致期权的价格的增加。

期权定价的理论公式是建立在套利定价的基础上的，通过构造无套利的资产组合、可以对期权进行定价。

期权定价方法有解析方法和数值方法两种。 解析方法中最经典的是B1ack—scholes模型，数值方法有二叉树方法、蒙特卡罗方法和有限差分法。

B1ack—scholes模型

假设资产的价格分布服从对数正态过程(指价格的自然对数服从正态分布)，这意味着资产的价格可能到达任何正值。 但是对于债券来讲，其价格不可能大于其所有利息和到期偿还价值之和，除非存在负的利率，这显然是不大可能发生的。

B1ack—scholes模型无法限制债券价格的大小不超过其最大值，因此在对以债券为标的物的期权进行定价的时候会有很大的局限性。

根据期权定价模型，可以求得期权理论价格对各个影响因素的敏感性。 一般我们考虑三个因素：标的债券价格，到期时间，预期利率波动率。 下面主要以看涨期权为例进行讨论。

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标的债券价格超过执行价格E的那一部分就是期权的内在价值。

内在价值应该为一条45的直线(直线方程为内在价值＝标的债券价格－ E)。

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当标的债券价格小于执行价格E的时候，期权的内在价值为零。

期权理论价格和内在价值之间的差就是期权的时间价值，期权的内在价值越大，期权的理论价格就越接近于其内在价值，从图中两条曲线之间的距离的变化可以看到这一点。

图中期权理论价格曲线的切线就是期权理论价格对于标的债券价格的敏感性，反映了标的债券价格变动对期权价格的影响，即期权价格对标的债券价格的一阶导数。

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当标的债券价格远远小于执行价格时，即期权处于深度虚值时，Delta(切线的斜率)几乎等于零，因为在这种情况下内在价值为零，期权的价格等于时间价值，标的债券价格变化的时候对期权价格的影响很小。

当标的债券价格远远大于执行价格时，即期权处于深度实值时，Delta接近于l，因为此时内在价值很大，占期权价格的绝大部分比率、标的债券价格的变动几乎就等于期权价格的变动

期权的Delta值在0－1之间变动，深度虚值期权的Delta接近于零，平价期权的Delta近似等于0．5，深度实值期校的Delta接近于1

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当期权到期的时候，根据前面的欧式看涨期权的损益公式6．1，可以得到：

含权债券的价格收益率特征

? 以可赎回债券为例介绍含权债券的价格收益率特征和定价方法。 ? 可赎回债券的持有者同意给予发行人在债券到期日之前赎回的权利。

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如某种可赎回债券的票面利率为lo％，而市场的利率为8％，发行人

发现赎回息票率为10％的债券，然后再以8％的利率重新融资是合算的。 这种权利实际上是一种看涨期权，它对债券有以下两方面的影响：

一是使得可赎回债券的投资者面临再投资风险，当可赎回债券的票息率高于市场收益率的时候，发行人会赎回债券，这使得投资者的再投资利率下降 二是在利率下降的情况下，使债券的价格上升受到限制。

因为当市场利率下降的时候，市场会强烈地预期债券会按照赎回价格被赎回，债券的价格就没有不含权债券上升得那么快。 可赎回债券的这种特性称为价格压制

? 当市场利率高于可赎回债券票面利率的时候，从债券发行人节约融资成本的角度来

看，债券不可能被赎回。

? 即当收益率大于y*时，可赎回债券和不可赎回债券的价格收益率曲线是一样的。 ? 但当收益率进一步下降时，可赎回债券的价格要小于不可赎回债券的价格。

? 在同样的收益率下，如果不可赎回债券和可赎回债券的价格相同，那么投资者肯定

选择不可赎回债券，因为可赎因回债券在低利率的情况下很可能被赎回。 ? 为了补偿这种被赎回的可能性，可赎回债券的价格必然要比不可赎回债券价格要低。 ? 从期权的角度来看，可赎回债券中包含一个看涨期权，当可赎回期权具有可赎回的

可能性的时候，看涨期权的价值大于零，作为看涨期权的空头方(卖出者)的投资者可以拿到期权价格的收入，这种收入就体现在同等收益率下可赎回债券与不可赎回债券之间的价格差距

? 由于可赎回债券的价格压制性，使得利率降低的时候，债券的资本利得增加的幅度

减小，从图中可以看到，表现为收益率小于y*时价格收益率曲线的一种反向凸性。 ? 反向凸性意味着当收益率增加和减少相同的幅度时，债券价格减少的幅度要大于债

券价格增加的幅度，这种特征和不含期权债券的正凸性正好相反。

? 可赎回债券价格收益率曲线的反向凸性是由于其中所含的看涨期权的空头引起

的，那么可赎回债券的价格应该包含有看涨期权的价格。

【例1】设有债券A票面利率为10％，期限为15年，在第5年后可以以108元的价格赎回。

对于债券A的持有者来说，其持有的头寸实际上有两个： 一个是15年期的票面利率为不可赎回的债券的多头

一个是5年后的10年期限里以108元的价格买入债券剩余现金流的看涨期权的空头。

用公式表示如下：

可赎回债券多头＝不可赎回债券多头＋看涨期权空头

用价格来表示即为：

可赎回债券价格＝不可赎回债券价格－看涨期权价格

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或者，看涨期权的价格就等于可赎回债券和不可赎回债券价格的差。

任何收益率超过无风险收益的资产都有风险，也就是说，资产的收益率是对其所含风险的补偿。

债券的收益率中包含对于其信用风险的补偿，对于可赎回债券来说，因为其价格含有期权的价格，所以投资者无法判断其收益率是否足够补偿其信用风险。

根据上面公式，可以求得可赎回债券对应的不可赎回债券的隐含价格(因为市场上可能同时有对应的不可赎回债券进行交易)，然后计算不可赎回债券持有到期的收益率，称该收益率为期权调整收益率。

【例2】 某20年期的可赎回债券票面利率为8％，价格为102，赎回价格为104。 假设采用期权定价公式可以得到其内含看涨期权的价格为4．21

首先得到对应的不可赎回债券的价格，等于106．21(＝102＋4．21)。

不可赎回债券是20年期票面利率为8％的债券，可以计算其到期收益率为7．4％，这就是期权调整收益率。

前面章节中讨论过不含期权债券的价格波动性，主要是用久期和凸度来对债券的波动性进行衡量。

对于含有期权的可赎回债券同样有价格波动性的问题，也可以用久期和凸度来衡量可赎回债券的波动性。

令可赎回债券的价格为Pc，对应的不可赎回债券价格为Pnc，不可赎回债券的修正久期为Dnc，可赎回债券的久期为Dc，期权的价格为P。

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从公式6．10可以看到期权调整久期由期权的δ值、对应的不含期权债券的价格及其久期决定。

? 举两个特例来说明期权调整久期的计算：

一个是票面利率远远低于市场收益率的高折价债券，一个是票面利率远远大于市场收益率的高溢价债券。

【例3】 某高折价可赎回债券的票面利率为5％，市场收益率为15％。

发行者显然不会赎回票面利率为5％的债券而重新发行利率为15％的债券，这样债券内含的期权是深度虚值期权

根据前面所述的有关期权理论，深度虚值期权的δ值是接近于零的，期权的价值

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也是接近于零的(即可赎回债券的价格等于不可赎回债券价格)。

根据公式6．10，可以知道债券的期权调整久期实际就等于不可赎回债券价格的久期。

【例4】 某高溢价可赎回债券的票面利率为12％，市场收益率为6％。

债券内含的期权是深度实值期权，根据前面的结论，深度实值期权的δ值是接近于l的，由公式6．10可以知道债券的期权调整久期为0。

? 凸度表示的是收益串变化时久期的变化。

? 图6—3表示了可赎回债券的负凸性，即当收益率增大的时候，债券的久期增大，当

收益率减少的时候，债券的久期减少。

负凸度同时也意味着在收益率变化相同幅度的时候，债券久期减少的幅度要小于增加的幅度。

含权债券定价方法

债券可以看作是一系列现金流的组合，对于每一笔现金流来说，因为期限不同，其对应的贴现率一般情况下部是不一样的，这是前面所讨论的债券的收益率曲线和利率的期限结构所告诉我们的。

在进行债券定价的时候应该用和现金流期限对应的即期利率对每笔现金流进行贴现，此时得到的价格才是债券的理论价格。

上面的方法实际上是债券定价的基本原理，对于含权和不含权的债券都是适用的。 只不过对于含权的债券来说，其现金流是不确定的，但是如果知道利率的变动可能性和变动大小，就可以求出现金流的期望值，最后可以得到债券的期望价格。

首先应用上述原理对不含权债券进行定价，以对计算过程进行更深入的了解。

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? ? 因为价格等于面值，所以票面利率等于到期收益率。

为简化计算，假设每年支付一次利息。采用Boot－strapping方法，计算即期利率：

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利用远期利率和即期利率的关系式，可计算各期的隐含远期利率。

1年期的远期利率就等于3．6％，1年后的1年期隐含远期利率设为f1．那么有

当对含期权的债券进行定价的时候，因为债券未来的现金流是不确定的，与利率的变动有关，所以有必要对利率的波动性进行研究。

首先介绍在期权定价中常用的工具——二叉树，将其应用在债券的定价中，我们称为利率二叉树。利率二叉树用来描述基于某种利率波动模型上的各期的远期利率。

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? 二叉树假定利率只有两个变动的方向：

用向上的箭头表示利率增加，用向下的箭头表示利率减少．而且增大和减少的概率在每次变动的时候都是一样的。

? 下标u表示和上一个节点相比，利率是上升的；下标d表示和上一个节点相比，利

率是下降的。

? 图中每一个节点都表示利率变动的一种结果，利率都是指从前一个节点到当前节点

之间的远期利率

? 利率确定下来就可以构建出完整的二叉树。

下面以例6—5中的债券为例来说明二叉树的具体构建过程。 假设波动率为10％以息票率为4．1％的债券来构造二叉树，初始利率为1年期利率3．6％。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hmrd.html