2013高考猜题卷（数学 理）

2013高考押题卷数学(理)试卷

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选

项中，选出符合题目要求的一项.

21．若集合M，N，则MIN等于 ?{y|yxx?, ?R}?{y|y?x??2, xR } （A）?0,??? （B）（C）（D）{(2, 4)，? (???,?) (?1, 1)} 2．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从

两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是 （A）8，8 （B）10，6

（C）9，7 （D）12，4 3．极坐标方程??4cos?化为直角坐标方程是

2222（A）( （B）xx?2)?y?4?y?4

2222（C）x （D）( ?(y?2)?4x?1)??(y1)?44．已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项的和．若a1?3，

aa144，则S10的值是 24?（A）511 （B） 1023 （C）1533 （D）3069

25．函数y?cos(x?)的单调增区间是

2ππ（A）(kπ, ?kπ) k?Z （B）(?kπ, kπ?π) k?Z

22（C）(2kπ, π?2kπ)k?Z （D）(k?Z 2kπ?π, 2kπ?2π)6．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于

?正视图

1 侧视图 63 （B） 123623 （C） （D）

437．如图，双曲线的中心在坐标原点O，A, C分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D.若双曲线的

BDF的余弦值是 离心率为2，则?757 （A） （B） 77757（C） （D） 1414（A）8．定义区间(a, b)，[a, b)，(a, b]，[a, b]的长度均为

俯视图

y A

F D B O x C

的长度d?b?a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)?[3, 5)

. 用[x]表示不超过x的最大整数，记{}，其中d?(2?1)(?5?3)3?x?x?[x]，gx，若用d1,d2,d3分别表示不等式x?R. 设f()x?[]x?{x}()?x?1f(x)?gx()，方程f(x)?gx()，不等式f(x)?gx()解集区间的长度，则当

时，有 0≤x≤2011（A）d （B）d ?1, d?2, d?2008?1, d?1, d?2009123123 （C）d （D）d ?3, d?5, d?2003?2, d?3, d?2006123123第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.

z9．复数z1?3?i，z2?1?i，则1等于 . 开始 z210．在二项式(x?2)6的展开式中，第四项的系数 是 . 11．如下图，在三角形ABC中，D，E分别为BC， ????????. 若 AC的中点，F为AB上的点，且AB?4AF????????????，则实数x? ， ADx?AFy?AE实数y? . C

D E ·

· A B F

5.212．执行右图所示的程序框图，若输入x??， 则输出y的值为 ． 13．如下图，在圆内接四边形ABCD中, 对角线AC, BD 输入x y?0, i?0y?|x?2|i?i?1 x?y 否 i≥5? 是 CC?D?23相交于点E．已知B，A， E?2EC?，则? ，AC的长是 ． 输出y ?CBD?30CAB? 结束

i,i,i,?,i)14．对于各数互不相等的整数数组( (n是不小于3的正整数)，对123n,q?{1,2,3,?,}n于任意的p，当p?q时有ip?iq，则称ip，iq是该数组的

一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，

i,i,i,?,i)中则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 ；若数组(123ni,i,?,i)中的逆序数为 . 的逆序数为n，则数组(nn?11

2013高考百天仿真冲刺卷数学(理)试卷（三）

一、选择题: 题号 答案 二、填空题:

（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 9. 10.

11. ； 12.

13. ； 14. ；

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）

3在锐角?角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos2C??. ABC中，

4（Ⅰ）求sinC；

（Ⅱ）当c?2a，且b?37时，求a.

16．（本小题满分13分）

?ABCDBCD为直角梯形，且AD//BC，如图，在四棱锥P中，底面A1?ABC??PAD?90?BCD. 若P，侧面P底面A. A?AB?BC?ADAD?2（Ⅰ）求证：CD?平面PAC；

（Ⅱ）侧棱PA上是否存在点E，使得BE//平面PCD？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由； P （Ⅲ）求二面角AP?DC?的余弦值.

A D B C 17．（本小题满分13分）

在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是

2． 3（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；

（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？

18．（本小题满分13分）

2x（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y?x?2垂直，求函数y?f(x)的单调区间； （Ⅱ）若对于?成立，试求a的取值范围； x?2(a?1)x?(0,??)都有f()?1（Ⅲ）记g.当a?1时，函数g(x)在区间[e, e]上有两个(xf)?(x)?x?b (b?R)零点，求实数b的取值范围.

x??alnx?2 (a?0)已知函数f().

19．（本小题满分14分）

已知A(?2, 0)，B(2, 0)为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于

A，B的动点，且?APB面积的最大值为23． （Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；

（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

20．（本小题满分14分）

有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为

成等差数列． amk(,a,a,?,am,k?1,2,?3,n,,n≥ ，公差为3dm，并且a1n2n3nnn（Ⅰ）证明d （3，p1,p2是m的多项式），并求p1?p2的值； ?pd?pd≤m≤nm1122（Ⅱ）当d时，将数列{dm}分组如下： 1, d31?2?(每组数的个数构成等差数列)． (d), (d,d,)d, (d,,,ddd,)d,?123456789设前m组中所有数之和为(c)(c0)，求数列{2mdm}的前n项和Sn． mm?（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n?N时，对于（Ⅱ）中的Sn，求使得不等式

4c1(Sn?6)?dn成立的所有N的值． 50

2013高考押题卷

数学(理)试卷参考答案

一、选择题: 题号 （1） （2） 答案 A C 二、填空题: 题号 （9） （10） 答案 （3） A （4） D （5） A （6） B （7） C （8） B （11） 2 1 （12） 0.8 （13） （14） 4 1+2i 160 30 ?6 n2?3n 2 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知可得1?2sinC??因为在?ABC中，sinC?0，

2372.所以sinC?. 4814. ??????????????6分 4114（Ⅱ）因为c?2a，所以sinA?sinC?.

28252因为?ABC是锐角三角形，所以cosC?，cosA?.

48所以sinB?sin(A?C)?sinAcosC?cosAsinC

所以sinC?142521437???. ?8484837a由正弦定理可得：，所以a?14. ??????????13分 ?sinBsinA? 16．（本小题满分13分） 解法一：

（Ⅰ）因为 ?PAD?90?，所以PA?AD.

又因为侧面PAD?底面ABCD，且侧面PAD?底面ABCD?AD， 所以PA?底面ABCD. 而CD?底面ABCD， 所以PA?CD. 在底面ABCD中，因为?ABC??BAD?90?，

AB?BC?1AD， 2P 2AD， 所以AC?CD. 2?A?C， 所以CD?平面 又因为PAPAC. ???????????4分

（Ⅱ）在PA上存在中点E，使得BE//平面PCD，

所以 AC?CD?B E A F D C

证明如下：设PD的中点是F， 连结BE，EF，FC，

1AD. 2由已知?ABC??BAD?90?，

1所以BC//AD. 又BC?AD，

2所以BC//EF，且BC?EF，

所以四边形BEFC为平行四边形，所以BE//CF. 因为BE?平面PCD，CF?平面PCD，

所以BE//平面PCD. ?????8分

则EF//AD，且EF?

（Ⅲ）设G为AD中点，连结CG，

则 CG?AD.

又因为平面ABCD?平面PAD， 所以 CG?平面PAD. 过G作GH?PD于H，

连结CH，由三垂线定理可知CH?PD. 所以?GHC是二面角A?PD?C的平面角.

设AD?2，则PA?AB?CG?DG?1, DP?5. 在?PAD中，

P H A G D B C GHDG1?，所以GH?. PADP5CG6?5，cos?GHC?. GH66即二面角A?PD?C的余弦值为. ????????????13分

6所以 tan?GHC?

解法二：

因为 ?PAD?90?， 所以PA?AD.

又因为侧面PAD?底面ABCD， 且侧面PAD?底面ABCD?AD，

所以 PA?底面ABCD. 又因为?BAD?90?，

所以AB，AD，AP两两垂直. 分别以AB，AD，AP为x轴， y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图.

z P A B x D C y ????????????（Ⅰ）AP?(0,0,1)，AC?(1,1,0)，CD?(?1,1,0),

????????????????所以 AP?CD?0，AC?CD?0，所以AP?CD，AC?CD.

又因为AP?AC?A， 所以CD?平面PAC. ????????????4分

????11（Ⅱ）设侧棱PA的中点是E， 则E(0, 0, )，BE?(?1, 0, ).

22??????n?CD?0, 设平面PCD的一个法向量是n?(x,y,z)，则???? ???n?PD?0.设AD?2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1).

????????因为CD?(?1, 1, 0)，PD?(0, 2,?1)，

??x?y?0,所以? 取x?1，则n?(1, 1, 2).

?2y?z?0.????????1所以n?BE?(1, 1, 2)?(?1, 0, )?0， 所以n?BE.

2因为BE?平面PCD，所以BE?平面PCD. ????????????8分

????（Ⅲ）由已知，AB?平面PAD，所以AB?(1, 0, 0)为平面PAD的一个法向量.

由（Ⅱ）知，n?(1, 1, 2)为平面PCD的一个法向量. 设二面角A?PD?C的大小为?，由图可知，?为锐角，

????n?AB(1, 1, 2)?(1, 0, 0)6所以cos??. ??????66?1nAB即二面角A?PD?C的余弦值为

6. ????????????13分 6 17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.

依条件可知X～B(6，

2). 3k?2?P(X?k)?C????3?k6?1?????3?6?k(k?0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)

X的分布列为： X 0 P 1 2 3 4 5 6 64 72929161?4. (0?1?1?12?2?60?3?160?4?240?5?192?6?64)=所以EX?72972922或因为X～B(6，)，所以EX?6??4. 即X的数学期望为4． ?????5分

33 （Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，

1 72912 72960 729160 729240 729192 729

123332. 答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为812241 则P(A)?C4?()?()?C4??()?()?1323523632. 81 ????????????10分

（Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B，

24A4A42 则P(B)??. 6A65即教师乙在这场比赛中获奖的概率为显然

2. 523232??，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的58081

???????13分

概率不相等． 18．（本小题满分13分）

解: (I) 直线y?x?2的斜率为1.

函数f(x)的定义域为(0,??)，

2a2a??f(1)?????1，所以a?1. 所以，22xx112x?2所以f(x)??lnx?2. f?(x)?.

xx2由f?(x)?0解得x?2；由f?(x)?0解得0?x?2.

所以f(x)的单调增区间是(2,??),单调减区间是(0,2). ????????4分

2aax?2(II) f?(x)??2??，

xxx222由f?(x)?0解得x?；由f?(x)?0解得0?x?.

aa22所以f(x)在区间(, ??)上单调递增，在区间(0, )上单调递减.

aa22所以当x?时，函数f(x)取得最小值，ymin?f().

aa因为对于?x?(0,??)都有f(x)?2(a?1)成立，

2所以f()?2(a?1)即可.

a2222则?aln?2?2(a?1). 由aln?a解得0?a?. 2aeaa2所以a的取值范围是(0, ). ????????????8分

e2x2?x?2(III)依题得g(x)??lnx?x?2?b，则g?(x)?.

xx2由g?(x)?0解得x?1；由g?(x)?0解得0?x?1.

所以函数g(x)在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, ??)为增函数.

因为f?(x)???g(e?1)≥0,?又因为函数g(x)在区间[e?1, e]上有两个零点，所以?g(e)≥0, ?g(1)?0. ?解得1?b≤2?e?1. e

所以b的取值范围是(1, 19．（本小题满分14分）

2?e?1]. ???????????????13分 ex2y2解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，F(c,0)．

ab1??2a?b?23,?2y由题意知?解得b?3，c?1． a?2, P?2?a?b2?c2. 1x2y2??1，离心率为．??6分 故椭圆C的方程为

243AOFDEBx

（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．

证明如下：由题意可设直线AP的方程为y?k(x?2)(k?0).

则点D坐标为(2, 4k)，BD中点E的坐标为(2, 2k)．

?y?k(x?2),?由?x2y2得(3?4k2)x2?16k2x?16k2?12?0．

?1??3?416k2?12设点P的坐标为(x0,y0)，则?2x0?． 23?4k12k6?8k2y?k(x?2)?所以x0?，． ???????????10分 003?4k23?4k2因为点F坐标为(1, 0)，

13当k??时，点P的坐标为(1, ?)，点D的坐标为(2, ?2).

22直线PF?x轴，此时以BD为直径的圆(x?2)2?(y?1)2?1与直线PF相切．

1y04k当k??时，则直线PF的斜率kPF?. ?2x0?11?4k24k(x?1)． 所以直线PF的方程为y?21?4k2k?8k38k4k?2k?21?4k21?4k1?4k2点E到直线PF的距离d???2|k|． 221?4k16k?1|1?4k2|(1?4k2)2又因为|BD|?4|k| ，所以d?1|BD|． 2故以BD为直径的圆与直线PF相切．

综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．???14分 20．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意知amn?1?(n?1)dm．

a2n?a1n?[1?(n?1)d2]?[1?(n?1)d1]?(n?1)(d2?d1)，

同理，a3n?a2n?(n?1)(d3?d2)，a4n?a3n?(n?1)(d4?d3)，?， ann?a(n?1)n?(n?1)(dn?dn?1)．

又因为a1n,a2n,a3n,?,ann成等差数列，所以a2n?a1n?a3n?a2n???ann?a(n?1)n. 故d2?d1?d3?d2???dn?dn?1，即{dn}是公差为d2?d1的等差数列． 所以，dm?d1?(m?1)(d2?d1)?(2?m)d1?(m?1)d2．

令p1?2?m,p2?m?1，则dm?p1d1?p2d2，此时p1?p2?1． ????4分 （Ⅱ）当d1?1, d2?3时，dm?2m?1 (m?N*)．

数列{dm}分组如下：(d1), (d2,d3,d4), (d5,d6,d7,d8,d9),?． 按分组规律，第m组中有2m?1个奇数，

所以第1组到第m组共有1?3?5???(2m?1)?m个奇数． 注意到前k个奇数的和为1?3?5???(2k?1)?k， 所以前m个奇数的和为(m)?m.

222224

即前m组中所有数之和为m，所以(cm)4?m4．

因为cm?0，所以cm?m，从而 2mdm?(2m?1)?2m(m?N*)． 所以 Sn?1?2?3?22?5?23?7?24???(2n?3)?2n?1?(2n?1)?2n.

c42Sn?1?22?3?23?5?24???(2n?3)?2n?(2n?1)?2n?1.

故?Sn?2?2?22?2?23?2?24???2?2n?(2n?1)?2n?1

?2(2?22?23???2n)?2?(2n?1)?2n?1

2(2n?1)?2??2?(2n?1)?2n?1?(3?2n)2n?1?6.

2?1所以 Sn?(2n?3)2n?1?6． ?????????????9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）得dn?2n?1 (n?N*)，Sn?(2n?3)2n?1?6 (n?N*).

1(Sn?6)?bn 就是(2n?3)2n?1?50(2n?1)． 50考虑函数f(n)?(2n?3)2n?1?50(2n?1)?(2n?3)(2n?1?50)?100．

故不等式

当n?1,2,3,4,5时，都有f(n)?0，即(2n?3)2n?1?50(2n?1)． 而f(6)?9(128?50)?100?602?0，

注意到当n≥6时，f(n)单调递增，故有f(n)?0. 因此当n≥6时，(2n?3)2n?1?50(2n?1)成立，即

1(Sn?6)?dn成立． 50 所以,满足条件的所有正整数N?5,6,7,?,20． ??????????14分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hmkr.html