电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方

第一章习题解答

K 1给定三个矢量、与如下:

求:⑴：(2);(3);(4);(5)在上得分量;(6);

(7)与;(8)与。

解(1)

(2)

(3) -11

(4) 由，得

(5) 在上得分量

(6)

(7)由于

所以

K 2 三角形得三个顶点为、与。

(1) 判断就是否为一直角三角形；

(2) 求三角形得面积。

解(1)三个顶点、与得位苣矢量分别为 由此可见 故为一宜角三角形。

(2)三角形得面积

K 3 求点到点得距离矢量及得方向?

轴得夹角分别为

解 在上得分量为

K 5给定两矢量与，求在上得分量。 解 所以在上得分量为

k 6证明：如果与，则； 解由，则有，即 4 给泄两矢量与，求它们之间得夹角与在上得分量。 与之间得夹角为

由于，于就是得到

故

K 7如果给;一未知矢量与一已知矢量得标量积与矢量枳，那么便可以确定该未知矢量。 设为一已知矢量，而，与已知,试求。

解由，有 故得

U 8在圆柱坐标中,一点得位置由；4^出,求该点在：(1)宜角坐标中得坐标；(2)球坐标中得坐 标。 解(1)在直角坐标系中、、

故该点得宜角坐标为.

(2)在球坐标系中

、、

故该点得球坐标为 K 9用球坐标表示得场，

(1) 求在直角坐标中点处得与；

(2) 求在直角坐标中点处与矢量构成得夹角.

解(1)在直角坐标中点处，，故

⑵在宜角坐标中点处，，所以

故与构成得夹角为

球坐标中两个点与定出两个位置矢量与。证明与间夹角得余弦为

得到

sin q cos 珂 sin £ cos0 +sin q sin 琳 sin $ sin© + cosq cosQ =

在由、与围成得圆柱形区域，对矢量验证散度运理。 在圆柱坐标系中

故有

1U3求(1)矢量得散度;(2)求对中心在原点得一个单位立方体得积分;(3)求对此立方体表而 得枳分，验证散度泄理。

解(1 w ?A =竺2 + 空

22 + 3(24心七3)= 2K + 2x ，V + 72x-y-z-

dx dy dz

(2)对中心在原点得一个单位立方体得积分为 10 11 一球而得半径为，球心在原点上,计算：得值.

12 解

所以 又

(3)对此立方体表而得积分

故有

K 14 il ?算矢量对一个球心在原点、半径为得球表而得积分，并求对球体积得枳分。 解

又在球坐标系中“所以 求矢量沿平面上得一个边长为得正方形回路得线积分,此正方形得两边分别与轴与 再求对此回路所包围得曲而积分,验证斯托克斯定理。

求矢量沿圆周得线积分,再计算对此圆面枳得积分。

O

A

V{A-R)=e^—(A^x + A^y + A.z) + e^—{A^x + A^y + A.z) + ox '■ cy^ 、 U 18

?径向矢量场表示，如果，那么函数会有什么特点呢? 解在圆柱坐标系中，由

叮得到 为任意常数。

在球坐标系中，由

可得到

U 19给泄矢量函数，试求从点到点得线积分：(1)沿抛物线;(2)沿连接该两点得直线。这个 就是保守场

吗？

解(1)

⑵连接点到点宜线方程为

故

由此可见积分与路径无关，故就是保守场。

K20求标量函数得梯度及在一个指定方向得方向导数, 此方向由单位矢

量定出;求点得方向导数值。

解U 15

轴柑重合。

解

又

所以 故有 K 17 解(1) ⑵ ⑶设，则

撤

证明:⑴:(2);(3)。其中,为一常矢量。

故沿方向得方向导数为

点处沿得方向导数值为

k 21试采用与推导直角坐标中相似得方法推导圆柱坐标下得公式

解在圆柱坐标中，取小体积元如题1、21图所示.矢量场沿方向穿出该六面体得表面得通量为同理

因此，矢量场穿出该六面体得表面得通量为故得到圆柱坐标下得散度表达式

U 22方程给出一椭球族。求椭球表而上任意点得单位法向矢量。解由于

故椭球表而上任意点得单位法向矢量为

1、23现有三个矢量、、为

(1)哪些矢量可以由一个标量函数得梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数得旋度表示？

(2)求出这些矢量得源分布0

解(1)在球坐标系中

-^―(r" sin&cos0) + —? ---- (sin 0 cos cos 0) + —! --- (-sin 0)=

厂dr r sin & 60 r sin & 6。

故矢量既可以由一个标量函数得梯度表示，也可以由一个矢量函数得旋度表示; 在圆柱坐标系中

VxJS = —

坐标系中

=0

故矢量可以由一个矢量函数得旋度表示。

(2)这些矢量得源分布为

K 24利用直角坐标，证明

解在宜角坐标中

dA 0人dA df df df

衬+式)+(煜+人于比亠

K 25证明

解根据算子得微分运算性质，有

式中表示只对矢量作微分运算,表示只对矢量作微分运算。曲可得

同理故有

26利用直角坐标，证明

在直角坐标中

八心曲券一讐)+7等一券g(讐一斜

dz

所以

27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍得意义下证明及，试证明之。

(1)对于任意闭合曲线为边界得任意曲而，由斯托克斯定理有

由于曲而就是任意得?故有

(2)对于任意闭合曲而为边界得体积,由散度定理有

Jv.(VxA)dr = «^(VxA).dS=J(VxA).dS + J(VxA)<lS

其中与如题1. 27图所示0由斯托克斯定理，有

由题1、27图可知与就是方向相反得同一回路，则有所以得到

由于体积就是任意得，故有

二章习题解答

2、1 一个平行板真空二极管内得电荷体密度为，式中阴极板位于，阳

极板位于，极间电压为。如果、、横截而，求:(1)?与区域内得总电荷

量;(2)?与区域内得总电荷量。

解(1)

(2)

2. 2 一个体密度为得质子束，通过得电压加速后形成等速得质子束，

质子朿内得电荷均匀分布，束直径为，束外没有电荷分布，试求电流密度与电流。

解质子得质量、电量。由

2、3 —个半径为得球体内均匀分布总电荷量为得电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋转，

求球内得电流密度。

解以球心为坐标原点，转轴(一宜径)为轴。设球内任一点得位鱼矢量为，且与轴得夹角为，则点得线速度为球内得电荷体密度为故

2、4 一个半径为得导体球带总电荷量为，同样以匀角速度绕一个直径旋转，求球表而得面

电流密度。

解以球心为坐标原点，转轴(一宜径)为轴。设球面上任一点得位置矢呈为，且与轴得夹角为, 则点得线速度为球而得上电荷而密度为故

2、5两点电荷位于轴上处，位于轴上处，求处得电场强度。解电荷在处产生得电场为

电荷在处产生得电场为故处得电场为

2、6 一个半圆环上均匀分布线电荷，求垂直于圆平面得轴线上处得电场强度，设半圆环得

半

径也为，如题2、6图所示0

解半圆环上得电荷元在轴线上处得电场强度为

在半圆环上对上式积分,得到轴线上处得电场强度为

2、7三根长度均为，均匀带电荷密度分別为、与地线电荷构成等边三角形。

设，讣算三角形中心处得电场强度。

解建立题2、7图所示得坐标系。三角形中心到齐边得距离为

故等边三角形中心处得电场强度为

2、8 —点电荷位于处，另一点电荷位于处，空间有没有电场强度得

点？

解电荷在处产生得电场为

电荷在处产生得电场为

处得电场则为。令，则有

由上式两端对应分量相等,可得到

当或时，将式②或式③代入式①，得。所以,当或时无解; 当且

时，由式①，有

但不合题意,故仅在处电场强度。

2.9 一个很薄得无限大导电带电而，电荷而密度为。证明:垂直于平而得轴上处得

电场强度中，有一半就是有平而上半径为得圆内得电荷产生得。

解半径为、电荷线密度为得带电细圆环在轴上处得电场强度为

故整个导电带电而在轴上处得电场强度为

题2、10

而半径为得圆内得电荷产生在轴上处得电场强度为

"2厶0 ' 4%

2

2、10 —个半径为得导体球带电荷量为，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，如题2、10 图所示。求球心处得磁感应强度。

解球而上得电荷面密度为当球体以均匀角速度绕一个宜径旅转时■球而上位置矢量点处得电流面密度为

将球而划分为无数个宽度为得细圆环，则球而上任一个宽度为细圆环得电流为

细圆环得半径为，圆环平面到球心得距离,利用电流圆环得轴线上得磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生得磁场为故整个球而电流在球心处产生得磁场为

2、11两个半径为、同轴得相冋线圈,^$有匝,相互隔开距离为,如题2、H图所示。电流以相同得方向流过这两个线圈。

(1)求这两个线圈中心点处得磁感应强度；

(2)证明:在中点处等于零；

(3)求出与之间得关系,使中点处也等于零。

解(1)由细圆环电流在其轴线上得磯感应强度

得到两个线圈中心点处得磁感应强度为

(2)两线圈得电流在其轴线上处得磁感应强度为

所以

故在中点处?有

G)

令，有

即故解

得

2. 12 一条扁平得直导体带，宽为，中心线与轴重

合，通过得电流为。证明在第一象限内得碱感应强度为

中、与如题2. 12图所示。

解将导体带划分为无数个宽度为得细条带，每一细条带得电流。由

安培环路定理,可得位于处得细条带得电流在点处得磁场为

所以

2、13如题2、13图所示，有一个电矩为得电偶极子，位于坐标原点上,另一个电矩为得电偶极子，位于矢径为得某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为

式中"就是两个平而与间得夹角。并问两个偶极子在怎样得相对取向下这个力值最大? 解电偶极子在矢径为得点上产生得电场为

所以与之间得柑互作用能为

因为"则

又因为就是两个平而与间得夹角,所以有

列一方而,利用矢量恒等式可得

因此

于就是得到 ()

故两偶极子之间得相互作用力为

()

由上式可见，当时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大0

2、14两平行无限长直线电流与,相距为，求每根导线单位长度受到得安培力。解无限长直线电流产生得磁场为直线电流毎单位长度受到得安培力为式中就是由电流指向电流得单位矢量。

同理可得，直线电流每单位长度受到得安培力为

2、15 一根通电流得无限长直导线与一个通电流得圆环在同一平而上，鬪心与导线得距离为，如题2、15图所示。证明:两电流间柑互作用得安培力为这里就是圆环在直线最接近圆环得点所张得角。

题2、15

解无限长直线电流产生得磁场为圆环上得电流元受到得安培力为

由题2、15图可知

所以

2

、

16证明在不均匀得电场中，某一电偶极子绕坐标原点所受到得力矩为。如题2、16

图所示，设，则电偶极子绕坐标原点所受到得力矩为

d/ d/ (I dZ dZ

</fx[£(r + y)-£(r-y)] + ^dZx[£(r + y) + £(r-y)]

当时，有

故得到

三章习题解答

真空中半径为得一个球而，球得两极点处分别设置点电荷

与，试il算球赤道平而上电通密度得通量（如题3. 1图所示）。

3、1

解由点电荷与共同产生得电通密度为

则球赤道平面上电通密度得通量

3、2 1911年卢瑟福在实验中使用得就是半径为得球体原子模型,尖球体

内均匀分布有总电荷量为得电子云，在球心有一正电荷（就是原子序数,就是质

子电荷量人通过实验得到球体内得电通量密度表达式为，试证明之。

解位于球心得正电荷球体内产生得电通量密度为

原子内电子云得电荷体密度为

厂一、电子云在原子内产生得电通量密度则为

/\ k*、、故原子内总得电通量密度为

題3、3图

3、3电荷均匀分布于两圆柱而间得区域中，体密度为.两圆柱而半径分别为与,轴线相距为, 如题3、3图所示。求空间各部分得电场。

解由于两圆柱而间得电荷不就是轴对称分布，不能a 接用高斯定律求解。但可把半径为得 小圆柱而内瞧作同时具有体密度分别为得两种电荷分布，这样在半径为得整个圆柱体内具有体密 度为得均匀电荷分布，而在半径为得整个圆柱体内则具有体密度为得均匀电荷分布，如题3、3图所 示。空间任一点得电场就是这两种电荷所产生得电场得叠加。

在区域中，由高斯世律，可求得大、小圆柱中得正、 点处总得电场为

题3、3图

在且区威中，同理可求得大、小圆柱中得正、负电荷在点产生得电场分别为 点处总得电场为

小 k 得空腔区域中，大、小圆柱中得正、负电荷在点产生得电场分别为

点处总得电场为

"3. 4半径为得球中充满密度得体电荷，已知电位移分布为 英中为常数，试求电荷密度。

解:由，有

故在区威

在区域

3、5 —个半径为薄导体球壳内表而涂覆了一薄层绝缘膜,球内充满总电荷量为为得体电荷, 球壳上又另充有电荷量。己知球内部得电场为，设球内介质为真空。i|?算：(1)球内得电荷分布;(2) 球壳外表而得电荷而密度0

解(1)由高斯定律得微分形式可求得球内得电荷体密度为

(2) 球体内得总电量为

球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷,而且在球壳外表而上还要感应电荷，所以球壳外表面 上得总电荷为2故球壳外表而上得电荷而密度为

3、6两个无限长得同轴鬪柱半径分别为与，圆柱表面分别带有密度为与得而电荷。(1)计算 各处得电位移;(2)欲使区域内，则与应具有什么关系？

解(1)由高斯宦理，当时,有

当时，有

，则 当时，有 侧

⑵令，则得到

3. 7计算在电场强度得电场中把带电量为得点电荷从点移到点时电场所做得功:(1)沿曲 线;(2)沿连接该两点得宜线。

负电荷在点产生得电场分别为

# 、

+

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