第十二章动能定理习题解答

习 题

12–1 一刚度系数为k的弹簧，放在倾角为?的斜面上。弹簧的上端固定，下端与质量为m的物块A相连，图12-23所示为其平衡位置。如使重物A从平衡位置向下沿斜面移动了距离s，不计摩擦力，试求作用于重物A上所有力的功的总和。

图12-23

W?mgsin??s?k2(?st?(?st?s)2) 2k?mgssin??k?sts?s2

2k??s2

2

12–2 如图12-24所示，在半径为r的卷筒上，作用一力偶矩M=a?+b?2，其中?为转角，a和b为常数。卷筒上的绳索拉动水平面上的重物B。设重物B的质量为m，它与水平面之间的滑动摩擦因数为?。不计绳索质量。当卷筒转过两圈时，试求作用于系统上所有力的功的总和。

图12-24

4π0WM??Md???(a? +b?2)d??8aπ2?643bπ 3WF???mg?4πr??4?πmgr

644?W?8aπ2?bπ3?4?πmgr?π(6πa?16π2b?3?mgr)

33

12–3 均质杆OA长l，质量为m，绕着球形铰链O的铅垂轴以匀角速度?转动，如图

12-25所示。如杆与铅垂轴的夹角为?，试求杆的动能。

图12-25

11mmdEk?(dm)v2?(dx)(?xsin?)2?(?sin2?)x2dx

22l2llm1Ek??(?2sin2?)x2dx?ml2?2sin2?

02l6

12–4 质量为m1的滑块A沿水平面以速度v移动，质量为m2的物块B沿滑块A以相对速度u滑下，如图12-26所示。试求系统的动能。

图12-26

Ek?11m1v2?m2[(ucos30??v)2?(usin30?)2] 22- 1 -

?11m1v2?m2(u2?v2?2uvcos30?) 2211?m1v2?m2(u2?v2?3uv) 22

12–5 如图12-27所示，滑块A质量为m1，在滑道内滑动，其上铰接一均质直杆AB，杆AB长为l，质量为m2。当AB杆与铅垂线的夹角为?时，滑块A的速度为vA，杆AB的角速度为?。试求在该瞬时系统的动能。

图12-27

Ek?EkA?EkAB

11ll112?m1vA?m2[(vA??cos?)2?(?sin?)2]?(m2l2)?2 2222212111122 ?m1vA?m2(vA?l2?2?lvA?cos??l2?2)

2241211122 ?m1vA?m2(vA?l2?2?lvA?cos?)

223

12–6 椭圆规尺在水平面内由曲柄带动，设曲柄和椭圆规尺都是均质细杆，其质量分别为m1和2m1，且OC=AC=BC=l，如图12-28所示。滑块A和B的质量都等于m2。如作用在曲柄上的力偶矩为M，不计摩擦，试求曲柄的角加速度。

vC?l? ?ABEk?EkOC?EkAB?EkA?EkB

111111222 ?(m1l2)?2?(2m1)vC?[(2m1)(2l)2]?2?m2(vA?vB)

2322122111 ?m1l2?2?m1l2?2?m1l2?2?m2?4l2?2

6323m?4m222 ?1l?

2?W?M?

动能定理

3m1?4m222l??M? 2M ??(3m1?4m2)l2

图12-28

?? vA?2lco?s??AB?2l?co?s vB?2l?sin?

12–7 曲柄导杆机构在水平面内，曲柄OA上作用有一力偶矩为M的常力偶，如图12-29所示。若初始瞬时系统处于静止，且∠AOB=π2，试问当曲柄转过一圈后，获得多大的角速度？设曲柄质量为m1，长为r且为均质细杆；导杆质量为m2；导杆与滑道间的摩擦力可

- 2 -

认为等于常值F，不计滑块A的质量。

图12-29

Ek1?0

111Ek2?m1r2?2?m2(r?)2?(m1?3m2)r2?2

626?W?2πM?4Fr 动能定理

1(m1?3m2)r2?2?2(πM?2Fr) 612(πM?2Fr)23(πM?2Fr) ???(m1?3m2)r2rm1?3m2

12–8 半径为R质量为m1的均质圆盘A放在水平面上，如图12-30所示。绳子的一端

系在圆盘中心A，另一端绕过均质滑轮C后挂有重物B。已知滑轮C的半径为r，质量为m2；重物B质量为m3。绳子不可伸长，不计质量。圆盘作纯滚动，不计滚动摩擦。系统从静止开始运动，试求重物B下落的距离为h时，圆盘中心的速度和加速度。

图12-30

Ek1?0

311v1Ek2?m1v2?(m2r2)()2?m3v2

422r21 ?(3m1?m2?2m3)v2

4?W?m3gh

动能定理

1(3m1?m2?2m3)v2?m3gh 4v?4m3gh

3m1?m2?2m3a?

2m3g

3m1?m2?2m3

12–9 图12-31所示链条传运机，链条与水平线的夹角为?，在链轮B上作用一力偶矩为M的力偶，传运机从静止开始运动。已知被提升重物A的质量为m1，链轮B、C的半径均为r，质量均为m2，且可看成均质圆柱。试求传运机链条的速度，以其位移s表示。不计链条的质量。

图12-31

Ek1?0

- 3 -

111vm1v2?(m2r2)()2?2 222r1 ?(m1?m2)v2

2Ek2?s?W?M??m1gr?sin??(M?m1grsin?)

r动能定理

1s (m1?m2)v2?(M?m1grsin?)

2rv?2(M?m1grsin?)s

r(m1?m2)a?

M?m1grsin? r(m1?m2)12–10 如图12-32所示，质量为m1的直杆AB可以自由地在固定铅垂套管中移动，杆的下端搁在质量为m2、倾角为?的光滑的楔块C上，楔块又放在光滑的水平面上。由于杆的压力，楔块向水平向右方向运动，因而杆下降，试求两物体的加速度。

图12-32

vAB?vCtan? Ek1?0

1122 Ek2?m1vAB?m2vC2211222 ?m1vC tan??m2vC22122 ?(m1tan ??m2)vC2?W?m1gstan?

动能定理

122 (m1tan??m2)vC?m1gstan?

2m1gtan? aC?2m1tan??m2aABm1gtan2?

?aCtan??m1tan2??m2

12–11 如图12-33所示，均质细杆长为l，质量为m1，上端B靠在光滑的墙下，下端A用铰链与圆柱的中心相连。圆柱质量为m2，半径为R，放在粗糙的地面上，自图示位置由静止开始滚动而不滑动。如杆与水平线的夹角?=45°，不计滚动摩擦，试求A点在初瞬时的加速度。

图12-33

- 4 -

分析任意位置

Ek1?0

vlvA ?AB?A vC??AB?lsin?22sin?31v11v2Ek2?m2vA?m1(A)2?(m1l2)(A)2

422sin?212lsin?23m1vA2 ?m2vA?46sin2?122 ?(2m1?9m2)vA12sin?mgl?W?1(sin45??sin?)

2动能定理

12mgl2(2m1?9m2)vA?1(sin45??sin?) 12sin?2???? 对时间求导，注意 ?AB1212cos??m1gl?2(2m1?9m2)2vAaA?m1vA(??)???cos? 312sin?6sin?2121vAm1glvA22cos?(2m1?9m2)vAaA?m1vA(?)??cos? 36sin?6sin?lsin?2lsin?121cos?mg2(2m1?9m2)aA?m1vA()?1cot? 46sin?3lsin?2初瞬时(??45?)， vA=0 故

1mg(4m1?9m2)aA?1 623m1g aA?4m1?9m2

12–12 如图12-34所示，绳索的一端E固定，绕过动滑轮D与定滑轮C后，另一端与重物B连接。已知重物A和B的质量均为m1；滑轮C和D的质量均为m2，且均为均质圆盘，重物B与水平面间的动摩擦因数为?。如重物A开始时向下的速度为v0，试求重物A下落多大距离时，其速度将增加一倍？

图12-34

2v1311122Ek1?m1v0?m2v0?(m2r2)(0)2?m1(2v0)2

2422r210m1?7m22 ?v0

4Ek2?4Ek1

?W?m1gh?m2gh??m1g?2h?[m1(1?2?)?m2]gh 动能定理

3Ek1?[m1(1?2?)?m2]gh

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