2015届中考数学第一轮复习教案(正方形问题)

正方形是一种特殊的四边形，它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身，优美漂亮，是中考的热点,与它有关的中考题经常出现. 正方形是初中数学的重要知识内容，纵观近几年全国各地中考试题，可以发现诸多以正方形为载体，结合其它数学知识的优秀试题，格调清新、构思巧妙，较好的考察了学生的基础知识、学习能力和思维水平.

方法迁移类：

1.数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD的

边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N.当CP＝6时，EM与EN的比值是多少？

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于DFDE

BC交DC，AB分别于F，G，如图2FCEP未指定书签。，因为DE＝EP，所以DF＝FC.可求出EF和EG的

值，进而可求得EM与EN的比值. (1) 请按照小明的思路写出求解过程.

(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP＝MN的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.

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2.)探究问题： ⑴方法感悟：

如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF． 感悟解题方法，并完成下列填空：

将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：

AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°， ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G，B，F在同一条直线上． ∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD－∠EAF=90°－45°=45°．

∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠_________． 又AG=AE，AF=AF ∴△GAF≌_______．

∴_________=EF，故DE+BF=EF． ⑵方法迁移：

如图②，将Rt ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，

1

且∠EAF=2DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．

图②

⑶问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的

1

点，满足∠EAF=2DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

3. (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF交于点O，∠AOF＝90°. 求证：BE＝CF.

图1

图③

(2) 如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH＝90°， EF＝4.求GH的长.

图2

4.（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若

∠AMN=90°，求证：AM=MN．

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．

证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．

∴∠NMC=180°—∠AMN—∠

AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE． （下面请你完成余下的证明过程）

2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．

（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD……X”，请你作出猜想：

当∠AMN= °时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答

案，不需要证明）

类似题型

(10 黄冈)如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形 ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于 F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.

6．情境观察

将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A

按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示． 观察图2可知：与BC相等的线段是 ，∠CAC′°．

C'

D

C

D

C'C

C

ABA'A

B

DA(A')B

图1 图

2

问题探究

如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC

为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F 作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，

并证明你的结论.

拓展延伸

如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.

E

A

M

F

N

B

G

图4

C

结论探究类：

1．如图1，奖三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E

与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．

（1）求证：EF＝EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终

在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经EF

过点B，其他条件不变，若AB＝a，BC＝b，求EG的值．

图1 图2 图3

2．)正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P为对角线AC上

一动点，过点P作PF⊥DC于点F，如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF．

（1）如图2，若点P在线段AO上（不与A、O重合0， PE⊥PB且PE交CD点E． ①求证：DF=EF； ②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系式，并证明

你的结论； （2）若点P在线段CA的延长线上， PE⊥PB且PE交直线

CD于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否成立？ 若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）

3．(11 潍坊)已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相

交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.

（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；

（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值.

4．（2010湖南衡阳）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：

（1）∠EAF的大小是否有变化？请说明理由． （2）△ECF的周长是否有变化？请说明理由．

5．如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，若设正方形的边长为x，容易算出x的长为60．

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探究与计算：（1）如图2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为 ； （2）如图3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组

成的矩形内接于

△ABC，则正方形的边长为 ．

猜想与证明：如图4，若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．

6．操作：将一把三角尺放在边长为4的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q探究：设A、P两点间的距离为x．

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．

（2）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ

A

D

图1

A

D

E

图2

E

图4

E

A

D

图3

D

E

旋转动点类：

1. (10 宁德)如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

A D

B C

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为 1时，求正方形的边长.

2.( 11 南通) 已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F'OE'（如图2）.

（2）探究AE′与BF'的数量关系，并给予证明；

（3）当α＝30°时，求证：△AOE′为直角三角形.

3.(11 泰州)在平面直角坐标系xoy中，边长为a（a为大于0的常数）

的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限． （1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标;

(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；

（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理

由．

4.(10 常德)如图10，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.

（1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成

立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG

于H，交AD于M. ① 求证：AG⊥

②当AD=4，DGCH的长.

D D D F

E F M

C 图10 图11 C C 图12

5.操作：如图，已知正方形ABCD与CEFG的边长分别为a、b（a＞b），连结DE、AF．固定正方形ABCD，将正方形CEFG绕顶点C逆．时针旋转角度α（0°＜α＜180°）． ．．

探究：在图形的旋转变换中，我们发现，DE、AF的长度 也随旋转而发生着变化．为探究AF与DE之间的函数关系， 设DE＝x，AF＝y．

（1）若a＝4cm，b＝2cm，则在旋转过程中，函数值y的 取值范围为_______________；

（2）对于旋转角度α为锐角和钝角这两种情形，分别在如下的备用

图中画出相应的图形 ；

B

B

A

A

（3）探究y与x的函数关系式

6. (10年顺义)已知正方形纸片ABCD的边长为2．

操作：如图1，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处

（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．

探究：（1）观察操作结果，找到一个与△EDP相似的三角形，并证明

你的结论；

（备用图1）

（备用图2）

（2）当点P位于CD中点时，你找到的三角形与△EDP周长的

比是多少（图A2

7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，正方形DEFG的边长为2cm，其一边EF在BC所在的直线L上，开始时点F与点C重合，让正方形DEFG沿直线L向右以每秒1cm的速度作匀速运动，最后点E与点B重合.

(1)请直接写出该正方形运动6秒时与直角ABC重叠部分面积的大小； (2)设运动时间为x（秒），运动过程中正方形DEFG与Rt△ABC重叠部分的面积为y.

①在该正方形运动6秒后至运动停止前这段时间内，求y与x之间的函数关系式；

D

P

AD

B

F

Q图1

GB

图2

C

②在该正方形整个运动过程中，求x为何值时，y的值为0.5？

8. 如图，等腰Rt△MNQ与正方形ABCD中，∠MNQ=90°，正方形ABCD的边长为4cm，MQ与AB在同一直线上，MQ=6cm，NQ、BC相交于点K，设Rt△MNQ与正方形ABCD的面积分别为S1、S2. (1)直接写出S1、S2的值；

(2)当Q点在射线AB上平行移动时，△MNQ也随之移动，在上述平行移动过程中，试求△MNQ与正方形ABCD的重叠部分的面积y与AQ长度x(cm)之间的函数关系式；

(3) 当MA=BQ时，将△MNQ沿MN翻折，使Q点落在Q'处，试求翻折后所得的△MNQ'与正方形ABCD的重叠部分的面积.

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