2022届江苏省徐州市高考数学：考前冲刺打靶卷(word版,有答案)(精

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数学Ⅰ

参考公式：12S cl =c l 球的表面积公式：24πS R =，其中R 是球的半径．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．

． 1．已知集合{1,2}A =，{0,2,7}B =，则A B =U ▲ ．

2．已知复数11i z =+，22i z b =+，其中i 是虚数单位，若21

z z 为纯虚数，则b 的值为 ▲ ．

3．从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为8的概率是 ▲ ．

4．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，

其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，

[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是 ▲ ．

5．如图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．

注 意

事 项

考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。 3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。 4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 0.02 （第4题）

0.16 0.11 0.04 /小时 0.07

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6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)P 到双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的一条渐近线的

距离为13

，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．

7．若圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，圆锥、球的表面积分别记为1S ，2S ，则1

2

S S 的值是 ▲ ．

8

．已知函数()sin())f x x x ??=+++，0π?≤≤．若()f x 是奇函数，则π()6

f 的值为 ▲ ．

9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1S ，22S ，33S 成等差数列，则3a 的值是 ▲ ．

10．已知函数2,1,

()1,

1,x x x f x x ?->=??≤ 则不等式2()()f x f x <的解集是 ▲ ．

11．在ABC △中，若3AB =，2AC =，3BC BD =u u u r u u u r ，7AB AD ?=u u u r u u u r

，则ABC △的面积为 ▲ ．

12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,4)A ，点P 在圆22:(2)(1)1C x y -+-=上运动，点Q 在

y 轴上运动，则||AP AQ +u u u r u u u r

的最小值是 ▲ ． 13．若正实数a ，b ，c 满足()a a b c bc ++=，则

a

b c

+的最大值为 ▲ ． 14．已知点P 在曲线:e x C y a =(e 是自然对数的底数)上，记曲线C 在点P 处的切线与坐标轴围成

的三角形的面积为S ．若使得2S a =的点P 有三个，则实数a 的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．

15．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面ABP ⊥平面BCP ，

90APB ∠=?，BP BC =，M 为PC 的中点．求证：

（1）直线AP ∥平面BDM ； （2）直线BM ⊥平面ACP ．

(第16题)

D

A

B

C

M

P

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16．（本小题满分14分）

在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知(2)cos cos a c B b C -=． （1）求角B 的大小；

（2）若2b =，1a =，求sin C 的值．

17．（本小题满分14分）

如图是一块地皮OAB ，其中OA ，AB 是直线段，曲线段OB 是抛物线的一部分，且点O 是该抛物线的顶点，OA 所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量，2OA =km ，

AB =，π

4

OAB

?．现要从这块地皮中划一个矩形CDEF 来建造草坪，其中点C 在曲线段OB 上，点D ，E 在直线段OA 上，点F 在直线段AB 上，设CD a =km ，

矩形草坪CDEF 的面积为()f a km 2． （1）求()f a ，并写出定义域；

（2）当a 为多少时，矩形草坪CDEF 的面积最大？

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>

过点，A ，

B 分别为椭圆

C 的右、下顶点，且2OA OB =．

（1）求椭圆C 的方程；

B

(第17题)

A

C

F O

E

D

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（2）设点P 在椭圆C 内，满足直线PA ，PB 的斜率乘积为1

4

-，且直线PA ，PB 分别交椭

圆C 于点M ，N ．

(i) 若M ，N 关于y 轴对称，求直线PA 的斜率； (ii) 求证：PMN △的面积与PAB △

19．（本小题满分16分）

已知数列{}n a 中，15a =-，128n n a a +=+，n *∈N ．数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足

221425n n n b b S ++=+，n *

∈N ．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）数列{}n b 能否为等差数列？若能，求其通项公式；若不能，试说明理由； （3）若数列{}n b 是各项均为正整数的递增数列，设n n n c a b =+，则当r c ，s c ，t c

和4r ，s ，t ()r s t <<均成等差数列时，求正整数r ， s ，t 的值．

20．（本小题满分16分）

已知函数2()f x x ax =+，()ln g x x b =+，,a b ∈R ，且()f x 的最小值为('(1))f g ． （1）求a 的值；

（2）若不等式()()bf x xg x ≤对任意21

[,e ]e

x ∈恒成立，其中e 是自然对数的底数，

求b 的取值范围；

（3）设曲线()y f x =与曲线()y g x =交于点000(,)(1)P x y x >，且两曲线在点P 处的切线分别

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/---/.. 为1l ，2l ．试判断1l ，2l 与x 轴是否能围成等腰三角形？若能，确定所围成的等腰三角形的个数；若不能，请说明理由．

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数学Ⅱ(附加题)

21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，点A ，B ，D ，E 在圆O 上，ED ，AB 的延长线交于点C ，AD ，BE 交于点

F ，且AE EB BC ==．若2DE =，4AD =，求DF 的长．

B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵11a b ??=??-??A 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21??=????

α． 若x a y b ????=????????

A ，求x ，y 的值．

C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知曲线:sin C a ρθ=，若直线π:3l θ=

被曲线C ，求正实

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数a 的值．

D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知,,a b c R ?，且3a b c ++=，22226a b c ++=，求a 的取值范围．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11BCC B ，1π

3

BCC ∠=

，2AB BC ==，14BB =，点D 在棱1CC 上，且1(01)CD CC λλ=<<．建立如图所示的空间直角坐标系． （1）当1

2

λ=

时，求异面直线1AB 与1A D 的夹角的余弦值； （2）若二面角11A B D A --的平面角为π

3

，求λ的值．

23．（本小题满分10分）

将边长为1的正三角形ABC 各边*(2,)n n n ∈N ≥等分，过各等分点在ABC △内作边的平行线．如图所示是2n =时的图形．记ABC △中边长为1

n 的菱形的个数为()f n ． （1）写出(2)f 的值； （2）求()f n 的值．

(第22题)

(第23题)

A

B

C

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/---/.. 徐州市2017届高三信息卷

数学Ⅰ参考答案与评分标准

一、填空题

1．{0,1,2,7} 2．2- 3．13 4．45 5．22 6．3 7

．14

8．1- 9．19 10

． 11

12．3 13

14．22(,0)(0,)e e

-U 二、解答题

15．（1）设AC I BD =O ，连结OM ，

因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点，

因为M 为PC 的中点，所以AP ∥OM ．…3分

又因为AP ?平面BDM ，OM ?平面BDM ，

所以直线AP ∥平面BDM ．……………6分

（2）因为90APB ∠=?，所以AP BP ⊥．

又因为平面ABP ⊥平面BCP ，

平面ABP I 平面BCP =BP ，AP ?平面ABP ，

所以AP ⊥平面BCP ．…………………………………………………………9分 又因为BM ?平面BCP ，所以AP ⊥BM ．…………………………………11分 因为BP BC =，M 为PC 的中点，所以BM CP ⊥．

又因为AP CP P =I ，,AP CP ?平面ACP ，

所以直线BM ⊥平面ACP ．…………………………………………………14分

16．（ 1）由已知得2a cos B =c cos B +b cos C ，由正弦定理得，

2sin A cos B =sin C cos B +sin B cos C =sin(B +C )，…………………………………2分

又B +C =π-A ，所以2sin A cos B =sin A ，又A ∈(0，π)，sin A ≠0，所以cos B =12

， 又B ∈(0，π)，所以B =π3

．………………………………………………………6分 （2）由正弦定理得a sin A =b sin B ，得sin A =34

，………………………………………8分 又a

134， ………………………11分 (第16题) D A B C M P O

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又A +B +C =π，得sin C =sin(π-A -B )=sin(A +B )

=sin A cos B +cos A sin B =

3+39

8

． ………………14分

17．（1）以O 为原点，OA 边所在直线为x 轴，建立

如图所示的平面直角坐标系， 过点B 作BG OA ^于点G ， 在直角

ABC △中，AB =

，π4OAB

?

所以1AG BG ==，又因为2OA =， 所以1OG =，则(1,1)B ，

设抛物线OCB 的标准方程为22y px =， 代入点B 的坐标，得12

p =

， 所以抛物线的方程为2y x =．…………4分

因为CD a =，所以AE EF a ==，则22DE a a =--，

所以2()(2)f a a a a =--322a a a =--+，定义域为(0,1)．………………8分 （2）2'()322f a a a =--+，令'()0f a =，得a =

……………………10分 当0a <<'()0f a >，()f a 在上单调增； 1a <时，'()0f a <，()f a 在上单调减． 所以当1

3

a =

时，()f a 取得极大值，也是最大值．……………………12分 答：（1）32()2f a a a a =--+，定义域为(0,1)；

（2）当a =

CDEF 的面积最大．…………………………14分 18．（1）由2OA OB =知，2a b =，

又椭圆C 过点，所以2221a =，

解得6,3.a b =??=?

所以椭圆C 的方程为22

1369x y +=．………………………………4分

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/---/.. （2）设直线PA 的斜率为k ，则直线PA 的方程为(6)y k x =-．

联立22(6),

436,y k x x y =-??+=? 消去y 并整理得，2222(14)48144360k x k x k +-+-=，

解得16x =，22224614k x k

-=+，所以22224612(,)1414k k M k k --++．…………………6分 因为直线PA ，PB 的斜率乘积为1

4-，所以直线PB 的方程134y x k

=--． 联立2213,4436,y x k

x y ?=--???+=?

消去y 并整理得，22(14)240k x kx ++=， 解得10x =，222414k x k

=-+，所以2

2224312(,)1414k k N k k --++．…………………8分 (i) 因为M ，N 关于y 轴对称，所以2222462401414k k k k

--=++， 即24410k k --=

，解得k ．…………………………………………10分

当12k =

时，点3(1(3,)2

P -在椭圆C 外，不满足题意． 所以直线PA

． ………………………………………………12分 (ii) 联立(6),13,4y k x y x k =-???=--?? 解得22241214P k k x k -=+． 所以1sin ()()2||1()()sin 2

PMN

P M N P PAB A P P B PM PN MPN S x x x x S x x x x PA PB APB ?∠-?-==-?-?∠△△…………………14分 22222222222

2412246242412()()14141414||24122412(6)(0)1414k k k k k k k k k k k k k k k k ------++++=----++ 22(126)(2412)||(126)(2412)

k k k k k k -+--=+- 22(21)(2)||(21)(2)

k k k k k k -+--=+-

/---/.. /---/.. (21)(21)||1(21)(21)

k k k k -+--==+-． 故PMN △的面积与PAB △的面积相等．……………………………………16分

19．（1）由128n n a a +=+，得182(8)n n a a ++=+，………………………………………1分

又15a =-，所以{8}n a +是首项为3，公比为2的等比数列，

则1832n n a -+=?，故1328n n a -=?-，n *∈N ．………………………………3分

（2）由2214+25n n n b b S ++=，得22+12+14+25n n n b b S ++=，

两式相减得22124n n n b b b ++=-，即1224()()n n n n n b b b b b +++=+-．①

若{}n b 是等差数列，设公差为d ，则1144n n b db ++=，

因为10n b +≠，所以1d =．………………………………………………………5分

又221214+25b b S +=，即22111+14+25b b b +=（），

解得13b =-，或14b =．

当13b =-时，4n b n =-，满足条件2214+25n n n b b S ++=；

当14b =时，3n b n =+，也满足条件2214+25n n n b b S ++=．

故4n b n =-，或+3n b n =． ……………………………………………………8分

（3）由{}n b 是各项均为正整数的递增数列，得12n n n b b b ++<<②，

故21n n n b b b +++>，22n n b b ≥+-，

故由①式可得1124()n n n n b b b b +++>-，所以224n n b b ≤+-<．

又由①式可知2n n b b +-是偶数，所以22n n b b +-=．

代入①式得212n n n b b b +++=，所以{}n b 是等差数列．………………………10分 由（2）知，3n b n =+，

所以1325n n n n c a b n -=+=?-．

若2r t s c c c +=()*，由正整数,,()r s t r s t <<，知1t s ≥+，2s ≥．

当2t s ≥+时，

112223232(325)s s t s s s c c c c s s ≥+-+--=?--?-3270s s =?+>． 因此要()*式成立，只能有1t s =+．…………………………………………12分 由()*式得1

13253242(325)r s s r s s --?-+?-=?-， 即1321r s r -?--．

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/---/.. 又42r t s +=，1t s =+，所以12r r -=，

显然1,2r =是方程的解．………………………………………………………14分 当2r ≥时，设函数1()2(2)x g x x x ≥-=-， 则1()2ln 212ln 2102

x g x ≥￠=鬃-->， 故()g x 在[2,)+?上是增函数，所以方程12r r -=仅有两解1,2r =．

因此，存在1r =，5s =，6t =或2r =，9s =，10t =满足条件．……16分

20．（1）1'()g x x

=，所以'(1)1g =，则()f x 的最小值为(1)f ， 因此抛物线()y f x =的对称轴为1x =，即12a -

=，所以2a =-．…………2分 （2）由（1）知，2()2f x x x =-．不等式()()bf x xg x ≤即22ln bx bx x x bx -+≤，

所以(3)ln b x x -≤对任意21[,e ]e

x ∈恒成立． ………………………………4分 令()(3)ln h x b x x =--，则11'()bx h x b x x

-=-=． ①若0b ≤，则'()0h x <，所以函数()h x 在21[,e ]e

上单调减， 故max 1

11[()]()(3)ln 0e e e h x h b ==--≤，解得1013e b >-≥，

此时无符合题意的b 值；………………………………………………………6分 ②若0b >，令'()0h x =，解得1x b =

． 列表如下：

由题意，可知222()(3)ln 0,e e e (e )(e 3)ln e 0,h b h b ?=--???=--?

≤≤ 解得2e 23e 1e 3b --≤≤． 故b 的取值范围为2e 2[,]3e 1e 3

--．……………………………………………8分

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/---/.. （3）设1l ，2l 的倾斜角分别为α，β，则00tan '()22f x x α==-，00

1tan '()g x x β==

． 因为01x >，所以tan 0α>，tan 0β>，则α，β均为锐角． 若1l ，2l 与x 轴所围成的三角形是等腰三角形，则2αβ=或2βα=．……10分 ①当2βα=时，tan tan βα>，即00122x x >-

，解得0112x << 而22tan tan tan 21tan αβαα

==-，即02002(22)11(22)x x x -=--， 整理得，20081230x x -+=

，解得034

x =．

所以存在唯一的0x =满足题意．…………………………12分 ②当2αβ=时，由tan tan αβ>

可得012x +>

， 而22tan tan tan 21tan βαββ==-，即002

2

2211()x x x -=-， 整理得，320

00210x x x --+=．…………………………………………………13分 令32()21x x x x ?=--+，则2'()322x x x ?=--．

令'()0x ?=

，解得13x =

．列表如下：

而(1)10?=-<，()028

?=-<，(2)10?=>， 所以()x ?在3

(,2)2

内有一个零点，也是(1,)+∞上的唯一零点． 所以存在唯一的0)x ∈+∞满足题意． 综上所述，1l ，2l 与x 轴能围成2个等腰三角形．……………………………16分

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/---/.. 徐州市高三信息卷

数学Ⅱ参考答案与评分标准

21．A ．因为EB BC =，所以C

BEC ??． 因为BED

BAD ??，所以C BED BAD ???． 因为2EBA

C BEC C ????，AE EB =， 所以2EAB

EBA C ???，又C BAD ??． 所以EAD

C ??，故BA

D EAD ??．……………………………………………5分 所以EAD C FED ???，又因为EDA FD

E ??，

所以EAD △∽FED △，则DE AD DF ED

=． 又因为2DE =，4AD =，所以1DF =．…………………………………………10分

B ． 由条件知，2=A αα，即1222111a b ??????=??????-??????，即2422a b +????=????-+????

， 所以24,22,a b +=??-+=? 解得2,4.a b =??=?

所以1214??=??-??A ． ………………………………5分 则12221444x x x y y y x y +??????????===??????????--+??????????A ，所以22,44,x y x y +=??-+=?

解得0,1.x y =??=? 所以x ，y 的值分别为0，1．………………………………………………………10分

C ． 直线l 与曲线C 均过极点(0,0)， 令π3

θ=

，得ρ=

=，解得2a =．…………………………10分 D ．因为22262a b c -=+，………………………………………………………………2分

2221(2)(1)32b c =++2222()(3)33

b c a ≥+=-，………………………6分 即25120a a ≤-，所以1205a ≤≤

．……………………………………………… 10分 22．（1）易知(0,0,2)A ，1(0,4,0)B ，1(0,4,2)A ．

因为2BC CD ==，1π3BCC ∠=

，所以1,0)C -，当12λ=

时，D ． 所以1(0,4,2)AB =-u u u u r

，13,2)A D =--u u u u r ．……………………………………2分

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A 所以111111cos ,||||

AB A D AB A D AB A D ?<>=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，

=

=． 故异面直线1AB 与1A D

． ……………………………4分 （2）由1CD CC λ=

可知，1,0)D λ-

，所以1(4,0)DB λ=-u u u u r ，

由（1）知，1(0,4,2)AB =-u u u u r ． 设平面1AB D 的法向量为(,,)x y z =m ，

则110,0,

AB DB ??=???=??u u u u r u u u u r m m

即420,(54)0,y z y λ-=???--=?? 令1y =

，解得x =，2z =， 所以平面1AB D

的一个法向量为=m ．……………………………6分

设平面11A B D 的法向量为(,,)x y z =n ，

则1110,0,

B A DB ??=???=??u u u u r u u u u r m m

即20,(54)0,z y λ=???-=?? 令1y =

，解得x 0z =， 所以平面11A B D

的一个法向量为=n ．……………………………8分 因为二面角11A B D A --的平面角为π3

，

所以1|cos ,|||||||2?<>===m n m n m n ， 即2(54)1λ-=，解得23λ=

或1λ=（舍）， 故λ的值为23

．…………………………………………………………………10分 23．（1）(2)3f =． ………………………………………………………………………3分

（2）设与BC 相邻的平行线为''B C ，

则''AB C △中边长为1n

的菱形的个数为(1)f n -．

/---/..

/---/.. 考虑()f n 比(1)f n -增加的菱形数： 以

1''1B C n -为对角线的菱形数为1n -； 以1''1

B C n -为一边，对边在BC 上的菱形数为2(1)n -． 所以()(1)(1)2(1)f n f n n n =-+-+-

(1)3(1)f n n =-+-．…………7分

则(3)(2)32f f -=?，

(4)(3)33f f -=?，

……，

()(1)3(1)f n f n n --=-，

上述各式相加，得()(2)3[23(1)]f n f n -=+++-L ，

所以()(2)3[23(1)]f n f n =++++-L 3[123(1)]n =++++-L

3(1)2

n n -=．…………………………………………………………10分