江苏省扬州中学教育集团树人学校2015-2016学年度八年级数学上学

江苏省扬州中学教育集团树人学校2015-2016学年度八年级数学上学期期

末考试试题

一、选择题

1．下列图形不一定是轴对称图形的是（ ） A．直角三角形 B．线段 C．角 D．等腰梯形

2．下列计算正确的是（ ） A．

=±3 B．

=﹣2

C．

=﹣7 D．

=9

3．若x、y为实数，且A．6 B．8 C．9

4．如果把分式

，则y的值为（ ）

D．12

x

中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）

A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．缩小6倍 D．不变

5．已知点（﹣1，y1），（2，y2）都在直线y=x+b上，则y1，y2大小关系是（ ）

A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．不能比较

6．若等腰三角形的周长是100cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y（cm）与底边长x（cm）之间的函数关系式的图象是（ ）

A． B． C．

D．

7．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）

1

A． B． C． D．

8．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2016次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）

A．（0，3） B．（5，0） C．（1，4） D．（8，3）

二、填空题

9．81的算术平方根是 ．

10．角的对称轴是 ． 11．

12．已知△ABC的三边长a、b、c满足

，则△ABC一定是

的最简公分母是 ．

三角形．

13．点P（2，﹣3）关于x轴的对称点坐标为 ． 14．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为 ．

2

15．如图，一次函数y=kx1+b1的图象l1与y=kx2+b2的图象l2相交于点P，则方程组是 ．

的解

16．当m= 时，关于x的分式方程

=﹣1有增根．

17．如图，函数y=﹣3x和y=kx+b的图象相交于点A（m，4），则关于x的不等式kx+b+3x＞0的解集为 ．

18．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 cm．

三、解答题 19．解方程：

（1）5x2﹣2=8； （2）计算：

﹣（

）2﹣

﹣|﹣4|．

3

20．先化简，再在0，﹣1，2中选取一个适当的数代入求值．

21．已知y﹣3与x+5成正比例，且当x=2时，y=17．求： （1）y与x的函数关系； （2）当x=5时，y的值．

22．如图所示，四边形OABC是矩形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若△ECD的周长为4，△EBA的周长为12． （1）矩形OABC的周长为 ； （2）若A点坐标为（5，0），求线段AD所在直线的解析式．

23．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；

（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、； （3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．

24．为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲，乙两工程队承包此项工程．如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲，乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成，问原来规定修好这条公路需多少长时间？

25．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长的数值与面积的数值相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB周长的数值与面积的数值相等，则点P是和谐点． （1）判断点M（1，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由； （2）若和谐点P（a，3）（a＞0）在直线y=﹣x+b（b为常数）上，求a，b的值．

4

26．有甲、乙两个圆柱体的蓄水池，将甲池中的水以一定的速度注入乙池．甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，其中，甲蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数关系式为y=﹣x+2．结合图象回答：

（1）求出乙蓄水池中水的深度y与注水时间 x之间的函数关系式； （2）交点A表示的实际意义是 ；

（3）当乙蓄水池中水的体积是甲蓄水池中水的体积3倍时，求甲池中水的深度．

27．某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润=（售价﹣成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：

（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元； （2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；

（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）

5

28．已知，ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，若E在直线AC上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点，G为EF的中点，延长CG与AB交于点H． （1）若E在边AC上．①试说明DE=DF；②试说明CG=GH； （2）若AE=6，CH=10，求边AC的长．

6

江苏省扬州中学教育集团树人学校2015～2016学年度八年级上学期期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1．下列图形不一定是轴对称图形的是（ ） A．直角三角形 B．线段 C．角 D．等腰梯形 【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，针对四个选项进行分析即可．

【解答】解：根据轴对称图形的定义可得B、C、D都是轴对称图形，只有A不一定是， 故选：A．

【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2．下列计算正确的是（ ） A．

=±3 B．

=﹣2

C．

=﹣7 D．

=9

【考点】立方根；算术平方根．

【分析】利用平方根与立方根的定义求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用． 【解答】解：A、=3，故本选项错误； B、C、

=﹣2，故本选项正确；

=|﹣7|=7，故本选项错误；

D、（﹣）2=3，故本选项错误． 故选B．

【点评】此题考查了平方根与立方根的定义．此题比较简单，注意熟记定义是解此题的关键．

x

3．若x、y为实数，且，则y的值为（ ） A．6 B．8 C．9 D．12 【考点】二次根式有意义的条件． 【专题】计算题． 【分析】运用二次根式有意义的条件，即，必须同时根号下部分大于等于0，即x﹣2≥0，

x

且2﹣x≥0，得出x的值，再代入，求出y的值，从而得出y的值． 【解答】解：∵x、y为实数，且， ∴根据二次根式有意义的条件，

，必须同时有意义，

即x﹣2≥0，且2﹣x≥0，

同时满足x﹣2≥0，且2﹣x≥0，x只能等于2， ∴把x=2代入， 解得：y=3， ∴yx=32=9． 则yx的值为9，

7

故选：C．

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及乘方运算，解决问题的关键是根据

同时有意义，即x﹣2≥0，且2﹣x≥0，从而得出x的值．

4．如果把分式

中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）

，

A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．缩小6倍 D．不变 【考点】分式的基本性质． 【专题】应用题．

【分析】把原分式中的x换成3x，把y换成3y进行计算，再与原分式比较即可． 【解答】解：把原分式中的x换成3x，把y换成3y，那么

=

=3×

．

故选A．

【点评】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是整体代入．

5．已知点（﹣1，y1），（2，y2）都在直线y=x+b上，则y1，y2大小关系是（ ） A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．不能比较 【考点】一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】运用一次函数的增减性：当k＞0时，y随x的增大而增大，即可比较大小． 【解答】解：因为＞0，y随x的增大而增大，

又﹣1＜2，所以，y1＜y2． 故选C．

【点评】本题考查了一次函数的增减性，对于一次函数y=kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．本题可以通过代值计算函数值，比较大小．

6．若等腰三角形的周长是100cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y（cm）与底边长x（cm）之间的函数关系式的图象是（ ）

A． B． C．

D．

【考点】一次函数的应用；一次函数的图象；等腰三角形的性质．

【分析】根据三角形的周长列式并整理得到y与x的函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列式求出x的取值范围，即可得解． 【解答】解：根据题意，x+2y=100， 所以，y=﹣x+50，

8

根据三角形的三边关系，x＞y﹣y=0， x＜y+y=2y，

所以，x+x＜100， 解得x＜50，

所以，y与x的函数关系式为y=﹣x+50（0＜x＜50），

纵观各选项，只有C选项符合． 故选C．

【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了三角形的周长公式，难点在于利用三角形的三边关系求出底边x的取值范围．

7．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】根据动点从点A出发，首先向点D运动，此时y不随x的增加而增大，当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大，当点P在CB上运动时，y不变，据此作出选择即可． 【解答】解：当点P由点A向点D运动，即0≤x≤4时，y的值为0； 当点P在DC上运动，即4＜x≤8时，y随着x的增大而增大； 当点P在CB上运动，即8＜x≤12时，y不变；

当点P在BA上运动，即12＜x≤16时，y随x的增大而减小． 故选B．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．

8．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2016次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）

9

A．（0，3） B．（5，0） C．（1，4） D．（8，3） 【考点】规律型：点的坐标．

【分析】根据反弹时反射角等于入射角画出点的运动轨迹，表示出点的坐标，总结规律得到答案． 【解答】解：当点P第1次碰到矩形的边时，点P的坐标为（3，0）， 当点P第2次碰到矩形的边时，点P的坐标为（7，4）， 当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为（8，3）， 当点P第4次碰到矩形的边时，点P的坐标为（5，0）， 当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为（1，4）， 当点P第6次碰到矩形的边时，点P的坐标为（0，3）， 当点P第7次碰到矩形的边时，点P的坐标为（3，0）， 2016÷6=336，

故当点P第2016次碰到矩形的边时，点P的坐标为：（0，3）． 故选：A．

【点评】本题考查的是根据图形找出点的坐标的变化规律，正确理解题意、画出合适的示意图、表示出变化过程中各点的坐标、正确总结规律是解题的关键．

二、填空题

9．81的算术平方根是 9 ． 【考点】算术平方根．

【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案． 【解答】解：81的算术平方根是：=9． 故答案为：9．

【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，正确把握算术平方根的定义是解题关键．

10．角的对称轴是 角平分线所在的直线 ． 【考点】轴对称图形．

【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．

10

【解答】解：沿角平分线所在的直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，所以角的对称轴是角平分线所在的直线．

【点评】注意：对称轴必须说成直线． 11．

的最简公分母是 12xyz ．

3

【考点】最简公分母．

【分析】利用取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母求解即可． 【解答】解：

3

的最简公分母是12xyz．

3

故答案为：12xyz．

【点评】本题主要考查了最简公分母，解题的关键是熟记最简公分母的定义．

12．已知△ABC的三边长a、b、c满足

，则△ABC一定是 等腰

直角 三角形．

【考点】等腰直角三角形；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；勾股定理的逆定理．

【分析】先根据非负数的性质求出a、b、c的值，再根据三角形的三边关系进行判断即可． 【解答】解：∵△ABC的三边长a、b、c满足

，

∴a﹣1=0，b﹣1=0，c﹣=0， ∴a=1，b=1，c=． ∵a2+b2=c2，

∴△ABC一定是等腰直角三角形．

【点评】本题考查的知识点是：一个数的算术平方根与某个数的绝对值以及另一数的平方的和等于0，那么算术平方根的被开方数为0，绝对值里面的代数式的值为0，平方数的底数为0及勾股定理的逆定理．

13．点P（2，﹣3）关于x轴的对称点坐标为 （2，3） ． 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：点P（2，﹣3）关于x轴的对称点坐标为（2，3）， 故答案为：（2，3）．

【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

14．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为 12 ．

11

【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2DE，再利用勾股定理列式计算即可得解．

【解答】解：∵BE⊥AC，D为AB中点， ∴AB=2DE=2×10=20， 在Rt△ABE中，BE=

=

=12．

故答案为：12．

【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质与定理是解题的关键．

15．如图，一次函数y=kx1+b1的图象l1与y=kx2+b2的图象l2相交于点P，则方程组

的解

是 ．

【考点】一次函数与二元一次方程（组）．

【分析】根据二元一次方程组的解即为两直线的交点坐标解答． 【解答】解：由图可知，方程组

的解是

．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．

12

16．当m= 6 时，关于x的分式方程=﹣1有增根．

【考点】分式方程的增根．

【专题】计算题；分式方程及应用．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣3=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．

【解答】解：去分母得：2x﹣m=﹣x+3， 由分式方程有增根，得到x﹣3=0，即x=3， 把x=3代入整式方程得：6﹣m=﹣3+3， 解得：m=6， 故答案为：6．

【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

17．如图，函数y=﹣3x和y=kx+b的图象相交于点A（m，4），则关于x的不等式kx+b+3x＞0的解集为 x＞﹣ ．

【考点】一次函数与一元一次不等式．

【分析】先利用自变量函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当x＞﹣时，直线y=kx+b都在直线y=﹣3x的上方，于是可得到关于x的不等式kx+b+3x＞0的解集． 【解答】解：把A（m，4）代入y=﹣3x得﹣3m=4，解得m=﹣， 即A点坐标为（﹣，4）， 当x＞﹣时，kx+b+3x＞0，

所以关于x的不等式kx+b+3x＞0的解集为x＞﹣． 故答案为x＞﹣

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

18．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 8 cm．

13

【考点】轴对称-最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 【专题】探究型．

【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【解答】解：连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC，

∴S△ABC=BC?AD=×4×AD=12，解得AD=6cm， ∵EF是线段AB的垂直平分线，

∴点B关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为BM+MD的最小值，

∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8cm． 故答案为：8．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

三、解答题 19．解方程：

（1）5x2﹣2=8； （2）计算：

﹣（

）2﹣

﹣|﹣4|．

【考点】实数的运算；平方根． 【专题】计算题；实数． 【分析】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；

（2）原式利用平方根、立方根定义，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【解答】解：（1）方程整理得：x2=2， 开方得：x=±；

（2）原式=5﹣6+4﹣4=﹣1．

14

【点评】此题考查了实数的运算，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．先化简

，再在0，﹣1，2中选取一个适当的数代入求值．

【考点】分式的化简求值． 【专题】计算题．

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再在0，﹣1，2中选取一个适当的数代入求值即可．

【解答】解：原式=（=

×x（x﹣2）

+

）÷

=x（x+3）， ∵x≠0，x≠2，

∴当x=﹣1时，原式=﹣（﹣1+3）=﹣2．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此题时要注意x≠0，x≠2．

21．已知y﹣3与x+5成正比例，且当x=2时，y=17．求： （1）y与x的函数关系； （2）当x=5时，y的值．

【考点】待定系数法求一次函数解析式． 【专题】计算题． 【分析】（1）由y﹣3与x+5成正比例，设y﹣3=k（x+5），把x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x函数关系；

（2）把x=5代入计算即可求出y的值． 【解答】解：（1）设y﹣3=k（x+5）， 把x=2，y=17代入得：14=7k，即k=2， 则y﹣3=2（x+5），即y=2x+13； （2）把x=5代入得：y=10+13=23．

【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

22．如图所示，四边形OABC是矩形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若△ECD的周长为4，△EBA的周长为12． （1）矩形OABC的周长为 16 ； （2）若A点坐标为（5，0），求线段AD所在直线的解析式．

【考点】翻折变换（折叠问题）；待定系数法求一次函数解析式．

15

【分析】（1）根据折叠和矩形的性质得出AE=OA=BC，OD=DE，BC=OA，AB=OC，根据已知得出CE+CD+DE+AB+BE+AE=16，推出CE+BE+AB+OA+OD+CD=16即可．

（2）根据勾股定理求出BE，求出CE，再利用勾股定理求得D 的坐标，待定系数法求出直线AD的解析式即可． 【解答】解：（1）∵以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，四边形OABC是矩形，

∴AE=OA=BC，OD=DE，BC=OA，AB=OC， ∵△ECD的周长为4，△EBA的周长为12， ∴CE+CD+DE+AB+BE+AE=4+12=16， ∴CE+BE+AB+OA+OD+CD=16， 即矩形OABC的周长为16， 故答案为：16．

（2）∵矩形OABC的周长为16， ∴2OA+2OC=16，

∵A点坐标为（5，0）， ∴OA=5， ∴OC=3，

∵在Rt△ABE中，∠B=90°，AB=3，AE=OA=5，由勾股定理得：BE=4， ∴CE=5﹣4=1，

∴设DE=OD=x，则CD=3﹣x，

∴CD2+CE2=DE2，即（3﹣x）2+12=x2， ∴x=， ∴D（0，），

设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵A（5，0），E（0，），

∴，

解得．

∴线段AD所在直线的解析式为：y=﹣x+．

【点评】本题考查的是一次函数综合题，涉及到勾股定理，矩形的性质，折叠的性质的应用，难度适中．

23．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；

（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；

16

（3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．

【考点】勾股定理． 【专题】作图题． 【分析】（1）根据勾股定理画出边长为的正方形即可； （2）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可； （3）连接AC、CD，求出△ACB是等腰直角三角形即可．

【解答】

解：（1）如图1的正方形的边长是，面积是10； （2）如图2的三角形的边长分别为2，，； （3）如图3，连接AC，CD， 则AD=BD=CD=∴∠ACB=90°， 由勾股定理得：AC=BC=

=

，

=

，

∴∠ABC=∠BAC=45°．

【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，直角三角形的判定的应用，主要考查学生的计算能力和动手操作能力．

24．为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲，乙两工程队承包此项工程．如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲，乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成，问原来规定修好这条公路需多少长时间？

【考点】分式方程的应用． 【专题】工程问题．

【分析】本题的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．由题意可知，甲队施工的总工程量+乙队总工程量=1，由此可列出方程求解．

【解答】解：设原计划需x个月，则甲单独完成需要x个月，乙单独完成需要（x+6）个月， 由题意得4×（+

）+（x﹣4）×=1，

17

解得：x=12，

经检验：x=12是原方程的解，

答：原来规定修好这条公路需12个月．

【点评】找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题主要考查的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率，当题中没有一些必须的量时，为了简便，应设其为1．

25．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长的数值与面积的数值相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB周长的数值与面积的数值相等，则点P是和谐点． （1）判断点M（1，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由； （2）若和谐点P（a，3）（a＞0）在直线y=﹣x+b（b为常数）上，求a，b的值．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】新定义． 【分析】（1）根据和谐点的定义，利用矩形的面积和周长公式进行证明即可；

（2）利用和谐点的定义列出关于a的方程（a+3）×2=3a，由此可以求得a=6．然后把点P的坐标代入直线方程，通过方程来求b的值． 【解答】解：（1）∵1×2≠2（1+2），4×4=2×（4+4）， ∴点M不是和谐点，点N是和谐点．

（2）由题意得，（a+3）×2=3a， ∴a=6， ∴P（6，3），

∵点P在直线y=﹣x+b上， ∴代入得3=﹣6+b， 解得，b=9．

综上所述，a、b的值分别是6，9．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．

26．有甲、乙两个圆柱体的蓄水池，将甲池中的水以一定的速度注入乙池．甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，其中，甲蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数关系式为y=﹣x+2．结合图象回答： （1）求出乙蓄水池中水的深度y与注水时间 x之间的函数关系式；

（2）交点A表示的实际意义是 当注水时间为小时，甲乙两水池的水面高度相同，为米 ；

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（3）当乙蓄水池中水的体积是甲蓄水池中水的体积3倍时，求甲池中水的深度．

【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）如图，根据甲蓄水池的函数关系式求出放完水的时间，即函数图象与x轴的交点B，从而得到乙图象上的点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；

（2）联立两函数解析式，解方程组即可得到交点A的坐标，根据交点的纵坐标相等可知，两水池的水面高度相等；

（3）求出甲、乙两个蓄水池的底面积的比，再求出乙蓄水池中水的体积是甲蓄水池中水的体积3倍时的高度的比，然后根据两函数解析式列式求出x的值，然后代入甲求出相应的y的值即可． 【解答】解：（1）如图，当y=0时﹣x+2=0，

解得x=3．

所以，点C的坐标为（3，4），

设乙蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式为y=kx+b， 则解得

， ．

所以，函数关系式为y=x+1； （2）联立

，

解得．

所以，交点A的坐标为（，），

表示的实际意义是：当注水时间为小时，甲乙两水池的水面高度相同，为米， 故答案为：当注水时间为小时，甲乙两水池的水面高度相同，为米；

（3）∵甲水池的水降低2米时乙水池的水上升3米， ∴甲、乙两个蓄水池的底面积的比为3：2，

∴乙蓄水池中水的体积是甲蓄水池中水的体积3倍时的高度的比为9：2， ∴x+1=（﹣x+2），

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解得x=2，

把x=2代入y=﹣x+2得，y=米． 答：甲池中水深米．

【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，难点在于（3）求出甲、乙两蓄水池的底面积的比．

27．某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润=（售价﹣成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：

（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元； （2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；

（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）

【考点】一次函数的应用；分段函数． 【专题】压轴题；图表型． 【分析】（1）根据销售记录每升利润为1元，所以销售利润为4万元时销售量为4万升； （2）设BC所对应的函数关系式为y=kx+b（k≠0），求出图象中B点和C点的坐标代入关系式中即可．

（3）判断利润率最大，应该看倾斜度． 【解答】解：解法一：

（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为4÷（5﹣4）=4（万升）． 答：销售量x为4万升时销售利润为4万元；

（2）点A的坐标为（4，4），从13日到15日销售利润为5.5﹣4=1.5（万元）， 所以销售量为1.5÷（5.5﹣4）=1（万升），所以点B的坐标为（5，5.5）． 设线段AB所对应的函数关系式为y=kx+b，则

解得

∴线段AB所对应的函数关系式为y=1.5x﹣2（4≤x≤5）．

从15日到31日销售5万升，利润为1×1.5+4×（5.5﹣4.5）=5.5（万元）． ∴本月销售该油品的利润为5.5+5.5=11（万元），所以点C的坐标为（10，11）． 设线段BC所对应的函数关系式为y=mx+n，则

解得

20

所以线段BC所对应的函数关系式为y=1.1x（5≤x≤10）；

（3）线段AB倾斜度最大，所以利润率最高．

解法二：

（1）根据题意，线段OA所对应的函数关系式为y=（5﹣4）x，即y=x（0≤x≤4）． 当y=4时，x=4．

答：销售量为4万升时，销售利润为4万元．

（2）设线段AB所对应的函数关系式为y=kx+b（k≠0），则∴线段AB所对应的函数关系式为y=1.5x﹣2（4≤x≤5）． 设BC所对应的函数关系式为y=kx+b（k≠0）， ∵截止至15日进油时的销售利润为5.5万元， 且13日油价调整为5.5元/升， ∴5.5=4+（5.5﹣4）x， x=1（万升）．

∴B点坐标为（5，5.5）．

∵15日进油4万升，进价4.5元/升， 又∵本月共销售10万升， ∴本月总利润为：

y=5.5+（5.5﹣4）×（6﹣4﹣1）+4×（5.5﹣4.5） =5.5+1.5+4 =11（万元）．

∴C点坐标为（10，11）．

将B点和C点坐标代入y=kx+b得方程组为：

，

解得：

．

解得

故线段BC所对应的函数关系式为：y=1.1x．（5≤x≤10）．

（3）线段AB倾斜度最大，所以利润率最高．

【点评】这是一道分段函数难度中上的考题，主要考查从图表获取信息和利用一次函数解决实际问题的能力．本题的关键是要仔细审题，找出数量变化与对应函数图象的关系，思考：险段AB，OA，BC对应的函数有哪些不同其根本原因是每升的成本，利润的变化，导致销售量的变化，正确计算出三种情形中的每升利润，是解决这一分段函数的重中之重．

28．已知，ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，若E在直线AC上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点，G为EF的中点，延长CG与AB交于点H． （1）若E在边AC上．①试说明DE=DF；②试说明CG=GH； （2）若AE=6，CH=10，求边AC的长．

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【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【分析】（1）①连接CD，由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AD=BD，CD⊥AB，证出∠EDA=∠CDF，由ASA证明△ADE≌△CDF，即可得出结论；

②连接CD、DG，由直角三角形斜边上的中线性质得出CG=EG=FG，DG=EG=FG，得出CG=DG，因此∠GCD=∠GDC，由角的互余关系得出∠GHD=∠HDG，证出GH=GD，即可得出结论；

（2）分两种情况：①当E在线段AC上时，CG=GH=EG=GF，得出CH=EF=10，由（1）得出AE=CF=6，由勾股定理得出CE，即可得出结论；

②当E在线段CA延长线上时，AC=EC﹣AE=8﹣6=2；即可得出结果． 【解答】（1）①证明：连接CD，如图1所示： ∵∠ACB=90°，AC=BC，D为AB的中点，

∴CD=AD=BD，CD⊥AB，∠EDA+∠EDC=90°，∠DCF=∠DAE=45°， ∵DF⊥DE，

∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°， ∴∠EDA=∠CDF， 在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴DE=DF；

②证明：连接DG，如图2所示： ∵∠ACB=90°，G为EF的中点， ∴CG=EG=FG，

∵∠EDF=90°，G为EF的中点， ∴DG=EG=FG， ∴CG=DG，

∴∠GCD=∠GDC， ∵CD⊥AB， ∴∠CDH=90°，

∴∠GHD+∠GCD=90°，∠HDG+∠GDC=90°， ∴∠GHD=∠HDG， ∴GH=GD， ∴CG=GH；

（2）解：分两种情况：

①当E在线段AC上时，CG=GH=EG=GF， ∴CH=EF=10，

由（1）①知：△ADE≌△CDF， ∴AE=CF=6，

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在Rt△ECF中，由勾股定理得： CE=

=

=8，

∴AC=AE+EC=6+8=14；

②当E在线段CA延长线上时，如图3所示： AC=EC﹣AE=8﹣6=2， 综上所述，AC=14或2．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．

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