第六章 不等式、推理与证明

第六章 不等式、推理与证明

第一节不等关系与不等式

1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b＞0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a

性质 对称性 传递性 可加性 性质内容 a>b?bb，b>c?a>c a>b?a＋c>b＋c 注意 ? ? ? 可乘性 a>b???ac>bc c>0?a>b???acb???a＋c>b＋d c>d?a>b>0???ac>bd c>d>0?? 同向同正可乘性 可乘方性 可开方性 ? a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2) nna>b>0?a>b(n∈N，n≥2) 同正 1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b

2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b?ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b?ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．

[试一试]

1．(2013·北京高考)设a，b，c∈R，且a>b，则( ) A．ac>bc C．a2>b2

11

B.<

ab D. a3>b3

解析：选D 由性质知选D. 2.

1

________3＋1(填“>”或“<”)． 2－1

1

＝2＋1＜3＋1. 2－1

解析：

答案：<

1．不等式的倒数性质 11

(1)a>b，ab>0?<；

ab11

(2)a<0

abab

(3)a>b>0,0；

cd111

(4)0

bxa2．不等式的分数性质 (1)真分数的性质：

bb＋mbb－m<；>(b－m>0)； aa＋maa－m(2)假分数的性质：

aa＋maa－m>；<(b－m>0)． bb＋mbb－m[练一练]

b＋ca＋c

若00，则与的大小关系为________．

a＋cb＋cb＋ca＋c答案：>

a＋cb＋c

考点一 比较两个数(式)的大小 1.已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( ) A．M

B．M>N D．不确定

解析：选B M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1

＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，

又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)， ∴a1－1<0，a2－1<0.

∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0. ∴M>N.

3

2．若实数a≠1，比较a＋2与的大小．

1－a－a2－a－1a2＋a＋13

解：a＋2－＝＝

1－a1－aa－13

∴当a>1时，a＋2>；

1－a3

当a<1时，a＋2<. 1－a[类题通法]

比较大小的常用方法

(1)作差法：

一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．

(2)作商法：

一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：

若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．

注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．

考点二 不等式的性质 [典例] (1)(2014·太原诊断)“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件

ab

(2)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④

dca·(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是( )

A．1 C．3

B．2 D．4

[解析] (1)由“a＋c>b＋d”不能得知“a>b且c>d”，反过来，由“a>b且c>d”可得知“a＋c>b＋d”，因此“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件，选D.

(2)法一：∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0， ∴ad＜bc，故①错误．

∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0， ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0， ∴a(－c)＞(－b)(－d)，

abac＋bd

∴ac＋bd＜0，∴＋＝＜0，

dccd故②正确．

∵c＜d，∴－c＞－d，

∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，故③正确．

∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)， 故④正确，故选C. 法二：取特殊值． [答案] (1)D (2)C [类题通法]

判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：

(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；

(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等． [针对训练]

若a>b>0，则下列不等式不成立的是( ) 11

A.< ab

C．a＋b<2ab

B．|a|>|b| 1?a?1?b

D.??2?

1?a?1?b11

解析：选C ∵a>b>0，∴<，且|a|>|b|，a＋b>2ab，又2a>2b，∴??2?

考点三 不等式性质的应用 [典例] 已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围． [解] f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b. f(－2)＝4a－2b.

设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b.

???m＋n＝4，?m＝1，?则解得? ?m－n＝－2，???n＝3.

∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤f(－2)≤10.

即f(－2)的取值范围为[5,10]．

若本例中条件变为：已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1

f(1)<4，求f(－2)的取值范围.

解：由本例知f(－2)＝f(1)＋3f(－1)． 又∵1

故f(－2)的取值范围为(5,10)． [类题通法]

利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．

[针对训练]

??－1≤α＋β ≤1，若α，β满足?试求α＋3β的取值范围．

?1≤α＋2β ≤3，?

解：设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.

???x＋y＝1，?x＝－1，

则?解得? ??x＋2y＝3，y＝2.??

∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]．

[课堂练通考点]

1．“1≤x≤4”是“1≤x2≤16”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A 由1≤x≤4可得1≤x2≤16，但由1≤x2≤16可得1≤x≤4或－4≤x≤－1，所以“1≤x≤4”是“1≤x2≤16”的充分不必要条件．

2．(2013·昆明质检)若a a－bb|b||b|＋1C.< |a||a|＋1

B．a2bn

解析：选C 取a＝－2，b＝－1，逐个检验选项可知，仅C选项成立．

11

3．在所给的四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0中，能推出<成立的

ab有( )

A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

b－a11

解析：选C <成立，即<0成立，逐个验证可得，①②④满足题意．

abab4．设a，b是非零实数，若a

C.2<2 abab

B．ab2

ab

解析：选C 当a<0时，a20，ab符号不确定， 所以ab2与a2b的大小不能确定，故B错． 11a－b11

因为2－2＝22<0，所以2<2，故C正确．

abababababba

D项中与的大小不能确定．

ab5．已知a，b，c∈R，有以下命题：

①若a>b，则ac2>bc2；②若ac2>bc2，则a>b； ③若a>b，则a·2c>b·2c.

其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)． 解析：①若c＝0则命题不成立．②正确．③中由2c>0知成立． 答案：②③

ab11

6．已知a＋b＞0，则2＋2与＋的大小关系是________．

baab11??a＋b??a－b?2ab?11?a－bb－a?解析：2＋2－?a＋b?＝2＋2＝(a－b)·. ?b2－a2?＝babaa2b2∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，

?a＋b??a－b?2∴≥0.

a2b2ab11∴2＋2≥＋. baabab11

答案：2＋2≥＋ baab

[课下提升考能]

第Ⅰ组：全员必做题

1．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是( ) A．－n＜m＜n＜－m C．m＜－n＜－m＜n

B．－n＜m＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m

解析：选D 法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m＋n＜0?m＜－n?n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立． 2．(2014·黄冈质检)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是( ) A．xy>yz C．xy>xz

B．xz>yz D．x|y|>z|y|

解析：选C 因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0,3z0，

??x>0，z<0.所以由?可得xy>xz.

?y>z，?

ππβ

0，?，β∈?0，?，那么2α－的取值范围是( ) 3．(2013·西安模拟)设α∈??2??2?35π

0，? A.?6??C．(0，π)

π5π

－，? B.??66?π

－，π? D.??6?

βπ

解析：选D 由题设得0<2α<π，0≤≤，

36πβ

∴－≤－≤0，

63πβ∴－<2α－<π.

63

11

4．若<<0，则下列结论不正确的是( )

abA．a2

11

解析：选D ∵<<0，∴0>a>b.

ab∴a2

B．ab|a＋b|

11

5．(2014·上海十三校联考)已知<<0，给出下面四个不等式：①|a|>|b|；②aab④a3>b3.其中不正确的不等式的个数是( )

A．0 C．2

B．1 D．3

11

解析：选C 由<<0可得bb，②不正确；a＋b<0，

abab>0，则a＋bb3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.

6．(2014·扬州期末)若a10， 即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1. 答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1

7．若1＜α＜3，－4＜β ＜2，则α－|β|的取值范围是________． 解析：∵－4＜β ＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0. ∴－3＜α－|β|＜3. 答案：(－3,3)

8．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________． 解析：∵ab2>a>ab，∴a≠0， 当a>0，b2>1>b，

2

??b>1，即?解得b<－1； ?b<1，?

当a<0时，b2<1

??b<1，即?无解． ??b>1

2

综上可得b<－1. 答案：(－∞，－1)

ee9．若a>b>0，c.

?a－c?2?b－d?2证明：∵c－d>0. 又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0. ∴(a－c)2>(b－d)2>0. ∴0<

11

. 2

又∵e<0，∴. 2>?a－c??b－d?210．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a人．

(1)若a＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？ (2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？ 解：(1)设从今年起的第x年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y万元． 2 000＋60x则y＝(a∈N*,1≤x≤10)．

800＋ax2 000＋60x

假设会超过3万元，则＞3，

800＋10x40

解得x＞＞10.

3

所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元． (2)设1≤x1＜x2≤10， 则f(x2)－f(x1)＝

2 000＋60x22 000＋60x1?60×800－2 000a??x2－x1?

－＝＞0，

800＋ax2800＋ax1?800＋ax2??800＋ax1?

所以60×800－2 000a＞0，得a＜24.

所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人． 第Ⅱ组：重点选做题

1．(2014·济南调研)设a>1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系为( )

A．n>m>p C．m>n>p

B．m>p>n D．p>m>n

解析：选B 因为a>1，所以a2＋1－2a＝(a－1)2>0，即a2＋1>2a，又2a>a－1，所以由对数函数的单调性可知loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a－1)，即m>p>n.

2．(2014·北京西城区期末)已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b1；③

－

a－b>a－b；④a3＋b3>2a2b. 其中一定成立的不等式为( ) A．①②③ C．①③④

B．①②④ D．②③④

解析：选A 由a>b>0可得a2>b2，①正确；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴2a>2b1，②正确；∵a>b>0，∴a>b，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b

－

＝2b(a－b)>0，∴a－b>a－b，③正确；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④错误．

第二节一元二次不等式及其解法

一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

判别式 Δ＝b－4ac 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图像 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) {x|xx2} {x|x1＜x＜x2}

1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．

2．当Δ<0时，易混ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R还是?. [试一试]

1．(2013·浙江高考)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(?RS)∪T＝( ) A．(－2,1] C．(－∞，1]

B．(－∞，－4] D．[1，＋∞)

有两相等实根 bx1＝x2＝－ 2a{x|x≠－? b} 2a没有实数根 2Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 R ? 解析：选C T＝ {x|－4≤x≤1}，根据补集定义， ?RS＝{x|x≤－2}，所以(?RS)∪T＝{x|x≤1}，选C.

11

－，?，则a＋b的值是( ) 2．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是??23?A．10 C．14

B．－10 D．－14

11

解析：选D 由题意知－、是ax2＋bx＋2＝0的两根．

23则a＝－12，b＝－2.a＋b＝－14.故选D.

3．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________． 解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a2－4×4>0，即a2>16. ∴a>4或a<－4.

答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)

1．由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论

???a＝b＝0，?a>0，

(1)不等式ax＋bx＋c>0对任意实数x恒成立??或?

??c>0，?Δ<0.?

2

?a＝b＝0，?a<0，??

(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立??或?

??Δ<0.c<0，??

2．分类讨论思想

解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．

[练一练]

若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是________． 解析：①当m＝0时，1>0显然成立． ②当m≠0时，由条件知

??m>0，? 2

?Δ＝4m－4m<0.?

得0

考点一 [典例] 解下列不等式： (1)0＜x2－x－2≤4； (2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0)． [解] (1)原不等式等价于

22???x－x－2＞0，?x－x－2＞0，?2??2 ??x－x－2≤4x－x－6≤0??

一元二次不等式的解法

????x－2??x＋1?＞0，?x＞2或x＜－1，???? ??x－3??x＋2?≤0???－2≤x≤3.

借助于数轴，如图所示，

原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}. (2)由x2－4ax－5a2＞0知(x－5a)(x＋a)＞0. 由于a≠0故分a＞0与a＜0讨论． 当a＜0时，x＜5a或x＞－a； 当a＞0时，x＜－a或x＞5a.

综上，a＜0时，解集为{x|x＜5a或x＞－a}；a＞0时，解集为{x|x＞5a或x＜－a}. [类题通法]

1．解一元二次不等式的一般步骤：

(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；

(2)计算相应的判别式；

(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．

2．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．

[针对训练] 解下列不等式： (1)－3x2－2x＋8≥0； (2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．

解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0. 4解得－2 ≤x≤，

3

?4?

－2≤x≤?. 所以原不等式的解集为?x?3?

?

?

(2)原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0， 1

x－?(x－1)＜0. 因为a＞0，所以a??a?1

所以当a＞1时，解为＜x＜1；

a

当a＝1时，解集为?； 1

当0＜a＜1时，解为1＜x＜.

a

?1?

1＜x＜?； 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为?x?a?

?

?

当a＝1时，不等式的解集为?；

??1?

??. ＜x＜1当a＞1时，不等式的解集为x?a??

考点二

一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有：

?1?形如f?x?≥0?x∈R?确定参数的范围； ?2?形如f?x?≥0?x∈[a，b]?确定参数范围； ?3?形如f?x?≥0?参数m∈[a，b]?确定x的范围.

角度一 形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围.

1．(2013·重庆高考)设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．

解析：根据题意可得(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin2α－cos 2α≤0，2sin2α－(1－2sin2 π5π11

0，?∪?，π?. α)≤0，即－≤sin α≤.因为0≤α≤π，故α∈??6??6?22

π5π

0，?∪?，π? 答案：??6??6?

角度二 形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围

2．对任意x∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求a的取值范围. a－44－a

解：函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的对称轴为x＝－＝. 224－a

①当<－1，即a>6时，

2

f(x)的值恒大于零等价于f(－1)＝1＋(a－4)×(－1)＋4－2a>0， 解得a<3，故有a∈?；

4－a

②当－1≤≤1，即2≤a≤6时，

2

只要f?

4－a4－a??4－a?2

＝＋(a－4)×＋4－2a>0，

2?2??2?

即a2<0，故有a∈?； 4－a

③当>1，即a<2时，

2只要f(1)＝1＋(a－4)＋4－2a>0， 即a<1，故有a<1.

综上可知，当a<1时，对任意x∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零． 角度三 形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围

3．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求x的取值范围． 解：由f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 令g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4.

由题意知在[－1,1]上，g(a)的值恒大于零，

2

??g?－1?＝?x－2?×?－1?＋x－4x＋4>0，∴? 2

?g?1?＝?x－2?＋x－4x＋4>0，?

解得x<1或x>3.

故当x<1或x>3时，对任意的a∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零． [类题通法]

恒成立问题及二次不等式恒成立的条件

(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．

(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．

考点三 一元二次不等式的应用 [典例] 某小商品2013年的价格为8元/件，年销量是a件．现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件．

(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；

(2)设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%?

[解] (1)设该商品价格下降后为x元/件， k

则由题意可知年销量增加到?x－4＋a?件，

??

k

故经销商的年收益y＝?x－4＋a?(x－3)，5.5≤x≤7.5.

??

2a

(2)当k＝2a时，依题意有?x－4＋a?(x－3)≥(8－3)a×(1＋20%)，

??

x2－11x＋30化简得≥0，

x－4解得x≥6或4

又5.5≤x≤7.5，故6≤x≤7.5，

即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%.

[类题通法]

构建不等式模型解决实际问题

不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解．

[针对训练]

某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝8

10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．

5

(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围． x?1＋8x?. 1－?·解：(1)由题意得y＝100?100?10??50?因为售价不能低于成本价， x

1－?－80≥0. 所以100??10?

所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为[0,2]． (2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10 260， 化简得8x2－30x＋13≤0. 113

解得≤x≤. 24

1?所以x的取值范围是??2，2?.

[课堂练通考点]

1．(2013·广东高考)不等式|x2－2|<2的解集是( )

A．(－1,1) C．(－1,0)∪(0,1)

B．(－2,2) D．(－2,0)∪(0,2)

解析：选D 由|x2－2|<2得－20，不等式－c

B．2∶1∶3 D．3∶2∶1

解析：选B ∵－c0， b＋cc－b∴－

∵不等式的解集为{x|－2

?∴?c－b

?a＝1，

b＋c－＝－2，

a

?b＝2，∴?3

c＝?2a，

a

a3a

∴a∶b∶c＝a∶∶＝2∶1∶3.

22

3．(2013·重庆高考)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )

5A. 215C. 4

7 B. 2 D.

15 2

解析：选A 由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－5

8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得a＝.

2

4．(2014·皖南八校联考)不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )

A．[－1,4]

C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)

B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) D．[－2,5]

解析：选A x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.

2

??x＋1，x>0，

5．(2013·温州调研)若函数f(x)＝?则不等式f(x)<4的解集是________．

?－x，x≤0，?

?x>0，?x≤0，??

解析：不等式f(x)<4等价于?2或?

??x＋1<4，－x<4，??

即0

答案：(－4，3)

6．(2012·天津高考)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝__________，n＝________.

解析：因为|x＋2|<3，即－5

答案：－1 1

[课下提升考能]

第Ⅰ组：全员必做题

41．(2014·潍坊质检)不等式≤x－2的解集是( )

x－2A．(－∞，0]∪(2,4] C．[2,4)

B．[0,2)∪[4，＋∞) D．(－∞，2]∪(4，＋∞)

解析：选B ①当x－2>0，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，所以x≥4；②当x－2<0，即x<2时，不等式可化为(x－2)2≤4，所以0≤x<2.

1??

2．(2013·安徽高考)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为?x|x<－1或x>2?，则f(10x)>0的

?

?

解集为( )

A．{x|x<－1或x>lg 2} B．{x|－1－lg 2} D．{x|x<－lg 2}

1??

解析：选D 因为一元二次不等式f(x)<0的解集为?x|x<－1或x>2?，所以可设f(x)＝a(x

?

?

?x－1?(a<0)，由f(10x)>0可得(10x＋1)·?10x－1?<0，即10x<1，x<－lg 2. ＋1)·2??2??2

3．(2014·湖北八校联考)“00的解集是实数集R”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

??a>0，解析：选A 当a＝0时，1>0，显然成立；当a≠0时，?故ax2＋2ax＋2

??Δ＝4a－4a<0.

1>0的解集是实数集R等价于0≤a<1.因此，“00的解集是实数集R”的充分而不必要条件．

4．关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是( )

A．(4,5) C．(4,5]

B．(－3，－2)∪(4,5) D．[－3，－2)∪(4,5]

解析：选D 原不等式可能为(x－1)(x－a)＜0，当a＞1时得1＜x＜a，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a≤5，当a＜1时得a＜x＜1，则－3≤a＜－2，故a∈[－3，－2)∪(4,5]

5．(2013·洛阳诊断)若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是( ) 23

－，＋∞? A.??5?C．(1，＋∞)

23

－，1? B.??5?23－∞，－? D.?5??

解析：选B 由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根．

23

于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)≥0，f(1)≤0，解得a≥－，且a≤1，

523

－，1?. 故a的取值范围为??5?

6．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．

解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0

7．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－y)*(x＋y)<1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是________．

解析：由题意，知(x－y)*(x＋y)＝(x－y)·[1－(x＋y)]<1对一切实数x恒成立，所以－x2＋x＋y2－y－1<0对于x∈R恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y2－y－1)<0，所以4y2－4y－3<0，13

解得－

22

13

－，? 答案：??22?

8．不等式x2－2x＋3 ≤a2－2a－1在R上的解集是?，则实数a的取值范围是________． 解析：原不等式即x2－2x－a2＋2a＋4≤0，在R上解集为?， ∴Δ＝4－4(－a2＋2a＋4)＜0， 即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3. 答案：(－1,3)

9．设函数f(x)＝mx2－mx－1.

(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围； (2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围． 解：(1)要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0；

??m<0，

若m≠0，则??－4

?Δ＝m＋4m<0?

所以－4

(2)要使f(x)<－m＋5在[1,3]上恒成立，即 13

x－?2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立． m??2?4有以下两种方法：

13

x－?2＋m－6，x∈[1,3]． 法一：令g(x)＝m??2?4当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数， 所以g(x)max＝g(3)?7m－6<0， 66

所以m<，则0

77当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，

所以g(x)max＝g(1)?m－6<0，所以m<6，所以m<0.

??6?

?m<综上所述：m的取值范围是m?7?. ??

13

x－?2＋>0， 法二：因为x2－x＋1＝??2?4又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<6

因为函数y＝2＝

x－x＋1?

6

.

x2－x＋1

666

在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可． 1773x－?2＋?2?4

?6?

m

?

?

10．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n)． (1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集； 1

(2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f(x)与m的大小．

a解：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)， 当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)＞0， 即a(x＋1)(x－2)＞0.

那么当a＞0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|x＜－1，或x＞2}； 当a＜0时，不等式F(x)＞0 的解集为{x|－1＜x＜2}． (2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，

1

∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，∴x－m＜0,1－an＋ax＞0.

a∴f(x)－m＜0，即f(x)＜m. 第Ⅱ组：重点选做题

1．若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图像恒在x轴上方，则a的取值范围是( )

A．[1,19] C．[1,19)

B．(1,19) D．(1,19]

解析：选C 函数图像恒在x轴上方，即不等式 (a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0对于一切x∈R恒成立．

(1)当a2＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1.若a＝－5，不等式化为24x＋3>0，不满足题意；若a＝1，不等式化为3>0，满足题意．

(2)当a2＋4a－5≠0时，应有

2??a＋4a－5>0，? 22

?16?a－1?－12?a＋4a－5?<0.?

解得1

综上可知，a的取值范围是1≤a<19.

2．(2013·江苏高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．

解析：由于f(x)为R上的奇函数，所以当x＝0时，f(0)＝0；当x<0时，－x>0，所以f(－x－4x，x>0，??

x)＝x2＋4x＝－f(x)，即f(x)＝－x2－4x，所以f(x)＝?0，x＝0，

??－x2－4x，x<0.

2

?－x2－4x>x，?x－4x>x，??

由f(x)>x，可得?或?

?x>0?x<0，??

2

解得x>5或－5

所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞)

第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域

不等式 Ax＋By＋C＞0 Ax＋By＋C≥0 不等式组 2．线性规划中的基本概念 名称 约束条件 表示区域 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 包括边界直线 各个不等式所表示平面区域的公共部分 意义 由变量x，y组成的不等式(组) 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 可行域 最优解 满足线性约束条件的解(x，y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)．

2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．

[试一试]

x－y＋1≥0，??1．(2013·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件?x＋y－1≥0，

??x≤3，则z＝2x－3y的最小值是( ) A．－7 C．－5

B．－6 D．－3

解析：选B 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．

易知直线z＝2x－3y过点C时，z取得最小值．

???x＝3，?x＝3，由?得? ??x－y＋1＝0，y＝4，??

∴zmin＝2×3－3×4＝－6，故选B.

2．如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式________．

答案：x＋y－1>0

1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法

二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．

2．求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值的方法

azz

将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求

bbb出z的最值．

zz

(1)当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；

bbzz

(2)当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．

bb[练一练]

(2013·陕西高考)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域， 则2x－y的最小值是( )

A．－6 C．0

B．－2 D．2

??x?x≥0?

解析：选A 作出函数y＝|x|＝?和y＝2围成的等腰直角三

?－x?x＜0??

角形的可行域(如图阴影部分所示)，则可得过交点A(－2，2)时，2x－y取得最小值－6.

考点一 二元一次不等式(组)表示平面区域 x≥0，??

1.不等式组?x＋3y≥4，

??3x＋y≤4

所表示的平面区域的面积等于( )

3

A. 24C. 3

解析：选C 平面区域如图所示．

??x＋3y＝4，解?得A(1,1)， ??3x＋y＝4

2

B. 33 D. 4

40，?， 易得B(0,4)，C??3?48

|BC|＝4－＝.

33184

∴S△ABC＝××1＝.

233x－y≥0，??

2．若满足条件?x＋y－2≤0，

??y≥a整数的点，则整数a的值为( )

A．－3 C．－1

B．－2 D．0

的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是

解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点，故选C.

3．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．

解析：两直线方程分别为x－2y＋2＝0与x＋y－1＝0. 由(0,0)点在直线x－2y＋2＝0右下方可知x－2y＋2≥0， 又(0,0)点在直线x＋y－1＝0左下方可知x＋y－1≥0，

?x＋y－1≥0，?

即?为所表示的可行域． ??x－2y＋2≥0??x＋y－1≥0，答案：?

?x－2y＋2≥0?

[类题通法]

二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．

注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．

考点二

线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有：

?1?求线性目标函数的最值； ?2?求非线性目标的最值； ?3?求线性规划中的参数.

角度一 求线性目标函数的最值

y≤2x，??

1．(1)(2013·湖南高考)若变量x，y满足约束条件?x＋y≤1，

??y≥－1，5

A．－ 25C. 3

B．0 5 D. 2

求目标函数的最值

则x＋2y的最大值是( )

x－y＋1≥0，??

(2)如果函数x、y满足条件?y＋1≥0，

??x＋y＋1≤0，A．2 C．－2

那么z＝2x－y的最大值为( )

B．1 D．－3

解析：(1)选C 不等式组表示的平面区域为图中阴影部分．平行移动y12?11

＝－x＋z，可知该直线经过y＝2x与x＋y＝1的交点A??3，3?时，z有最大22145值为＋＝.

333

(2)选B 如图作出可行域，当z经过直线y＋1＝0与x＋y＋1＝0的交点(0，－1)时，zmax

＝1.

角度二 求非线性目标的最值

2x＋3y－6≤0，??

2．(1)(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组?x＋y－2≥0，

??y≥0示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．

解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM|的最小值为点O到直线x＋y－2＝0的距离，所以|OM|min＝

答案：2

x－y＋2≤0，??

(2)(2014·深圳调研)已知变量x，y满足约束条件?x≥1，

??2x＋y－8≤0，________．

解析：如图，画出可行域，易得A(2,4)，B(1,6)， ∴它们与原点连线的斜率分别为k1＝2，k2＝6， yy－0yy

又＝，∴k1≤≤k2，即2≤≤6. xx－0xx

|－2|

＝2. 2

所表

y

则的取值范围是x

答案：[2,6]

角度三 求线性规划中的参数

x≥2，??

3．(1)(2013·浙江高考)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足?x－2y＋4≥0，若z的最大值

??2x－y－4≤0.为12，则实数k＝________.

1

解析：已知不等式组可表示成如图的可行域，当0≤－k<时，直

2线y＝－kx＋z经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2(舍1

去)；当－k≥时，直线y＝－kx＋z经过点N(2,3)时z最大，所以2k

29

＋3＝12，解得k＝(舍去)；当－k<0时，直线y＝－kx＋z经过点M(4,4)

2时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合条件，综上可知，k＝2.

答案：2

x－y＋1≥0，??

(2)(2014·江西七校联考)已知实数x，y满足?x＋2y－8≤0，

??x≤3.最小值的唯一的可行解，则实数a的取值范围为________．

解析：记z＝ax－y，注意到当x＝0时，y＝－z，即直线z＝ax－y在y轴上的截距是－z.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合1

图形可知，满足题意的实数a的取值范围为a<－.

2

1

－∞，－? 答案：?2??[类题通法]

1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．

2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z＝ax＋by.

az

求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求bbz

直线的截距的最值间接求出z的最值．

b

(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2. y－b

(3)斜率型：形如z＝.

x－a注意：转化的等价性及几何意义．

考点三 线性规划的实际应用

5

3，?是使ax－y取得若点??2?

[典例] (2013·湖北高考)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )

A．31 200元

B．36 000元

C．36 800元 D．38 400元

[解析] 设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件为

36x＋60y≥900，??y－x≤7，?y＋x≤21，??x，y∈N，

作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值zmin＝36 800(元)．

[答案] C [类题通法]

求解线性规划应用题的注意点

(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、非负数等．

(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式． [针对训练]

某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )

A．1 800元 C．2 800元

B．2 400元 D．3 100元

解析：选C 设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润x＋2y≤12，??

为z元，则?2x＋y≤12，

??x≥0，y≥0，

z＝300x＋400y，在坐标平面内画出该不等式

组表示的平面区域及直线300x＋400y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝300x＋400y取得最大值，最大值是z＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．

[课堂练通考点]

??x－3y＋6≥0，

1．(2014·长春模拟)不等式组?表示的平面区域是( )

?x－y＋2<0?

解析：选B x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0以及该直线下方的区域，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0上方的区域，故选B.

x≥1??

2．(2013·北京市海淀区期中练习)不等式组?x＋y－4≤0

??kx－y≤0域，则k的值为( )

A．－2 C．0

B．－1 D．1

表示面积为1的直角三角形区

解析：选D 注意到直线kx－y＝0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合题意得直线kx－y＝0与直线x＋y－4＝0垂直时满足题意，于是有k×(－1)＝－1，由此解得k＝1，选D.

3．(2014·泉州质检)已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件

??x＋|y|≤1，

?OP的最大值为( ) 则z＝OA·?x≥0，?

A．－2 C．1

解析：选D 如图作可行域，

B．－1 D．2

OP＝x＋2y，显然在B(0,1)z＝OA·处zmax＝2.故选D. x＋y≤8，

??2y－x≤4，

约束条件?x≥0，

??y≥0，

4．(2013·四川高考)若变量x，y满足

且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )

A．48 C．24

x＋y≤8，

??2y－x≤4，

解析：选C 约束条件?x≥0，

??y≥0

B．30 D．16

表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)为顶点的四边形

区域，检验四个顶点的坐标可知，当x＝4，y＝4时，a＝zmax＝5×4－4＝16；当x＝8，y＝0时，b＝zmin＝5×0－8＝－8，∴a－b＝24.

?? x－y≥－1，

5．(2013·安徽高考)若非负变量x，y满足约束条件?则x＋y的最大值为

?x＋2y≤4，?

________．

解析：画出可行域是如图所示的四边形OABC的边界及内部，令z＝x＋y，易知当直线y＝－x＋z经过点C(4,0)时，直线在y轴上截距最大，目标函数z取得最大值，即zmax＝4.

答案：4

x≥0，??

6．(2013·北京高考)设D为不等式组?2x－y≤0，

??x＋y－3≤0点(1,0)之间的距离的最小值为________．

解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0)|2×1－0|2525

到直线2x－y＝0的距离最小，d＝＝，故最小距离为. 5522＋1

25

答案：

5

[课下提升考能]

第Ⅰ组：全员必做题

1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为( ) A．(－24,7)

C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)

B．(－7,24)

D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)

所表示的平面区域，区域D上的点与

解析：选B 根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0. 即(a＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24. x≤2，??

2．已知实数对(x，y)满足?y≥1，

??x－y≥0，A．6 C．(2,2)

则2x＋y取最小值时的最优解是( )

B．3 D．(1,1)

解析：选D 约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z＝2x＋y，y＝－2x＋z，作初始直线l0：y＝－2x，作与l0平行的直线l，则直线经过点(1,1)时，(2x＋y)min＝3.

x＋2y≥2，??

3．(2012·山东高考)设变量x，y满足约束条件?2x＋y≤4，

??4x－y≥－1，取值范围是( )

3

－，6? A.??2?C．[－1,6]

3

－，－1? B.??2?3－6，? D.?2??

则目标函数z＝3x－y的

解析： 选A 不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义是直线在y轴上截距的相反数，其最大值在点A(2,0)处取1?3

，3处取得，即最大值为6，最小值为－. 得，最小值在点B??2?2

y≥1，??

4．(2013·北京西城一模)实数x，y满足?y≤2x－1，

??x＋y≤m，函数z＝x－y的最小值为－2，则实数m的值为( )

A．5 C．7

B．6 D．8

如果目标

??y≥1，

解析：选D 先作出满足不等式组?的区域如图．

?y≤2x－1?

由z＝x－y得y＝x－z可知，直线的截距最大时，z取得最小值，此时直线y＝x－(－2)

?y＝2x－1，?x＝3，??

＝x＋2，作出直线y＝x＋2，交y＝2x－1于A点，由?得?代入x＋y＝m

??y＝x＋2，y＝5，??

得m＝3＋5＝8，故选D.

x＋y≤a??

5．(2014·辽宁六校联考)设变量x，y满足约束条件?x＋y≥8，

??x≥6成立，则实数a的取值范围是( )

A．[8,10] C．[6,9]

B．[8,9] D．[6,10]

且不等式x＋2y≤14恒

解析：选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a≥8，否则可行域无

意义．由图可知x＋2y在点(6，a－6)处取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10，故选A.

x－y＋2≥0??

6．(2014·江南十校联考)若不等式组?ax＋y－2≤0表示

??y≥0a的值是________．

12?

＋2×2解析： 作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S＝×?2?a?＝3，解得a＝2.

答案：2

x＋4y≥4，??

7．(2013·广东高考)给定区域D：?x＋y≤4，

??x≥0，

的平面区域的面积为3，则实数

令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，

y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．

解析：解决本题的关键是要读懂数学语言，x0，y0∈Z，说明x0，y0是整数，作出图形可知，△ABF所围成的区域即为区域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的点，B，C，D，E，F是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线．

答案：6

3x－5y＋6≥0，??

8．(2014·郑州质检)若x，y满足条件?2x＋3y－15≤0，

??y≥0y取得最小值，则实数a的取值范围是________．

解析：画出可行域，如图，直线3x－5y＋6＝0与2x＋3y－15＝0交于点M(3,3)，由目标函数z＝ax－y，得y＝ax－z，纵截距为－z，当

当且仅当x＝y＝3时，z＝ax－

23

z最小时，－z最大．欲使纵截距－z最大，则－

35

23

－，? 答案：??35?

x－4y＋3≤0，??

9．变量x，y满足?3x＋5y－25≤0，

??x≥1，(1)设z＝4x－3y，求z的最大值； y

(2)设z＝，求z的最小值．

xx－4y＋3≤0，??

解：(1)由约束条件?3x＋5y－25≤0，

??x≥1，

作出(x，y)的可行域如图所示． 4z

由z＝4x－3y，得y＝x－. 33

4zz

求z＝4x－3y的最大值，相当于求直线y＝x－在y轴上的截距－的最小值．

33344zz

平移直线y＝x知，当直线y＝x－过点B时，－最小，z最大．

3333

?x－4y＋3＝0，?

由?解得B(5,2)． ?3x＋5y－25＝0，?

故zmax＝4×5－3×2＝14. yy－0(2)∵z＝＝.

xx－0

2

∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝. 5

10．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．

(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y， 所以利润w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.

5x＋7y＋4?100－x－y?≤600，??

(2)约束条件为?100－x－y≥0，

??x≥0，y≥0，x，y∈N.x＋3y≤200，??

整理得?x＋y≤100，

??x≥0，y≥0，x，y∈N.目标函数为w＝2x＋3y＋300. 作出可行域．如图所示：

初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，w有最大值．

???x＋3y＝200，?x＝50，由?得? ?x＋y＝100，???y＝50.

最优解为A(50,50)，所以wmax＝550元．

所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最，最大为利润550元． 第Ⅱ组：重点选做题

2x－y＋1＞0，??1．(2013·北京高考)设关于x，y的不等式组?x＋m＜0，

??y－m＞0P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2.求得m的取值范围是( )

4

－∞，? A.?3??

2

－∞，－? C.?3??

1

－∞，? B.?3??5－∞，－? D. ?3??

表示的平面区域内存在点

解析：选C 问题等价于直线x－2y＝2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(－m，m)不可能在第一和第三象限，而直线x－2y＝2经过第一、三、四象限，则点(－m，m)只能在第四象限，可得m＜0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x－2y＝2与阴影部

分有公共点，则点(－m，m)在直线x－2y－2＝0的下方，由于坐标原点使得x－2y－2＜0，2

故－m－2m－2＞0，即m＜－. 3

x≥0，??

2．记不等式组?x＋3y≥4，

??3x＋y≤4则a的取值范围是________．

所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，

解析：画出可行域，易知直线y＝a(x＋1)过定点(－1,0)，当直线y＝1

a(x＋1)经过x＋3y＝4与3x＋y＝4的交点(1,1)时，a取得最小值；当直线

2y＝a(x＋1)经过x＝0与3x＋y＝4的交点(0,4)时，a取得最大值4，故a的1?

取值范围是??2，4?.

1?

答案：??2，4?

第四节基本不等式

a＋b1．基本不等式ab≤ 2

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．算术平均数与几何平均数

a＋b

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：

2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

3．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则：

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小) p2

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)

4

1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件． 2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性． [试一试]

a＋b

1．“a>0且b>0”是“≥ab”成立的( )

2

A．充分不必要条件 C．充要条件 答案：A

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知0

1 B. 22 D. 3

1193

解析：选B 由00，则x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当33441

3x＝3－3x，即x＝时等号成立．

2

1．活用几个重要的不等式

ba

a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号)．

aba＋b?2a＋b?2a＋bab≤?(a，b∈R)；??2??2?≤2(a，b∈R)． 2．巧用“拆”“拼”“凑”

在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

[练一练] 若x>1，则x＋

4

的最小值为________． x－1

2

2

44

解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.

x－1x－14

当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．

x－1答案：5

考点一 利用基本不等式证明不等式 [典例] 已知a>0，b>0，a＋b＝1， 11

1＋??1＋?≥9. 求证：??a??b?

[证明] 法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1， a＋b1b1a

∴1＋＝1＋＝2＋.同理，1＋＝2＋.

aaabb

11ba1＋??1＋?＝?2＋??2＋? ∴??a??b??a??b?ba?ba

＋≥5＋4＝9，当且仅当＝， ＝5＋2??ab?ab1

即a＝b＝时取“＝”．

2

111

1＋??1＋?≥9，当且仅当a＝b＝时等号成立． ∴??a??b?211111

1＋??1＋?＝1＋＋＋ 法二：??a??b?ababa＋b12

＝1＋＋＝1＋，

ababab∵a，b为正数，a＋b＝1， ∴ab≤?

a＋b?211

＝，当且仅当a＝b＝时取“＝”．

2?2?4

121

于是≥4，≥8，当且仅当a＝b＝时取“＝”．

abab211

1＋??1＋?≥1＋8＝9， ∴??a??b?1

当且仅当a＝b＝时等号成立．

2[类题通法]

利用基本不等式证明不等式的方法技巧

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．

[针对训练]

11

设a，b均为正实数，求证：2＋2＋ab≥22.

ab证明：由于a、b均为正实数， 11所以2＋2≥2

ab

112·＝， a2b2ab

11

当且仅当2＝2，即a＝b时等号成立，

ab2

又因为＋ab≥2

ab

2·ab＝22， ab

2

当且仅当＝ab时等号成立，

ab112

所以2＋2＋ab≥＋ab≥22，

abab

?当且仅当?2

?ab＝ab，

考点二 11＝，a2b2

4即a＝b＝2时取等号．

利用基本不等式求最值 a[典例] (1)(2013·四川高考)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则

xa＝________.

a

[解析] f(x)＝4x＋≥2

x则由题意知a＝4×32＝36.

[答案] 36

21

(2)(2014·长春调研)若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实

xy数m的取值范围是________．

21?4yx4yx＋＝2＋＋＋2≥8，当且仅当＝， [解析] x＋2y＝(x＋2y)??xy?xyxy即x＝2y＝4时等号成立．由x＋2y>m2＋2m恒成立， 可知m2＋2m<8，m2＋2m－8<0，解得－4

z

(3)(2013·山东高考改编)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则的最小值为

xy________．

[解析] z＝x2－3xy＋4y2(x，y，z∈R)，

＋

aa

4x·＝4a(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即a＝4x2时取等号，xx

22

zx－3xy＋4yx4y∴＝＝＋－3≥2xyxyyx

x4y·－3＝1. yx

x4y

当且仅当＝，即x＝2y＝4时“＝”成立．

yx[答案] 1

z在(3)的条件中，当取最小值时，求x＋2y－z的最大值. xy z解：由(3)知当取最小值时x＝2y.

xy∴z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，

∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y＝－2(y－1)2＋2. ∴当y＝1时，x＋2y－z取最大值2. [类题通法]

两个正数的和与积的转化

基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．

a

注意：形如y＝x＋(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再

x利用该函数的单调性求解．

[针对训练]

(1)当x＞0时，则f(x)＝

2x

的最大值为________． x＋1

2(2)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．

(3)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________． 解析：(1)∵x＞0，

2x22∴f(x)＝2＝≤＝1，

12x＋1

x＋x1

当且仅当x＝，即x＝1时取等号．

x(2)由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1，

a＋2b

即ab≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3(当且仅当3a＝32b，即a＝2b时取等号)．

2又∵a＋2b≥22ab≥4(当且仅当a＝2b时取等号)， ∴3a＋9b≥2×32＝18.

即当a＝2b时，3a＋9b有最小值18.

(3)由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥22xy，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，即m≤10.故m的最大值为10.

答案：(1)1 (2)18 (3)10

考点三 基本不等式的实际应用 [典例] 某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年k产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则

m＋1该产品的年销售量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元．每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ [解] (1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)， ∴1＝3－k?k＝2，∴x＝3－

2

， m＋18＋16x

(元)， x

每件产品的销售价格为1.5×

8＋16x

∴2013年的利润y＝1.5x×－8－16x－m

x16?＝－m＋1＋?m＋1??＋29(m≥0)． ??(2)∵m≥0时，

16

＋(m＋1)≥216＝8， m＋1

∴y≤－8＋29＝21，

16

当且仅当＝m＋1?m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．

m＋1

故该厂家2013年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． [类题通法]

利用基本不等式求解实际应用题的方法

(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．

(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．

[针对训练]

(2013·湖南省五市十校联合检测)某化工企业2012年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．

(1)用x表示y；

(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．

100＋0.5x＋?2＋4＋6＋?＋2x?

解：(1)由题意得，y＝，

x100

即y＝x＋＋1.5(x∈N*)．

x(2)由基本不等式得： 100

y＝x＋＋1.5≥2x

100x·＋1.5＝21.5， x

100

当且仅当x＝，即x＝10时取等号．

x

故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．

[课堂练通考点]

1

1．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有 ( )

xA．最大值为0 C．最大值为－4

B．最小值为0 D．最小值为－4

1?1??－x?＋解析：选C ∵x＜0，∴f(x)＝－ －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，?－x???－x即x＝－1时取等号．

2．(2013·重庆高考改编)?3－a??a＋6?(－6

9 B. 232 D. 2

解析：选B ∵－60，a＋6>0， ∴?3－a??a＋6?≤

?3－a＋a＋6?2＝9，

2??2

3

当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时取等号，

239

∴当a＝－时，?3－a??a＋6?有最大值. 22

3．(2013·福建高考)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( ) A．[0,2] C．[－2，＋∞)

B．[－2,0] D．(－∞，－2]

1＋＋解析：选D ∵2x＋2y≥22x·2y＝22xy(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴2xy≤，∴

21＋

2xy≤，得x＋y≤－2.

4

4.?创新题?已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为22，则2a7＋a11的最小值为________．

解析：由已知a4a14＝(22)2＝8. 再由等比数列的性质有a4a14＝a7a11＝8. 又∵a7>0，a11>0， ∴2a7＋a11≥22a7a11＝8.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hma3.html