分数阶Lorenz超混沌系统及其电路仿真

外文文献

研究乌设计

电子测量技术

ＥＬＥＣＴＲ（）ＮＩＣ

第３３卷第５期２０１０年５月

ＭＥＡＳＵＲＥＭＥＮＴ

ＴＥＣＨＮＯＩ，０ＧＹ

分数阶Ｌｏｒｅｎｚ超混沌系统及其电路仿真

崔

力

欧青主

徐兰霞

湘潭４１１２０１）

（湖南科技大学信息与电气工程学院

擒耍：在Ｌｏｒｅｎｚ超混沌系统的基础上提出了分数阶超混沌系统．通过数值仿真、研究了系统的基本动力学特性，分析了在不同参数条件下的吸引子相图。设计了硬件电路并运用ＥＷＢ软件对该电路进行仿真，电路仿真说明分数阶电路是可以实现的。

关键词：分数阶；超混沌；ＥＷＢ中图分类号：ＴＮ９２

文献标识码：Ａ

ＦｒａｃｔｉｏｎａｌｏｆｈｙｐｅｒｃｈａｏｔｉｃＬｏｒｅｎｚｓｙｓｔｅｍａｎｄｃｉｒｃｕｉｔｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ

ＣｕｉＬｉ

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ＸｕＬａｎｘｉａ

ａｎｄ

ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ。ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ

Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ

Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｉａｎｇｔａｎ

４１１２０１）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｆｒａｃｔｉｏｎａｌ－ｏｒｄｅｒｈｙｐｅｒｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍｂａｓｅｄ

ｏｎ

Ｌｏｒｅｎｚｈｙｐｅｒｃｈａｏｔｉｅｓｙｓｔｅｍｗａｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅｂａｓｉｃｄｙｎａｍｉｃ

ａｔｔｒａｃｔ

ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｗｅｒｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄｖｉａｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔａｎａｌｙｚｅｄｗｈｅｎｅａｃｈ

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ｄｉａｇｒａｍｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｗｅｒｅ

ｈａｒｄｗａｒｅｃｉｒｃｕｉｔｗａｓｄｅｓｉｇｎｅｄ。ａｎｄｉｔｗａｓｓｉｍｕｌａｔｅｄｂｙｔｈｅ

ＥＷＢ

ｓｏｆｔｗａｒｅ．Ｆｉｎａｌｌｙｔｈｅｃｉｒｃｕｉｔｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌｏｒｄｅｒｃｉｒｃｕｉｔｃｏｕｌｄｂｅｒｅａｌｉｚｅｄ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｒａｃｔｉｏｎａｌｏｒｄｅｒｈｙｐｅｒｃｈａｏｔｉｃ；ＥＷＢ

Ｏ

引言

一）十伽鲁一一ａ（ｘ—Ｙ）＋伽万一一

分数阶倒数与分数阶积分的最基本特征是记忆效应，使得系统的历史信息对其现在和未来都产生影响，因而可提高控制精度，它扩展了整数阶微分方程的能力，是整数阶微分方程的推广。分数阶微分方程不仅为研究提供了新的数学丁具，而且为系统提供了更完善的模型。

早几年，混沌理论的研究主要集中在整数阶混沌系统，但是有些实际的系统是以分数阶形式存在的。整数阶混沌系统是对实际混沌系统的理想化处理，因此研究分数阶混沌系统更具有实际价值。自从２０世纪６０年代Ｌｏｒｅｎｚ发现了第一个混沌的物理模型，成为了后人研究混沌的｝ｎ发点和基石［１］。本文通过对分数阶Ｌｏｒｅｎｚ超混沌系统的数值仿真，Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数等的研究，分析了系统的动力学特性，验证了系统的混沌特性和稳定性，应用ＥＷＢ实现了系统仿真和保密通信系统仿真。

Ｘ，ｙ，ｚ，硼为系统状态变量，本文研究当０＜口＜１，ａ一１０，ｂ＝８／３，ｄ＝１．３，ｒ一２８时，系统（１）处在的状态。根据平衡点所对应的稳定性分析了系统（１）的平衡点，使系统（１）的左边等于零，即

一口（ｚ—ｙ）＋叫一０

参＝一嚣＋船一ｙ

丝：ｚｖ一次一ｄｔｑ２驯一钯

粤一一膨＋妣可一一膨十彻

（１）

一双＋ｒｘ—Ｙ＝０

ｘｙ——ｂｚ＝０

１分数阶超混沌系统分析

本文在文献Ｅ２－１的基础上提出一个新的分数阶Ｌｏｒｅｎｚ超混沌系统，其状态方程为：

一戏＋ｄｗ一０

（２）

式（２）解为（ｏ，０，０，ｏ）和（千５７５．９２９６ｉ，千２５．５９６８ｉ，

士３１．９９６０ｉ，２９．２５）。

１３

万方数据

外文文献

第３３卷电子测量技术

平衡点为（０，０，０，０），对应平衡点的特征值为（一２２．８２７７，１１．８２７７，一２８，１．３）。

很明显：当口＜１时，特征值Ａ满足Ｉａｒｇ（Ａ）ｌ＞警，受

厶

控系统渐近稳定。

利用耗散性证明系统（１）吸引子的存在性

ｖＶ＝氅＋掣＋譬＋掣一一口一１—６＋ｄ＜０，体

ｄ－ｚ

ａｙ

ｄｚ

Ｏ＇Ｔ．Ｏ

积元是收缩的，平衡点是局部渐近稳定的。

根据Ｒｏｕｔｈ—Ｈｕｒｗｉｔｚ条件口］，所有的特征值都具有负实部时平衡点才稳定，所以存在吸引子。

由于超混沌具有局部不稳定性，但是整体具有稳定性，所以在初始状态改变的情况下，具有完全不同的运动状态。该分数阶系统具有耗散作用，则总系统能量随时间

增大而收敛为一吸引子，从而是平衡点渐近稳定。其实对

于弱混沌振荡系统来说，即使平衡点是渐近稳定的，也可能需要施加控制使闭环系统具有更好的稳定性，提高它的控制性能。

进行数值分析我们经过多次尝试选取初值为（０，０，１．５，１），步长为０．０１，采用Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ离散化算法，０＜口＜１，迭代８０００次得到的混沌吸引子。

分数阶Ｌｏｒｅｎｚ超混沌系统（１）在不同条件下的吸引子相图如图１所示。

≈５－２０－１５－１０－５

０

５

１０１５

２０２５

Ｘ

（ａ）系统（１）的．ｉ＇－ｙ平面相图

（ｂ）ｙ－ｚ平面相图

１４

万方数据

（ｃ）＊２７－Ｚ平面相图

（ｄ）ｙｒｔｃ，三维空间相图

图１当ｇ一０．９时，系统（１）混沌吸引子图

（ａ）系统（１）的ｘ－ｙ平面相图

Ｊ，

（ｂ）ｙｚ平面相图

外文文献

崔力等：分数阶Ｌｏｒｅｎｚ超混沌系统及其电路仿真第５期

２分数阶超混沌电路实现

本文在Ｌｏｒｅｎｚ超混沌系统上，应用分数微分理论实现了ｑ；０．９时的分数阶超混沌，基于ＥＷＢ软件对这个超混沌系统设计了分数阶振荡器电路，并进行了电路仿真。结果表明电路仿真实验结果和数值分析结果相符。通过分数阶超混沌电路仿真证实了分数阶超混沌的存在性，也证实了超混沌系统固有的更为复杂的分数阶系统非线性动力学特征。为分数阶微积分理论在超混沌振荡器电路设

－２０—１５—１０一５

２

５１０１５２０

计与研究中的应用提供了实例。

在分数阶微积分理论发展过程中，最常用的是Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ定义的分数阶微积分，其数学表达式：

（ｃ）ｒｚ平面相图

…朋岬。坐ｇ堕一志嘉Ｃ石器ｄｒ，其中ｒ（．）为伽马

出９

Ｊ１（，ｌ—ｑ）山。Ｊｏ（￡～ｒ）口＿讲１

‘，丌’

函数，０＜ｑ＜２，ｑ为分数，卵为整数。上式是分数阶微分和积分的统一表达形式，它显示了分数阶微积分具有延时特性，所以分数阶微积分更适合电路系统描

述。上式的拉氏变换为：Ｌｆ尘象竽）一ｓｑＬ｛ｆ（ｔ）｝一Ｉ～

曼，『喾］

Ｉ。ｏ

Ｊ

，若时域函数，（ｔ）的初始值均为

Ｌ

ｕ’

Ｊ‘－ｏ

（ｄ）ｙｒ伽三维空间相图

图２当ｑ一０．７时，系统（１）混沌吸引子图

零，则

Ｌｆ掣ｌ＿删凡）｝

（３）

图３

口＝０．９时的Ｌｏｒｅｎｚ超混沌分数阶电路

１５

万方数据

外文文献

第３３卷

电子测分数阶微积分求解的方法很多，目前用的最多的是时

域和复频域转换法。分数阶单元电路设计采用文献［４—５］

中的了１的近似电路的设计方法。

，

以口一ｏ．９为例ｔ由文献［３］可知刍的传递函数为：

１

２．２６７５（ｓ＋１．２９２）（ｓ＋２１５．４）…

，．、

ｓ“９

（ｓ＋０．０１２９２）（ｓ＋２．１５４）（ｓ＋．５９．４）

设计的分数阶单元电路Ｈ４］，电路元器件参数如图３所示时，Ｒ。；６３．１

ＭＱ，Ｒ：＝１．５９８ＭＱ，Ｒ。＝０．０１４

ＭＱ，Ｃｌ一０．４５４２肛Ｆ，ｃ２＝０．４８７０ｇＦ，Ｃ３＝０．３２８５

ｇＦ。示波器观测到混沌吸引子的相图，结果与

数值仿真图基本一致。通过上述理论分析和仿真实验可以证实，本文提出的分数阶Ｌｏｒｅｎｚ超混沌系统，它具有一切混沌共有的特性。

（ａ）Ｘ－Ｚ平面相图

（ｂ）ｘ－ｙ平面相图

（ｃ）ｙ－ｚ平面相图

图４

ｑ一０．９时系统（１）电路仿真相图

１６

万方数据

量技术

３

结

论

本文研究了分数阶Ｌｏｒｅｎｚ超混沌系统，分析了该系统的稳定性及存在性，给出了相应的电路实现原理图，得到了

仿真结果。从数值仿真结果和电路仿真结果分析比较，混沌吸引子相图基本一致，说明用分数阶这个数学工具能精

确的描述该混沌系统，同时该系统是可以用电路实现的。

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