甘肃省河西五地市2015届高三第一次联考数学文试题 Word版含解析

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甘肃省河西五地市2015届高三第一次联

考

数学(文) 试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合M={x|x+3x+2＜0}，集合

2

，则M∪N=（ ）

A． {x|x≥﹣2} B． {x|x＞﹣1} C． {x|x＜﹣1} D． {x|x≤﹣2}

【考点】： 并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的解法． 【专题】： 计算题． 【分析】： 根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．

2

【解析】： 解：∵集合M={x|x+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}， 集合

={x|2≤2}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，

﹣x

2

∴M∪N={x|x≥﹣2}， 故选A． 【点评】： 本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．

2．（5分）下面是关于复数

的四个命题：

p1：|z|=2，

2

p2：z=2i，

p3：z的共轭复数为﹣1+i， p4：z的虚部为1． 其中真命题为（ ）

A． p2，p3 B． p1，p2 C． p2，p4 D． p3，p4

【考点】： 命题的真假判断与应用；复数代数形式的乘除运算． 【专题】： 计算题；函数的性质及应用． 【分析】： 求出|z|，可判断p1的真假；化简z，可判断p2的真假；共轭复数为1﹣i，z的虚部为1，由此可得结论． 【解析】： 解：p1：|z|=p2：z=

2

2

，可得z的

=，故命题为假；

==2i，故命题为真；

，∴z的共轭复数为1﹣i，故命题p3为假；

- 1 -

∵

，∴p4：z的虚部为1，故命题为真．

故真命题为p2，p4 故选B． 【点评】： 本题考查命题真假的判定，考查复数知识，考查学生的计算能力，属于基础题． 3．（5分）下列推断错误的是（ ） A． 命题“若x﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x﹣3x+2≠0”

22

B． 命题p：存在x0∈R，使得x0+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x+x+1≥0 C． 若p且q为假命题，则p，q均为假命题

2

D． “x＜1”是“x﹣3x+2＞0”的充分不必要条件

【考点】： 命题的真假判断与应用． 【专题】： 简易逻辑．

2

【分析】： A，写出命题“若x﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题，可判断A；

2

B，写出命题p：“存在x0∈R，使得x0+x0+1＜0”的否定￢p，可判断B； C，利用复合命题的真值表可判断C；

2

D，x﹣3x+2＞0?x＞2或x＜1，利用充分必要条件的概念可判断D．

22

【解析】： 解：对于A，命题“若x﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x﹣3x+2≠0”，正确；

对于B，命题p：存在x0∈R，使得x0+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x+x+1≥0，正确； 对于C，若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误；

22

对于D，x﹣3x+2＞0?x＞2或x＜1，故“x＜1”是“x﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，正确． 综上所述，错误的选项为：C， 故选：C． 【点评】： 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的理解与应用，考查复合命题与充分必要条件的真假判断，属于中档题． 4．（5分）若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）

2

2

2

2

A． B． C． D． 6

【考点】： 由三视图求面积、体积． 【专题】： 计算题；压轴题；图表型． 【分析】： 由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，其高已知，底面正三角形的高为，故先解三角形求出底面积，再由体积公式求解其体积即可． 【解析】： 解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是，

- 2 -

设底面边长为a，则故三棱柱体积

，∴a=6，

．

故选B 【点评】： 本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是本棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．

5．（5分）已知平面向量与的夹角为

，且||=1，|+2|=2

，则||=（ ）

A． 1 B． C． 2 D． 3

【考点】： 平面向量数量积的运算；向量的模． 【专题】： 计算题；平面向量及应用． 【分析】： 利用|+2|求解即可．

【解析】： 解：∵|+2|=2

2

222

+4?+4

2

=12，根据向量数量积的运算，化简得出关于||的方程，

，∴|+2|=12，即

2

22

+4?+4

2

=12，∴

||+4||×1×cos60°+4×1=12，化简得||+2||﹣8=0，解得||=2， 故选：C． 【点评】： 本题考查向量模的计算，向量数量积的计算，属于基础题．

6．（5分）函数y=a上，则

1﹣x

（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）

的最小值为（ ）

A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

【考点】： 基本不等式． 【专题】： 不等式的解法及应用．

【分析】： 函数y=a（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），由于点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，可得m+n=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解析】： 解：函数y=a（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1）， ∵点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上， ∴m+n=1． 则

=（m+n）

=2+

=4，当且仅当m=n=时取等号．

1﹣x1﹣x

故选：B． 【点评】： 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、指数函数的性质，属于基础题．

- 3 -

7．（5分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（ ） A． 6 B． 5 C． 3 D． 4

【考点】： 等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和． 【专题】： 等差数列与等比数列． 【分析】： 由等比数列的性质可得a1?a8=a2?a7=…a4?a5=10，由对数的运算性质，整体代入计算可得．

【解析】： 解：∵等比数列{an}中a4=2，a5=5， ∴a4?a5=2×5=10，

∴数列{lgan}的前8项和S=lga1+lga2+…+lga8

4

=lg（a1?a2…a8）=lg（a4?a5） =4lg（a4?a5）=4lg10=4 故选：D． 【点评】： 本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查．

8．（5分）已知集合

2

2

表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一

点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x+y≤2的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】： 几何概型；简单线性规划． 【专题】： 概率与统计． 【分析】： 作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【解析】： 解：作出不等式组对应的平面区域如图， 则对应的区域为△AOB， 由

，解得

，即B（4，﹣4），

由，解得，即A（，），

直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0）， 则△OAB的面积S=

2

2

=，

，

点P的坐标满足不等式x+y≤2区域面积S=

- 4 -

则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x+y≤2的概率为

22

=，

故选：D

【点评】： 本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据几何概型的概率公式进行求解． 9．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示． x ﹣1 0 2 3 4 f（x） 1 2 0 2 0

当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（ ）

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

【考点】： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性． 【专题】： 数形结合；导数的概念及应用． 【分析】： 根据导函数图象，画出原函数的草图，利用1＜a＜2，即可得到函数y=f（x）﹣a的零点的个数． 【解析】： 解：根据导函数图象，可得1是函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示

- 5 -

因为f（0）=f（3）=2，1＜a＜2，

所以函数y=f（x）﹣a的零点的个数为4个 故选C． 【点评】： 本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．

10．（5分）定义行列式运算：

．若将函数

的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二阶行列式与逆矩阵． 【专题】： 计算题；新定义；三角函数的图像与性质． 【分析】： 由定义的行列式计算得到函数f（x）的解析式，化简后得到y=f（x+m）的解析式，由函数y=f（x+m）是奇函数，则x取0时对应的函数值等于0，由此求出m的值，进一步得到m的最小值． 【解析】： 解：由定义的行列式运算，得

=

==

=．

将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后， 所得图象对应的函数解析式为由该函数为奇函数，得所以

，则m=

，

．

．

- 6 -

当k=0时，m有最小值．

故选C． 【点评】： 本题考查了二阶行列式与矩阵，考查了函数y=Asin（ωx+Φ）的图象变换，三角函数图象平移的原则是“左加右减，上加下减”，属中档题． 11．（5分）（2012?四川）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（ ） A． B． C． 4 D．

【考点】： 抛物线的简单性质． 【专题】： 计算题．

【分析】： 关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．

2

【解析】： 解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y=2px（p＞0） ∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3， ∴2+=3

∴p=2

2

∴抛物线方程为y=4x ∵M（2，y0） ∴

∴|OM|= 故选B． 【点评】： 本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程． 12．（5分）设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）?f（y）=f（x+y），若a1=，an=f（n）（n∈N），则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是（ ） A． [，2） B． [，2] C． [，1） D． [，1]

【考点】： 抽象函数及其应用． 【专题】： 函数的性质及应用；等差数列与等比数列．

【分析】： 根据f（x）?f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得数列{an}是以为首项，以为等比的等比数列，进而可以求得Sn，进而Sn的取值范围． 【解析】： 解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）?f（y）=f（x+y）， ∴令x=n，y=1，得f（n）?f（1）=f（n+1）， 即

=

=f（1）=，

*

- 7 -

∴数列{an}是以为首项，以为等比的等比数列， ∴an=f（n）=（），

n

∴Sn==1﹣（）∈[，1）．

n

故选C．

【点评】： 本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，y∈R，都有f（x）?f（y）=f（x+y）得到数列{an}是等比数列，属中档题．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分） 13．（5分）定义某种运算?，S=a?b的运算原理如图；则式子5?3+2?4= 14 ．

【考点】： 选择结构． 【专题】： 图表型． 【分析】： 通过程序框图判断出S=a?b的解析式，求出5?3+2?4的值． 【解析】： 解：有框图知S=a?b=

∴5?3+2?4=5×（3﹣1）+4×（2﹣1）=14 故答案为14 【点评】： 新定义题是近几年常考的题型，要重视．解决新定义题关键是理解题中给的新定义．

14．（5分）若tanθ+

=4，则sin2θ= ．

【考点】： 二倍角的正弦． 【专题】： 三角函数的求值． 【分析】： 先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求． 【解析】： 解：若tanθ+

=4，则

- 8 -

sin2θ=2sinθcosθ=====，

故答案为 ．

【点评】： 本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．

15．（5分）（2012?辽宁）已知双曲线x﹣y=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为 ．

【考点】： 双曲线的简单性质． 【专题】： 计算题；压轴题．

22

【分析】： 根据双曲线方程为x﹣y=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1⊥PF2，所以

222

|PF1|+|PF2|=|F1F2|．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得

2

（|PF1|+|PF2|）=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为． 【解析】： 解：∵PF1⊥PF2，

222

∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|．

22

∵双曲线方程为x﹣y=1， 22222

∴a=b=1，c=a+b=2，可得F1F2=2

222

∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|=8

22

又∵P为双曲线x﹣y=1上一点，

2

∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）=4

2222

因此（|PF1|+|PF2|）=2（|PF1|+|PF2|）﹣（|PF1|﹣|PF2|）=12 ∴|PF1|+|PF2|的值为 故答案为： 【点评】： 本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．

16．（5分）已知曲线y=（a﹣3）x+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x﹣ax﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为

．

3

3

2

2

2

【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 【专题】： 导数的综合应用．

【分析】： 根据曲线y=（a﹣3）x+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，利用f（x）=x

2

﹣ax﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立．

3

【解析】： 解：因为y=（a﹣3）x+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即y'=

3

3

3

在x＞0时有解，

所以3（a﹣3）x+1=0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．

32

函数f（x）=x﹣ax﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，

- 9 -

即f'（x）=3x﹣2ax﹣3≤0恒成立，即因为函数

在[1，2]上单调递增，所以函数

，

所以综上故答案为：

，所以．

． ．

2

， 的最大值为

【点评】： 本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．

三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB． （Ⅰ）求cosB的值； （Ⅱ）若

，且

，求a和c的值．

【考点】： 正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理． 【专题】： 计算题；转化思想． 【分析】： （1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．

22

（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a+b=12，再根据完全平方式易得a=c=． 【解析】： 解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB， 故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB， 可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB， 即sin（B+C）=3sinAcosB，

可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0， 因此（II）解：由

．（6分）

，可得accosB=2， ，

由b=a+c﹣2accosB， 22

可得a+c=12，

2

所以（a﹣c）=0，即a=c， 所以．（13分）

2

2

2

- 10 -

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