高考数学新增分大一轮新高考：第七章 7.1 不等关系与不等式

§7.1 不等关系与不等式

最新考纲 1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景．

1．两个实数比较大小的方法 a－b>0?a>b??

(1)作差法?a－b＝0?a＝b

??a－b<0?a

(a，b∈R)

??a

(2)作商法?b＝1?a＝b

a??b<1?a

2．不等式的基本性质

a

>1?a>bb

(a∈R，b>0)

性质 对称性 传递性 可加性 可乘性 性质内容 a>b?bb，b>c?a>c a>b?a＋c>b＋c 特别提醒 ? ? ? 注意c的符号 a>b???ac>bc c>0?

同向可加性 同向同正可乘性 a>b???acb???a＋c>b＋d c>d?a>b>0???ac>bd c>d>0?a>b>0?an>bn ? ? 可乘方性 (n∈N，n≥1)

概念方法微思考

a，b同为正数 11

1．若a>b，且a与b都不为0，则与的大小关系确定吗？

ab

11

提示 不确定．若a>b，ab>0，则<，即若a与b同号，则分子相同，分母大的反而小；

ab11

若a>0>b，则 >，即正数大于负数．

ab2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？

提示 可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a

(2)若>1，则a>b.( × )

b

(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) ab

(4)a>b>0，c>d>0?>.( √ )

dc11

(5)ab>0，a>b?<.( √ )

ab题组二 教材改编

2．若a，b都是实数，则“a－b>0”是“a2－b2>0”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析

a－b>0?a>b?a>b?a2>b2，

但由a2－b2>0?a－b>0.

3．设bb＋d 答案 C

解析 由同向不等式具有可加性可知C正确． 题组三 易错自纠

4．若a>b>0，c

A.－>0 cdabC.> dc答案 D

解析 ∵c

又∵cd>0，∴>，即>.

cdcdcd

5．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A

解析 若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a1

＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝.所以“a>2且b>1”是“a

2＋b>3且ab>2”的充分不必要条件．故选A.

ππ

6．若－<α<β<，则α－β的取值范围是__________．

22答案 (－π，0)

ππππ

解析 由－<α<，－<－β<，α<β，

2222得－π<α－β<0.

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ab

B.－<0 cdabD.< dcB．acb＋c

题型一 比较两个数(式)的大小

b2a2

例1 (1)若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( )

abA．pq 答案 B

b2a2

解析 (作差法)p－q＝＋－a－b

abb2－a2a2－b2

?1－1? ＝＋＝(b2－a2)·?ab?ab?b2－a2??b－a??b－a?2?b＋a?

＝＝，

abab因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0. 若a＝b，则p－q＝0，故p＝q； 若a≠b，则p－q<0，故p

(2)已知a>b>0，比较aabb与abba的大小．

ab

a?a－baabba

解 ∵ba＝a－b＝??b?， abb

－

B．p≤q D．p≥q

a

又a>b>0，故>1，a－b>0，

ba?a－bab∴?>1，即>1， ?b?abba又abba>0，∴aabb>abba，

∴aabb与abba的大小关系为：aabb>abba. 思维升华 比较大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．

(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法．

跟踪训练1 (1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系

ab

为________． 答案 M>N

解析 因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.

(2)若a>0，且a≠7，则( ) A．77aa<7aa7 B．77aa＝7aa7 C．77aa>7aa7

D．77aa与7aa7的大小不确定 答案 C

77aa7－aa－7?7?7－a

解析 a7＝7a＝?a?，

7a7

则当a>7时，0<<1，7－a<0，

a7?7－a7aa7则?>1，∴7a>7a； ?a?7

当01，7－a>0，

a7?7－a7aa7则?>1，∴7a>7a. a??综上，77aa>7aa7. 题型二 不等式的性质

例2 (1)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是( ) A．若a>b，c≠0，则ac>bc B．若a>b，则ac2>bc2 C．若ac2>bc2，则a>b 11D．若a>b，则<

ab答案 C

解析 对于选项A，当c<0时，不正确； 对于选项B，当c＝0时，不正确；

对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b.故选项C正确； 对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．