4《圆周角和圆心角的关系(2)》教学设计

第三章圆

《圆心角和圆周角的关系（第2课时）》

一、目标确定的依据

1、课程标准的相关要求

了解圆周角定理的推论2和推论3，并能把所有的推断组织为数学证明

2、教材分析

本节课对教材内容进行了重新加工，以学生熟悉的圆心角引入圆周角，学习新概念，并比较它们的异同.在探究圆周角和圆心角关系定理时，以“问题串”形式，教师创设问题情境，层层推进教学，使学生经历观察、操作、猜想、讨论、推理、归纳等数学活动，最后得到新知，并获得一些学习数学学习的方法.同时，课堂练习的设计力求符合不同层次学生的心理特点，通过练习，让不同层次学生体会到本节课是学有所得的，真正体现“使不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念.

3、学情分析

学生在本节的第一课时，通过探索，已经学习了圆心角和圆周角的关系，并对定理进行了严密的证明，通过一系列简单的练习对这个关系熟悉，具备了灵活应用本关系解决问题的基本能力.

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了化归和分类讨论的数学方法，获得了得到数学结论的过程中，可以采用的数学方法解决的经验，同时在学习过程中也经历了合作学习的过程，具有了一定的合作学习的能力，具备了一定的合作和交流的能力.

二、目标

本节共分2个课时，这是第2课时，主要研究圆周角定理的2个推论，并利用这些解决一些简单问题.具体地说，本节课的教学目标为：

1．理解圆周角的概念；掌握圆周角与圆心角之间的关系定理.

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2．会熟练运用推论解决问题.

三、评价任务

1、掌握圆周角定理的推论2和推论3

2、会熟练运用推论解决问题

四、教学设计分析

本节课设计了七个教学环节：课前复习——新课学习（一）——推论的应用（一）——新课学习（二）——推论的应用（二）——方法小结——作业布置.

第一环节课前复习

活动内容：

1.求图中角X的度数：

x= x=

2.求图中角X的度数：

∠ABF=20°，∠FDE=30°x= x=

活动目的：通过两个简单的练习，复习第一课时学习的圆周角和圆心角的关

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系.练习1是复习定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半；练习2是复习定理：同弧或等弧所对的圆周角相等.

活动的注意事项：两个题目相对比较简单，关键在于引导学生学会看图，从图中看出圆心角和圆周角的一些关系.第2题的第2个图难度稍大，学生不易一眼看出个中关系，需要借助辅助线，连接CF ，把x 分解为2个角，使得问题简单解决，本题需要重点讲解，体现读图和应用的灵活性.

第二环节 新课学习（一）

活动内容：

（1）观察图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你

能证明吗？

首先，让学生明确，“它所对的圆周角”指的是哪个角？（∠BAC ）

然后，让学生猜想，这个角的特点，并拿量角器实际测量，看看猜测是否准确.（∠BAC 是一个直角）

最后，让学生自行考虑进行证明的方法.引导应用圆周角和圆心角关系定理进行证明.

解：直径BC 所对的圆周角∠BAC =90°

证明：

∵BC 为直径

∴∠BOC =180° ∴BOC BAC ∠=∠2

1（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半） （2）观察图，圆周角∠BAC =90°，弦BC 是直径吗？为什么？

首先，让学生猜想结果；

然后，再让学生尝试进行证明.

解：弦BC 是直径.

连接OC 、OB

∵∠BAC =90°

∴∠BOC=2∠BAC =180°

（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）

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∴B 、O 、C 三点在同一直线上

∴BC 是⊙O 的一条直径

（3）从上面的两个议一议，得出推论：

直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的

弦是直径.

几何表达为：

直径所对的圆周角是直角；

∵BC 为直径 ∴∠BAC =90°

90°的圆周角所对的弦是直径.

∵∠BAC =90° ∴BC 为直径

活动目的：本环节的设置，需要学生经历猜想——实验验证——严密证明，这三个基本的环节，从而推导出从圆心角和圆周角关系定理推导出的两个推论.

活动的注意事项：在（2）证明弦BC 是直径的问题中，学生往往容易进入误区，直接连接BC ，认为BC 过点O ，则直接说BC 是直径，这样的说理是错误的，应该是连接OB 和OC ，再证明三点共线.在此需要特别指出注意：此处不能直接连接BC ，思路是先保证过点O ，再证三点共线.对于三点共线，学生也可能忘记，需要老师从旁提醒.

第三环节 推论的应用（一）

活动内容：

（1）小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？

（2）如图，⊙O 的直径AB =10cm ，C 为⊙O 上的一点，∠B =30°，求AC 的长.

解∵AB 为直径

∴∠BCA=90°

在Rt △ABC 中，

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∠ABC =30°，AB =10 ∴52

1==AB AC 活动目的：在学习了推论“直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.”立刻安排两个简单练习让学生进行实际应用，目的的增加学生对这两个推论的熟练程度，并学习灵活应用这两个推论解决问题.第1题是实际问题，具有现实生活的实际意义，用利于提高学生应用数学解决实际问题的能力.

活动的注意事项：第2题练习中，涉及“在直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半”这个定理的使用，估计学生不容易想到应用这个定理，从而无法解决这个问题，让学生思考后，发现无法联系到本定理，则需要老师从旁适时提醒.

第四环节 新课学习（二）

活动内容：

（一）如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，请问

∠BAD 与∠BCD 之间有什么关系？为什么？

首先：引导学生进行猜想；

然后：让学生进行证明.

解：∠BAD 与∠BCD 互补

∵AC 为直径

∴∠ABC =90°,∠ABC =90°

∵∠ABC +∠BCD +∠ABC +∠BAD =360°

∴∠BAD +∠BCD =180°

∴∠BAD 与∠BCD 互补

（二）如图，C 点的位置发生了变化，∠BAD 与∠BCD 之间有的关系还成立吗？为什么？

首先：让学生猜想结论；

然后：让学生拿出量角器进行度量，实验验证猜想结果；

最后：让学生利用所学知识进行严密证明.

解：∠BAD 与∠BCD 的关系仍然成立

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连接OB ，OD ∵221∠=∠BAD ,12

1∠=∠BCD （圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半） ∵∠1+∠2=360°

∴∠BAD +∠BCD =180°

∴∠BAD 与∠BCD 互补

（三）圆内接四边形概念与性质探索

如图，两个四边形ABCD 有什么共同的特点？

得出定义：四边形ABCD 的的四个顶点都在⊙O

上，这样的四边形叫做圆内接四边形；

这个圆叫做四边形的外接圆.

通过议一议环节，我们我们发现∠BAD 与∠BCD

之间有什么关系？

推论：圆内接四边形的对角互补.

几何语言：

∵四边形ABCD 为圆内接四边形

∴∠BAD +∠BCD =180°（圆内接四边形的对角互补）

活动目的：本活动环节，目的是通过对特殊图形的研究，探索出一个特殊的关系，然后进行一般图形的变换，让学生再次经历猜想，实验，证明这三个探索问题的基本环节，得到一般的规律.规律探索后，再引入相关概念，得出相关推论.

活动的注意事项：在（二）的探索中，学生会陷入∠BAD 和∠BCD 所对圆心角混淆的误区，以及不会对这两个圆心角的角度进行表达.其次，在两个图形中四边形ABCD 的共同特征探索方面，学生可能会简单问题复杂化，想到其他比较复习的特征，该给予肯定，但要引导学生不要把问题向复杂方向思考.

第五环节 推论的应用（二）

活动内容：

如图，∠DCE 是圆内接四边形ABCD 的一个外角，∠A 与∠DCE 的大小有什么关系？

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让学生自主经历猜想，实验验证，严密证明三个环节

解：∠A=∠CDE

∵四边形ABCD 是圆内接四边形

∴∠A+∠BCD =180°（圆内角四边形的对角互补）

∵∠BCD+∠DCE =180°

∴∠A=∠DCE

活动目的：通过一个练习，让学生自主经历解决问题的三个基本环节，从而巩固本节课学习方法的应用.

活动的注意事项：个别学习能力低下的学生会不懂得思考问题的方式和方法，让学生做的时候，适当关注这部分学生，作出及时引导.

第六环节 方法小结

活动内容：

议一议：在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？请举例说明，并与同伴进行交流.

让学生自主总结交流，最后老师再作方法归纳总结.

方法1：解决问题应该经历“猜想——实验验证——严密证明”三个基本环节.

方法2：从特殊到一般的研究方法，对特殊图形进行研究，从而改变特殊性，得出一般图形，总结一般规律.

活动目的：通过小结，让学生回顾本节课的学习内容，尤其是知识内容和方法内容都应该进行总结，让学生懂得，我们学习不但是学习了知识，更重要的是要学会进行方法的总结.

活动的注意事项：这里体现学生的总结和交流能力，只要学生是自己总结的，都应该给与鼓励和肯定，最后老师再作总结性的发言.

第七环节 作业布置

随堂练习3.在圆内接四边形ABCD 中，∠A 与∠C 的度数之比为4:5，求∠C 的度数

.

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解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形

∴∠A+∠C=180°（圆内角四边形的对角互补） ∵∠A:∠C =4:5 ∴?=??=∠10018095

C

即∠C 的度数为100°.

习题3.5

1.如图，在⊙O 中，∠BOD =80°，求∠A 和∠C 的度数. 解：∵∠BOD =80° ∴?=∠=∠4021

BOD DAB

（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半） ∵四边形ABCD 是圆内接四边形

∴∠DAB +∠BCD =180°

∴∠BCD =180°-40°=140°

（圆内接四边形的对角互补）

2.如图，AB 是⊙O 的直径，∠C =15°，求∠BAD 的度数. （方法一）解：连接BC

∵AB 为直径

∴∠BCA =90°

（直径所对的圆周角为直角）

∴∠BCD +∠DCA =90°，∠ACD =15°

∴∠BCD =90°-15°=75°

∴∠BAD =∠BCD =75°（同弧所对的圆周角相等） （方法二）解：连接OD

∵∠ACD =15°

∴∠AOD =2∠ACD =30°

（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半） ∵OA =OD

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∴∠OAD =∠ODA

又∵∠AOD +∠OAD +∠ODA =180°

∴∠BAD =75°

3.如图，分别延长圆内接四边形ABCD 的两组对边相交于点E ，F ，若∠E=40°，∠F=60°,求∠A 的度数.

解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形∴∠ADC +∠CBA =180°

（圆内接四边形的对角互补）

∵∠EDC +∠ADC =180°，

∠EBF +∠ABE =180°

∴∠EDC + ∠EBF =180°

∵∠EDC =∠F+∠A ,∠EBF =∠E+∠A

∴∠F+∠A+∠E+∠A =180°

∴∠A =40°

4.如图，⊙O 1与⊙O 2都经过A ，B 两点，且点O 2在⊙O1上，点C 是弧AO 2B 上的一点（点C 不与A ，B 重合），AC 的延长线交⊙O 2于点P ，连接AB ，BC ，BP .

（1）根据题意将图形补充完整；

（2）当点C 在弧AO 2B 上运动时，图中大小不变的角有哪些？（将符合要求的角都写出来）

解：大小不变的角有：

∠ACB

∠APB

∠BCP

五、 教学设计反思

1.根据学生特点灵活应用教案

本教案的编写，学生的能力是相对较高的，因此课堂的容量会比较大，如果碰到学习能力不足的学生群体，则要根据实际情况进行调整，可以把第三环节的应用减少为一道题目，或者合并到第五环节两个应用一起进行.

2.让学生有充分的探索机会，经历猜想，实验证明，严密证明的环节

学生往往会直接进行证明，这对于简单问题可行，对于复杂问题就不好做了，因此要让学生经历猜想的过程，并且需要实际动手，拿出量角器进行实际度量，验证猜想，最后再进行严密的几何证明.

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