数学分析选讲课程教学标准

数学分析

《数学分析选讲》课程教学标准 第一部分：课程性质、课程目标与要求

《数学分析选讲》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的选修课程，是为报考数学专业硕士研究生及对分析感兴趣的学生所开的一门选修课。本课程的目的是通过本课程的学习，使学生对已学过的数学分析的知识进行巩固、加深、提高，并扩大所学的知识，更好地掌握分析的基本思想、基本方法，使对所学的数学分析知识能做到触类旁通。

教学时间应安排在第五学期或第六学期。这时，学生已学完《数学分析》的课程，正准备硕士研究生的入学考试，且为了学生更好地利用时间，因此可把这门课安排在第四学期至第五学期的暑假及第六学期至第七学期的暑假。

第二部分：教材与学习参考书

本课程拟采用由裴礼文编写的、高等教育出版社1993年出版的《数学分析中的典型问题与方法》第一版一书，作为本课程的主教材。

为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：

1、数学分析讲义，陈纪修、於崇华、金路，高等教育出版社，1999

2、数学分析解题方法600例，李世金、赵洁，东北师范大学出版社，1992

第三部分：教学内容纲要和课时安排

第一章 一元函数的极限

复习数列极限和无穷大量、函数极限、数列的上、下极限的概念和性质，通过例子总结求数列、函数极限的方法，及用定义证明极限存在性。

通过这一章的学习，学习者要准确理解数列极限和无穷大量、函数极限、数列的上、下极限的概念和性质，进一步熟练掌握求数列、函数极限的方法，及用定义证明极限存在性，理解数列的上、下极限的概念和性质。 本章的主要教学内容（教学时数安排：10学时）：

§1.1数列极限和无穷大量

§1.2函数极限

§1.3数列的上、下极限

第二章 实数的基本定理及函数的连续性

对实数的基本定理——七大定理（确界存在定理、单调有界定理、闭区间套定理、Weierstress定理、Cauchy收敛原理、有限覆盖定理、聚点定理）的内容加以复习及没证明过的定理给予补充证明，及给出例子加以说明它们的应用，同时本章介绍连续性的证明，连续性的应用，一致连续，半连续与函数方程等方面的内容。

通过本章的学习，学习者要理解实数的基本定理及其应用，掌握连续，一致

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连续概念及性质，掌握连续性的应用及一致连续的证明，同时理解用连续模来描述一致连续性，理解半连续。

本章的主要教学内容（教学时数安排：12学时）：

§2.1实数的基本定理

§2.2一元函数的连续性

§2.3一致连续

§2.4上、下半连续

第三章 一元微分学

复习一元函数导数的基本概念、微分中值定理、Taylor公式、函数的凸性。给出例子讨论微分中值定理的应用、讨论带Lagrange余项与带Peano余项的Taylor公式在解题中的若干应用、以及用微分方法讨论不等式、以及与不等式密切相关函数的凸性的问题。

通过本章的学习，学习者要熟练掌握微分导数的定义；进一步掌握微分中值定理、Taylor公式及其应用；掌握用微分方法讨论不等式、以及与不等式密切相关函数的凸性的问题。

本章的主要教学内容（教学时数安排：18学时）：

§3.1导数与微分

§3.2微分学基本定理

§3.3Taylor公式

§3.4导数在研究函数上的应用

§3.5函数的凸性

第四章 一元函数的积分学

本章在复习已学过的一元函数的积分学的基本知识后，主要讨论如下几方面的内容：积分与极限、可积性、积分值的估计、积分不等式与定积分的若干综合性问题、若干著名的不等式、反常积分。

通过本章内容的学习，学习者进一步熟练掌握一元函数的积分学的基本概念及基本性质；掌握利用积分求极限及求积分的极限；初步掌握定积分的可积性的证明；掌握利用变形求估计及积分估计的应用；掌握证明积分不等式的若干基本方法；掌握几个著名的不等式的变形与应用；掌握反常积分的计算及其收敛性的判定。

本章的主要教学内容（教学时数安排：14学时）。

§4.1不定积分

§4.2定积分

§4.3反常积分

第五章 级数

本章复习归纳数项级数敛散性的判别法，函数列、函数项级数一致收敛的概念及其判别法，求幂级数收敛半径、收敛域、级数和的方法，以及级数和的分析性质。并用有一定难度的例子来加深这些方面的训练，使得学生能够更好地掌握

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这一章节的内容。

通过本章的学习，学习者进一步熟练掌握数项级数的判别法；准确理解函数项级数收敛和一致收敛的概念；熟练掌握函数项级数的一致收敛的判别法；准确理解一致收敛函数项级数的三大性质定理；理解掌握幂级数的性质，掌握幂级数的收敛区间的求法；掌握函数展成幂级数的条件，熟练掌握几个基本初等函数的幂级数展开式；利用幂级数的性质掌握一些级数求和。

本章的主要教学内容（教学时数安排：10学时）：

§5.1数项级数

§5.2函数项级数

§5.3幂级数

第六章 多元函数的微分学

复习平面点集、二元函数极限、连续的定义、及偏导数、全微分的定义。归纳二元函数极限的计算方法、证明二元极限不存在的常用方法；二元函数连续性的证明及应用；二元函数偏导数的计算及可微、不可微的证明。

通过本章的学习，准确理解平面点集、二元函数极限、连续的定义、及偏导数、全微分的定义。掌握二元函数极限的计算方法、证明二元极限不存在的常用方法；掌握二元函数连续性的证明及应用；掌握二元函数偏导数的计算及可微、不可微的证明。

本章的主要教学内容（教学时数安排：8学时）：

§6.1多元函数的极限与连续

§6.2多元函数的偏导数

第七章 多元积分学

复习广义积分、含参量积分的各种敛散性判别法及含参量广义积分的一致收敛性判别法；含参量积分及含参量广义积分的连续性、可微性、可积性及其它们的应用；二重积分、三重积分的计算；第一类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲线积分、第二类曲面积分的计算；格林公式、高斯公式、斯托克司公式的应用。

通过本章的学习，掌握广义积分、含参量积分的各种敛散性判别法及含参量广义积分的一致收敛性判别法；掌握含参量积分及含参量广义积分的连续性、可微性、可积性及其它们的应用；掌握二重积分、三重积分的计算；掌握第一类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲线积分、第二类曲面积分的计算；掌握格林公式、高斯公式、斯托克司公式的应用。

本章的主要教学内容（教学时数安排：8学时）：

§7.1含参量积分

§7.2含参量的反常积分

§7.5重积分

第四部分：教学方案简要说明

课时计划是每周4学时，总约80学时。教师可根据课时适当调整部分教学内容。本课程教学采用课堂讲授为主，由于这门课是在已学完数学分析的基础上

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开设的选修课，因此需要学生课后复习已学过的知识，同时根据学生在论证题比较薄弱的特点，课堂上讲授大量有一定难度的论证例题，拓宽学生的解题思路。本课程可以采用多媒体辅助教学。课程教学强调理解与分析，也强调应用和技能。

第五部分：课程作业与考核评价

本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课（4学时）由教师统一布置一些思考作业，总量达到20余次，由于这些思考题有一定的难度，鼓励学生互相讨论完成。

本课程的半期考试采用写小论文的形式，期末考试采用闭卷考试方式。 考试题目的一般类型：（1）是非题或选择题：基本概念或基本计算、分析；

（2）计算题：求极限、级数和等等；（3）理论分析证明题。

本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括：课堂表现、平时作业完成情况、半期考。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。因此科任教师要重视学生平时学习情况的跟踪、检查和评价。

制定者：谢碧华 执笔

校对者:

审定者：苏维钢

批准者：×××

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hle4.html