高考数学难点突破 难点01 集合思想及应用技巧解答
更新时间:2024-06-07 02:13:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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Abstract: Based on the comprehensive analysis on the plastic part’s structure service requirement, mounding quality and mould menu factoring cost. A corresponding injection mould of internal side core pulling was designed. By adopting the multi-direction and multi-combination core-pulling. A corresponding injection mould of internal side core pulling was designed, the working process of the mould was introduced
难点1 集合思想及应用
集合是高中数学的基本知识,为历年必考内容之一,主要考查对集合基本概念的认识和理解,以及作为工具,考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点,不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.
●难点磁场
(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠?,求实数m的取值范围.
●案例探究 [例1]设A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=?,证明此结论. 命题意图:本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力,即能从集合符号上分辨出所考查的知识点,进而解决问题.属★★★★★级题目. 知识依托:解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C=?转化为A∩C=?且B∩C=?,这样难度就降低了.
错解分析:此题难点在于考生对符号的不理解,对题目所给出的条件不能认清其实质内涵,因而可能感觉无从下手.
技巧与方法:由集合A与集合B中的方程联立构成方程组,用判别式对根的情况进行限制,可得到b、k的范围,又因b、k∈N,进而可得值.
解:∵(A∪B)∩C=?,∴A∩C=?且B∩C=?
?y2?x?1∵? ∴k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0 ?y?kx?b2
∵A∩C=?
222
∴Δ1=(2bk-1)-4k(b-1)<0
∴4k2-4bk+1<0,此不等式有解,其充要条件是16b2-16>0,即b2>1
?4x2?2x?2y?5?0∵?
y?kx?b? ①
∴4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0
∵B∩C=?,∴Δ2=(1-k)2-4(5-2b)<0
∴k2-2k+8b-19<0,从而8b<20,即b<2.5 ② 由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组,得
2??4k?8k?1?0, ?2??k?2k?3?0∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=?.
[例2]向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果:赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和
都不赞成的学生各有多少人?
命题意图:在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.
知识依托:解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到用韦恩图直观地表示出来. 错解分析:本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪,不好找线索.
技巧与方法:画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系. 解:赞成A的人数为50×
35=30,赞成B的人数为30+3=33,如上图,记50名学生组
成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集合B.
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-x.
依题意(30-x)+(33-x)+x+(
x3x3+1,赞成A而
+1)=50,解得x=21.
所以对A、B都赞成的同学有21人,都不赞成的有8人.
●锦囊妙计
1.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题.
2.注意空集?的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如A?B,则有A=?或A≠?两种可能,此时应分类讨论.
●歼灭难点训练 一、选择题
1.(★★★★)集合M={x|x=A.M=N
kx2??4,k∈Z},N={x|x=
k?2??2,k∈Z},则( )
D.M∩N=?
B.MN C.MN
2.(★★★★)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1 A.-3≤m≤4 B.-3 二、填空题 3.(★★★★)已知集合A={x∈R|ax-3x+2=0,a∈R},若A中元素至多有1个,则a的取值范围是_________. 4.(★★★★)x、y∈R,A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)| 2 22 xa?yb =1,a>0,b>0},当A∩B只有一个元 素时,a,b的关系式是_________. 三、解答题 5.(★★★★★)集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|log2(x2-5x+8)=1},C={x|x2+2x-8=0}, 求当a取什么实数时,A∩B Snn?和A∩C=?同时成立. 6.(★★★★★)已知{an}是等差数列,d为公差且不为0,a1和d均为实数,它的前n项和记作Sn,设集合A={(an, )|n∈N*},B={(x,y)| 14 x2-y2=1,x,y∈R}. 试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明. (1)若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上; (2)A∩B至多有一个元素; (3)当a1≠0时,一定有A∩B≠?. 7.(★★★★)已知集合A={z||z-2|≤2,z∈C},集合B={w|w=求b的值. 8.(★★★★)设f(x)=x+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f[f(x)]=x}. (1)求证:A?B; (2)如果A={-1,3},求B. 参考答案 难点磁场 ?x2?mx?y?2?0解:由?得x2+(m-1)x+1=0 ?x?y?1?0(0?x?2)2 12zi+b,b∈R},当A∩B=B时, ① ∵A∩B≠? ∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解. 首先,由Δ=(m-1)2-4≥0,得m≥3或m≤-1,当m≥3时,由x1+x2=-(m-1)<0及x1x2=1>0知,方程①只有负根,不符合要求. 当m≤-1时,由x1+x2=-(m-1)>0及x1x2=1>0知,方程①只有正根,且必有一根在区间(0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内. 故所求m的取值范围是m≤-1. 歼灭难点训练 一、1.解析:对M将k分成两类:k=2n或k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ+nπ+ 3?4?4,n∈Z}∪{x|x= ?2,n∈Z},对N将k分成四类,k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ+ 3?4,n ∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+ 5?4,n∈Z}. 答案:C 2.解析:∵A∪B=A,∴B?A,又B≠?, ?m?1??2?∴?2m?1?7即2<m≤4. ?m?1?2m?1?答案:D 二、3.a=0或a≥ 98 4.解析:由A∩B只有1个交点知,圆x+y=1与直线 22 xa?yb=1相切,则1= aba?b22, 即ab=a2?b2. 答案:ab=a2?b2 三、5.解:log2(x-5x+8)=1,由此得x-5x+8=2,∴B={2,3}.由x+2x-8=0,∴C={2,- 22 4},又A∩C=?,∴2和-4都不是关于x的方程x-ax+a-19=0的解,而A∩B ?,即A∩B≠?, ∴3是关于x的方程x-ax+a-19=0的解,∴可得a=5或a=-2. 当a=5时,得A={2,3},∴A∩C={2},这与A∩C=?不符合,所以a=5(舍去);当a=-2时,可以求得A={3,-5},符合A∩C=?,A∩B 6.解:(1)正确.在等差数列{an}中,Sn=的坐标适合方程y?12n(a1?an)2?,∴a=-2. 2 2 2 2 2 ,则 Snn12?1212(a1+an),这表明点(an, Snn) (x+a1),于是点(an, Snn)均在直线y=x+a1上. 11?y?x?a1??22(2)正确.设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组?的解,由方程组消 1?x2?y2?1??4去y得:2a1x+a1=-4(),当a1=0时,方程()无解,此时A∩B=?;当a1≠0时,方程() 22*** 只有一个解x= ?4?a12a12??4?a1?y?2a1?,此时,方程组也只有一解?,故上述方程组至多有一解. 2a?4?y?1?4a1?∴A∩B至多有一个元素. (3)不正确.取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n-1)d=n>0, Snn >0,这时集合A中的 元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,另外,由于a1=1≠0.如果A∩B≠?,那么据(2)的结论,A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0= ?4?a12a12??25<0,y0= a1?x02?34<0,这样 的(x0,y0)?A,产生矛盾,故a1=1,d=1时A∩B=?,所以a1≠0时,一定有A∩B≠?是不正 确的. 7.解:由w= 12zi+b得z= 2w?2bii, -2|≤2,化简得|w-(b+i)|≤1. ∵z∈A,∴|z-2|≤2,代入得| 2w?2b∴集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面,集合A表示以点(2,0)为圆心,半径为2的圆面,集合B表示以点(b,1)为圆心,半径为1的圆面. 又A∩B=B,即B?A,∴两圆内含. 因此(b?2)2?(1?0)2≤2-1,即(b-2)2≤0,∴b=2. 8.(1)证明:设x0是集合A中的任一元素,即有x0∈A. ∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0). 即有f[f(x0)]=f(x0)=x0,∴x0∈B,故A?B. 2 (2)证明:∵A={-1,3}={x|x+px+q=x}, ∴方程x2+(p-1)x+q=0有两根-1和3,应用韦达定理,得 ??1?3??(p?1),?p??1 ???(?1)?3?qq??3??∴f(x)=x-x-3. 于是集合B的元素是方程f[f(x)]=x,也即(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x(*)的根. 将方程()变形,得(x-x-3)-x=0 解得x=1,3,3,-3. 故B={-3,-1,3,3}. * 2 2 2 2
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