椭圆及其标准方程

高中数学· 选修1-1· 人教A版

2.1.1

椭圆及其标准方程

第二章

圆锥曲线与方程2.1 椭 圆

2.1.1 椭圆及其标准方程

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椭圆及其标准方程

[学习目标] 1 .了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过

程，椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.

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[知识链接] 命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|+|PB|=2a (a>0且a 为常数);命题乙：点 P的轨迹是椭圆，且A、B是椭圆的焦点，

则命题甲是命题乙的(A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 B

)B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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解析 若P点的轨迹是椭圆，则一定有|PA|+|PB|=2a (a>0,且a为常数), 所以命题甲是命题乙的必要条件. 若|PA| +|PB|=2a (a>0,且 a为常数 ) ,不能推出 P点的轨迹是椭 圆.

这是因为：仅当2a>|AB|时，P点的轨迹是椭圆；而当2a=|AB|时，P点的轨迹是线段AB; 当2a<|AB|时，P点无轨迹. 所以命题甲不是命题乙的充分条件. 综上可知，命题甲是命题乙的必要不充分条件.预习导学

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[预习导引] 1.椭圆：平面内与两个定点F1,F2的 距离之和等于常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 焦点

,两焦点间的距离叫做椭圆的

焦距

.

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2.椭圆的标准方程焦点在 x 轴上 标准方程 焦点 a、b、c 的关系 x2 y2 a2+b2=1 (a>b>0) 焦点在 y 轴上 y2 x2 a2+b2=1 (a>b>0)

(-c,0)(c,0) c2=a2-b2

(0,-c)(0,c)c2=a2-b2

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要点一 用待定系数法求椭圆的标准方程 例 1 (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经 5 3 过点 2,-2 ,求它的标准方程；

(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1),求椭圆的标准方程.

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课堂讲义解 (1)法一

2.1.1因为椭圆的焦点在 x 轴上，

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x2 y2 所以设它的标准方程为a2+b2=1 (a>b>0). 由椭圆的定义知 2a= 2 10,所以 a= 10. 又因为 c=2,所以 b2=a2-c2=10-4=6. x2 y 2 因此，所求椭圆的标准方程为10+ 6 =1. 5 3 2 +2 + - 2+ 2 2 5 3 2 -2 + - 2 = 2 2

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法二

x2 y2 设标准方程为a2+b2=1 (a>b>0).

25 9 2 2+ 2=1 a =10 依题意得 4a 4b ,解得 2 . 2 2 b =6 a -b =4 x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为10+ 6 =1.

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x2 y2 (2)法一 当椭圆的焦点在 x 轴上时， 设所求椭圆的方程为a2+b2 =1 (a>b>0). ∵椭圆经过两点(2,0),(0,1), 4 0 a2+b2=1, ∴ 02+ 12=1, a b a=2, 则 b=1.

x2 2 ∴所求椭圆的标准方程为 4 +y =1;预习导学

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课堂讲义当椭圆的焦点在 y 轴上时，

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y2 x2 设所求椭圆的方程为a2+b2=1 (a>b>0). ∵椭圆经过两点(2,0)、(0,1), 0 4 a2+b2=1, ∴ 12+ 02=1, a b a=1, 则 b=2,

与 a>b 矛盾，故舍去. x2 2 综上可知，所求椭圆的标准方程为 4 +y =1.预习导学

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法二

设椭圆方程为 mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n).

∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点， 4m=1, ∴ n=1,

1 m= , 4 ∴ n=1.

x2 2 综上可知，所求椭圆的标准方程为 4 +y =1.

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规律方法 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”,即 要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标 准方程，最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位

置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件.当已知椭圆经过两点，求椭圆的 标准方程时，把椭圆的方程设成mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n) 的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用 讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.

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跟踪演练1 求适合下列条件的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0); (2)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两焦点

的距离之和为26.

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解

x2 y2 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上， 所以设它的标准方程为a2+b2

=1(a>b>0). 因为 2a= 5+3 2+02+ 5-3 2+02=10,2c=6, 所以 a=5,c=3, 所以 b2=a2-c2=52-32=16. x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为25+16=1.

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(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为 y2 x2 a2+b2=1(a>b>0).

因为 2a=26,2c=10,所以 a=13,c=5. 所以 b2=a2-c2=144. y2 x2 所以所求椭圆标准方程为169+144=1.

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课堂讲义要点二 椭圆定义的应用例2

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x2 y2 如图所示，点 P 是椭圆 5 + 4 =1 上

的一点，F1 和 F2 是焦点，且∠F1PF2=30° , 求△F1PF2 的面积.

x2 y2 解 在椭圆 5 + 4 =1 中，a= 5,b=2, ∴c= a2-b2=1.

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课堂讲义又∵P 在椭圆上， ∴|PF1|+|PF2|=2a=2 5① 由余弦定理知： |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|· cos 30° =|F1F2|2=(2c)2=4② ①式两边平方，得 |PF1|2+|PF2|2+2|PF1|· |PF2|=20③

2.1.1

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③-②,得(2+ 3)|PF1|· |PF2|=16, ∴|PF1|· |PF2|=16(2- 3), 1 ∴S△PF1F2=2|PF1|· |PF2|· sin 30° =8-4 3.预习导学

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规律方法 在椭圆中由椭圆上的点，两个焦点组成的焦点三角 形引出的问题很多，要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定 义，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在

解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边 角之间的关系.在解题中，经常把|PF1|·|PF2|看作一个整体来处 理.

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跟踪演练 2

x2 y2 已知椭圆的方程为 4 + 3 =1,椭圆上有一点 P 满

足∠PF1F2=90° (如图).求△PF1F2 的面积.

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课堂讲义解 由已知得 a=2,b= 3,

2.1.1

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所以 c= a2-b2= 4-3=1.从而|F1F2|=2c=2. 在△PF1F2 中，由勾股定理可得 |PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2, 即|PF2|2=|PF1|2+4. 又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2×2=4, 所以|PF2|=4-|PF1|.

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