数值分析模拟试卷1,2,3

数值分析模拟试卷1

一、填空（共30分，每空3分） 1 设A?????52 设

?11???，则A的谱半径?(a)?______，A的条件数cond1?21(A)=________.

f(x)?3x?5,xk?kh,k?0,1,2,?，则

f[xn,xn?1,xn?2]＝________,

f[xn,xn?1,xn?2，xn?3]＝________.

32??x?x,0?x?13 设S(x)??3，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则2??2x?bx?cx?1,1?x?2b=________,c=________.

4 设[qk(x)]k?0是区间［0，1］上权函数为?(x)?x的最高项系数为1的正交多项式族，其中q0(x)?1，则?xqk(x)dx?________，q2(x)?________.

01??1?5 设A?0???a01aa??a，当a?________时，必有分解式?1??，其中L为下三角阵，当

其对角线元素Lii(i?1,2,3)满足条件________时，这种分解是唯一的.

3二、（14分）设f(x)?x2,x0?1914,x1?1,x2?94,

（1）试求f(x)在[,]上的三次Hermite插值多项式H(x)使满足

44H(xi)?f(xi),i?0,1,2，H?(x1)?f?(x1).

（2）写出余项R(x)?f(x)?H(x)的表达式.

三、（14分）设有解方程12?3x?2cosx?0的迭代公式为xn?1?4??（1） 证明?x0?R均有limxn?x（x为方程的根）；

23cosxn，

?x??（2） 取x0?4，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.

四、(16分) 试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式

，列出各次迭代值；

有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？

五、（15分） 设有常微分方程的初值问题??y??f(x,y)?y(x0)?y0，试用Taylor展开原理构造形如

yn?1??(yn?yn?1)?h(?0fn??1fn?1)的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误

差主项.

六、（15分） 已知方程组Ax＝b，其中A????0.3?12??1???,b?????， 1?2??（1） 试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性. （2） 若有迭代公式x(k?1)?x(k)?a(Ax(k)?b)，试确定一个的取值范围，在这个范围内

任取一个值均能使该迭代公式收敛. 七、（8分） 方程组程组变化为

，其中

，其中

，A是对称的且非奇异.设A有误差为解的误差向量，试证明

，则原方

.

其中?1和?2分别为A的按模最大和最小的特征值.

数值分析模拟试卷2

填空题（每空2分，共30分）

1. 近似数x?0.231关于真值x?0.229有____________位有效数字； 2. 设

f(x)?可微，求方程x?f(x)根的牛顿迭代格式是

_______________________________________________；

3. 对f(x)?x?x?1，差商f[0,1,2,3]?_________________；f[0,1,2,3,4]?________；

?3x?(2,?3)?,A?????22???1?34. 已知 ，则

||Ax||??________________，

Cond1(A)?______________________ ；

35. 用二分法求方程f(x)?x?x?1?0在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为

_________，进行二步后根所在区间为_________________；

?3x1?5x2?1?6. 求解线性方程组?1x1?4x2?0??5的高斯—赛德尔迭代格式为

_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径

?(G)?_______________；

7. 为使两点数值求积公式：?f(x)dx??0f(x0)??1f(x1)具有最高的代数精确度，其

?11求积节点应为x0?_____ , x1?_____,?0??1?__________. 8. 求积公式?f(x)dx?0332[f(1)?f(2)]是否是插值型的__________，其代数精度为

___________。

二、（12分）(1)设A?LU，其中L为下三角阵，U为单位上三角阵。已知

?2???1A??0???0?12?100?12?10??0?，求L，U。 ?1???2?(2)设A为6?6矩阵，将A进行三角分解：A?LU，L为单位下三角阵，U为上三角阵，试写出L中的元素l65和U中的元素u56的计算公式。

三、（12分）设函数f(x)在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式

H(0)?f(0)?0,H(x)H(1)?f(1)?1,，满足

H(2)?f(2)?1,H?(1)?f?(1)?3 ，

并写出插值余项。 （12分）线性方程组

?x1??x2?b1 ??2?x1?2x2?b2

（1） 请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性。 （2） 设??2，给定松弛因子??收敛性。

五、（7分）改写方程2?x?4?0为x?ln(4?x)/ln2的形式，问能否用迭代法求所给方程在[1,2]内的实根？

32六、（7分）证明解方程(x?a)?0求3a的牛顿迭代法仅为线性收敛。

x12，请写出解此方程组的SOR方法的迭代格式，并讨论

七、（12分）已知x0?14,x1?12,x2?34.

（1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式； （2）指明求积公式具有的代数精度；

（3） 用所求公式计算?xdx。

012八、（8分）若f(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn),xi互异，求f[x0,x1,?,xp]的值，这里

p?n?1.

数值分析模拟试卷3

一、填空题（每空3分，共30分）

1． 设f(x)?4x?3x?2x?1，则差商f[2,2,?,2]? ； 2．在用松弛法(SOR)解线性方程组Ax?b时，若松弛因子?满足|??1|?1，则迭代法 ；

***3．设f(x)?0,f?(x)?0,要使求x的Newton迭代法至少三阶收敛，f(x)需要满

842018足 ；

4. 设f(x)?(x?2)(x?3x?3x?1),用Newton迭代法求x1??2具有二阶收敛的迭代格式为________________ ；求x2?1具有二阶收敛的迭代格式为___________________； 5．已知A?????3?7?2??? ，则?(A)?__________,Cond1?32?(A)?______

6. 若x??1，改变计算式lgx?lg3x2?1=___________________，使计算结果更为精确；

7．过节点?xi,xi?(i?0,1,2,3)的插值多项式为_____________ ； 8. 利用抛物(Simpson)公式求?xdx= 。

122?2?二、（14分）已知方阵A??1?3?2121??1?， 1??(1) 证明： A不能被分解成一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘积；

(2) 给出A的选主元的Doolittle分解，并求出排列阵； (3) 用上述分解求解方程组Ax?b，其中b?(3.5,2,4)。

三、（12分）设函数f(x)在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式

H(0)?f(0)?0,H(x)H(1)?f(1)??1,T，满足

H?(1)?f?(1)?10,H??(1)?f??(1)?40 ，

并写出插值余项。

四、（10分）证明对任意的初值x0，迭代格式xn?1?cosxn均收敛于方程x?cosx的根，

且具有线性收敛速度。

五、（12分） 在区间[-1,1]上给定函数f(x)?4x?1，求其在??Span{1,x,x}中关于

权函数?(x)?1的最佳平方逼近多项式。（可用数据：

p0(x)?1,p1(x)?x,p2(x)?32x232?12） 雪

夫

(Chebyshev)

正

交

多

项

式

六、(12分)(1)试导出切比

Tn(x)?cos(narccosx)(n?0,1,2,?,x?[?1,1])的三项递推关系式：

T0(x)?1,??T1(x)?x,?????T(x)?2xT(x)?T(x)nn?1?n?1

(n?1,2,?)（2）用高斯—切比雪夫求积公式计算积分I?能得到积分的精确值？并计算它。

?yn?1??七、（10分）验证对?t,??K2???K3?f(xn?yn?K1?2x2?1dx，问当节点数n取何值时，

0x(2?x)(K1?K3)2?f(xn,yn)h为2阶格式.

f(xn?th,yn?thK1)?(1?t)h,yn?(1?t)hK1)

参考答案1 一、1．?(a)?6，cond1(A)=6.

2．f[xn,xn?1,xn?2]=3，f[xn,xn?1,xn?2，xn?3]=0. 3．b=－2，c=3.

?163?,k?024．?2；q2(x)?x?x?.

510?0,k?0?

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