证明样本方差的期望值=总体的方差，即E(S2)=DX

证明样本方差的期望值＝总体的方差，即E(S2)=DX

设总体为X，抽取n个i.i.d.的样本X1,X2,...,Xn,其样本均值为 Y = (X1+X2+...+Xn)/n

其样本方差为

S =( (Y-X1)^2 + (Y-X2)^2 + ... + (Y-Xn)^2 ) / (n-1) 为了记号方便，我们只看S的分子部分，设为A

则 E A =E( n * Y^2 - 2 * Y * (X1+X2+...+Xn) + (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2)) =E( (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2) - n * Y^2 )

注意 EX1 = EX2 = ... = EXn = EY = EX;

VarX1 = VarX2 = ... = VarXn = VarX = E(X^2) - (EX)^2 VarY = VarX / n (这条不是明显的，但是可以展开后很容易地证出来，而且也算是一个常识性的结论）

所以E A = n(VarX + (EX)^2) - n * (VarY + (EY)^2)

= n(VarX + (EX)^2) - n * (VarX/n + (EX)^2) = (n-1) VarX 所以 E S = VarX;得证。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hkew.html