3-1 条件平差原理

授课题目： 第三章 条件平差

教学方法：理论讲授 教学手段：多媒体课件教学；理论部分以电子课件，计算部分以教学软件《EasyADJ》、《Jsffc》为主，适当配以板书。 本章教学时数：10学时 内容提要：

主要条件平差原理及精度评定、各种条件平差方法，包括高程网条件平差、导线网条件平差、三角网条件平差、附有参数的条件平差等四种具体测量问题的条件平差方法，它们都是对条件平差原理的具体应用；第六节讲条件平差估值的统计性质。 教学要求：

理解并熟练掌握条件平差的函数模型、随机模型；掌握条件平差条件式的列立、法方程组成、解算，条件平差的精度评定方法；理解条件平差估值（平差值、平差值中误差、函数中误差）的统计性质。理解四种具体测量问题的条件平差过程，会进行条件方程式的线性化。 本章重点：重点理解和掌握条件平差原理、条件方程式建立、条件平差的解算过程及精度评定方法，特别是精度评定方面的内容，在有关后续课程中的精度分析、估算中将有较多应用。 教学难点：难点是精度评定。

本章教学总的思路：几何图形内部存在着严格的数学关系，测绘获得的几何图形的基本元素，如角度（或方向值）、边长、高差的最佳估值，必须满足几何图形的基本数学关系，这是建立测量平差基本方程--条件方程式的基础，条件方程式也由此建立，在讲清楚这一点的基础上，结合具体几何图形讲解条件方程式列立方法和线性化方法、精度评定方法；对四种针对具体测量问题的条件平差方法，只讲其基本的平差过程，因为现实使用中，条件平差使用频度已很低。理解条件平差估值的统计性质对学生处理被实际问题很有意义，因此应详细讲解。

条件平差的精度评定是本章的难点，讲这部分内容时，应首先对协方差、协因数两个传播律进行复习，将其传播公式以板书示出，讲精度评定问题过程中，只要讲到用两个传播律的地方，就提示学生对照公式理解老师讲的内容，这样有利本章难点的突破。

§3-1 条件平差原理

0.5学时

条件平差的数学模型为

r,nn,1A??W?0r,1

2?1n,n(3-1-1) (3-1-2)

n,nD??0Q??0Pn,n2

条件方程个数等于多余观测数r，n为观测值总个数，t为必要观测数，存在关系：

r = n – t

T

(3-1-3)

由于r < n，从（3-1-1）式不能计算出?的唯一解，但可按最小二乘原理(VPV = min)，

?（又称平差值）求出?的最或然值V，从而进一步计算观测量L的最或然值L。

~??L?V L(3-1-4)

将（3-1-1）式中的?改写成其估值（最或然值）V，条件方程变为

AV?W?0

T

(3-1-5)

条件平差就是在满足r个条件方程条件下，求解满足最小二乘法（V PV = min）的V值，在数学中就是求函数的条件极值问题。

0 条件平差原理

LP设在某个测量作业中，有n个观测值n,1，均含有相互独立的偶然误差，相应的权阵为n,n，

改正数为

Vn,1，平差值为

n,1?L，表示为

???L?1???????L2??Ln,1?????????pn??Ln? ?,

?L1??v1??p1?????L2v2L???P??V???n,1n,nn,1????????????Lv?n?, ??n?,

p2?其中

n,nP为对角阵；

???L1?L1?????L2???L2????????LVL?n,1=n,1+n,1， 即 ??Ln???Ln?v1???v2?????vn?

（3-1-6）

在这n个观测值中，有t个必要观测数，多余观测数为r。

可以列出r个平差值线性条件方程

??aL????aL??a?0?a1L122nn0????bL????bL??b?0b1L?122nn0????????????????????rL????rL??r?0?r1L122nn0?

(3-1-7)

式中，ai、bi、…、ri（I = 1,2,……n）为各平差值条件方程式中的系数，a0、b0、…、r0为各平差值条件方程式中的常数项。

将（3-1-6）式代入(3-1-7)式，得相应的改正数条件方程式

a1v1?a2v2???anvn?wa?0??b1v1?b2v2???bnvn?wb?0????????????????r1v1?r2v2???rnvn?wr?0?? （3-1-8）

式中wa、wb、…、wr称为改正数条件方程的闭合差（或不符值），即

wa??(a1L1?a2L2???anLn?a0)??wb??(b1L1?b2L2???bnLn?b0)????????????????wr??(r1L1?r2L2???rnLn?r0)??

(3-1-9)

若取

?a1?b1A??r,n????r1a2b2?r2????an??a0??wa??????bnb0wb?A0???W???r,1????????r,1?????rn?r?wr? ?0?, ,

(3-1-7)、（3-1-8）和（3-1-9）式可分别表达成矩阵形式如下

??A?0AL0

AV?W?0

(3-1-10) (3-1-11)

W??(AL?A0)

(3-1-12)

T按求函数极值的拉格朗日乘数法，引入乘系数K?[kar,1kb?kr]（又称为联系

数向量），构成函数：

??VTPV?2KT(AV?W)

为引入最小二乘法，将Φ对V求一阶导数，并令其为零

d??(VTPV)AV)dV??V?2?(KT?V?2VTP?2KTA?0

得

VTP?KTA

上式两端转置，得

PTV?ATK

由于P是主对角线阵，则 P = P T ，得

PV?ATK

将上式两边左乘权逆阵P – 1，得

V?P?1ATK

此式称为改正数方程，其纯量形式为

v1i?p(aika?bikb???rikr)i， （I = 1，2，…，n）将（3-1-14）式代入（3-1-11）式，得

AP?1ATK?W?0

此式称为联系数法方程（简称法方程），其纯量形式为

?aa????p?k?a??ab???p?k?b????ar??k?w?p??ra?0????ab???bb??br????ka??kb?????p?k?r?w?p??p??b?0??????????????????????ar????p?k?a?br???p?k?b????rr???k?w?p??rr?0?? (3-1-13)

(3-1-14)

(3-1-15)

(3-1-16)

(3-1-17)

取法方程的系数阵 APA= N，由上式易知N阵关于主对角线对称，得法方程表达式

NK?W?0

-1T

(3-1-18)

法方程数阵N的秩

R(N)?R(AP?1A)?r

T即，N是一个r阶的满秩方阵，且可逆。将（3-1-18）式移项，得

NK?W

上式两边左乘法方程系数阵N的逆阵N – 1，得联系数K的唯一解：

K?NW

?1 (3-1-19)

将（3-1-19）式代入（3-1-14）或（3-1-15）式，可计算出V，再将V代入（3-1-6）,即??L?V。 可计算出所求的观测值的最或然值L?，可以进一步计算一些未知量（如待定点的高程、纵横坐标以通过观测值的平差值L及边的长度、某一方向的方位角等）的最或然值。

?都是由（3-1-11）和（3-1-14）式解算出的，因此我们把由上述推导可看出，K、V及L（3-1-11）和(3-1-14)式合称为条件平差的基础方程。

二、精度评定

在第一个问题中已经阐述了计算未知量最或然值的原理和公式，下面来论述测量平差的

??第二个任务，即评定测量成果的精度。精度评定包括单位权方差?0和单位权中误差?0的??F的计算等。 计算、平差值函数(F?f(L))的协因数QFF及其中误差?2在第二章中已经介绍过，当已知单位权方差?0时，如果知道某量的权为p，则该量的?2F2??20?1pF。在实际工作中，由于观测值的个数n是有限值，因此，只能求出?220方差为

?的估值?0和?22F?F。则有 的估值??F??0?221pF

(3-1-20)

估值形式为

?F???0??221pF

2(3-1-21)

根据协因数的定义，有了单位权方差??0和某平差值函数的验后协因数阵QFF ，也可按下式计算该平差值向量的协方差阵。

?02QFFDFF?? (3-1-22)

?的协因数阵例如，已知观测值的平差值L2?DL??QL?L??L?0QL?L??的协方差阵为 ，则L

下面，我们分别讨论单位权中误差??0和平差值函数协因数阵QFF的计算方法。

0 计算单位权方差和中误差的估值

根据第二章中对中误差的定义，单位权中误差的计算公式为

?0???[p??]r

在一般情况下，观测值的真误差△是不知道的，也就不可能利用上式计算单位权中误差。但在条件平差中，可以通过观测值的改正数V来计算单位权方差和中误差：

??20?VPVrTT (3-1-23)

?0???VPVr (3-1-24)

式中r为多余观测值个数，r = n – t。

在（3-1-24）中，须先算出VTPV的值，才能计算单位权中误差。VTPV可用下列几种方法计算：

0 直接利用定义式（3-1-23）计算。

纯量形式为

VPV?[pvv]?p1v1?p2v2???pnvn (3-1-25)

T（2）由（3-1-14）和（3-1-11）式导出

VPV?VP(PTT?1AK)?VTTAK?(AV)K?WK

TTT即

VPV?WK

TT (3-1-26)

其纯量形式为

VPV?waka?wbkb???wrkr

T(3-1-27)

2、协因数阵

?都可以表达成随机向量L的函数 条件平差的基本向量L、W、K、V、LL?L

W??AL?A0 K?NV?P?1W??NT?1(AL?A0)??NA(?NT?1?1AL?N?1A0

?1?1AK?P?1AL?N?1A0)??PANT?1AL?P?1T?1AN?1T?1A0

?1??L?V?L?(?P?1ATNL?1AL?P?1ANT?1A0)?(E?PANA)L?PANT?1A0?组成列向量，并以Z表示之 将向量L、K、V、L?L?W??KZ????V????L??0??E?????A?A0???????N?1A???10?L??????NA?????1T?1T?1???PAN???PANA?????????1T?1T?1?????PAN?E?PANA????????1A0????1A0?

(3-1-28)

式中等号右端第二项是与观测值无关的常数项阵，按协因数传播律，得Z的协因数阵为

?QLL??Q?WL???QKL???QVL??Q?L?LQLWQWWQKWQVWQL?WQLKQWKQKKQVKQL?KQLVQWVQKVQVVQL?VQLL????QWL???QKL????QVL????QL?L??

QZZ=

T?EQE?T?AQE??1T??NAQE??1T?1T?PANAQE??EQET?P?1ATN?1AQE??EQAAQANPT?1T?1T?1TT?EQAAQATTT?1TTNT?1N?1AQA?1TNPT?1?1T?1AQA?1?1N?1TAN?PAQAAN?P?1AQAAN?1TN?1T?EQA?1ANAQA?EQAEQETN?1AQAN?1

?EQANAQANNP?EQANT?1?1?1TT?1TTAP?1?1AP?1T?1?1AQAN?1AP?1?1AN?1AQANANTAP?1T?1AP?PAQANTAP?1??TT?1?1?AQE?AQANAP??1T?1T?1?1??NAQE?NAQANAP??1T?1?1T?1T?1?1?PANAQE?PANAQANAP??1T?1?1T?1T?(E?PANA)Q(E?PANA)??EQANAP?1T

?Q??AQ??1???NAQ??1T?1??PANAQ?Q?P?1ATN?1AQ??QANEP?1?QANEN?1TT?QANAPN?1TT?1?1AP?1?1Q?QAN00TAP?1ATP?1AN0?1P?1AN0AP?10Q?P?10AT???????1NAQ?? AP?1?1整理后得

?QLL???QWL??QKL???QVL??Q?L?LQLWQWWQKWQVWQL?WQLKQWKQKKQVKQL?KQLVQWVQKVQVVQL?VQLL????QWL????QKL???QVL????QL?L??T

T?Q??AQ??1???NAQ?T?1??QANAQ?Q?QATN?1AQ??QANEQA0T?QAN?1?QATN?1AQQ?QAENQAT?1AQN?1?1AQ?1NQATN0AQ0AQ??0??0?0?T?1Q?QANAQ??

NT?1(3-1-29)

?与闭合差W、联系数K、改正数V是不相关的统计量，又由于由上式可见，平差值L?与W、K、V也是相互独立的向量。 它们都是服从正态分布的向量，所以L3．平差值函数的协因数

在条件平差中，平差计算后，首先得到的是各个观测量的平差值。例如，水准网中的高差观测值的平差值，测角网中的观测角度的平差值，导线网中的角度观测值和各导线边长观测值的平差值等。而我们进行测量的目的，往往是要得到待定水准点的高程值、未知点的坐标值、三角网的边长值及方位角值等，并且评定其精度。这些值都是关于观测值平差值的函

数。

设有平差值函数

??f(L?,L?,?,L?)F12n

(3-1-30)

对上式全微分得

??f?dF????L??1???f??dL1?????L???L2?L???f???dL2????????L???Ln?L????dLn???L?L

(3-1-31)

取全微分式的系数阵为

f??f1,f2,??,fn?T???f???f????,????L??????L??L21?L????f??,??,????L???Ln?L??????L?L????T (3-1-32)

由协因数传播律得

QFF?fTQL?L?f (3-1-33)

根据（3-1-29）式，知

QL?L??Q?QATN?1AQ

代入（3-1-33）式得

QFF?fTQL?L?f?fT(Q?QATN?1AQ)f

即

QFF?fTQf?fTQANT?1AQf (3-1-34)

此式即为平差值函数式（3-1-30）的协因数表达式。

将（3-1-34）式代入（3-1-22）式，可求得该平差值函数的方差

?02QFFDFF??

(3-1-35)

三、条件平差的计算步骤

综合以上所述，按条件平差的计算步骤可归结为以下几步：

0 根据实际问题，确定出总观测值的个数n、必要观测值的个数t及多余观测

个数r = n – t，进一步列出最或是值条件方程(3-1-10)或改正数条件方程（3-1-11）；

（2）根据（3-1-16）式，组成法方程式； （3）依据（3-1-19）式计算出联系数K；

（4）由（3-1-14）式计算出观测值改正数V；并依据（3-1-6）式计算出观测值的平差

?； 值L（5）根据（3-1-23）和（3-1-24）计算单位权方差??0和单位权中误差??0；

（6）列出平差值函数关系式（3-1-30），并对其全微分，求出其线性函数的系数阵f，利用（3-1-34）式计算出平差值函数的协因数QFF ，代入（3-1-22）计算出平差值函数的协方差DFF。

?代入平差值条件方程式（3-1-10）为了检查平差计算的正确性，可以将平差值L，看是

2 A D L4 P L1 L3 L2 B C 否满足方程关系。

例[3-1] 如图3-1所示，A和P点为等级三角点，PA方向的方位角已知，在测站P上等精度测得的各方向的夹角观测值如下：

T PA = 48°24′36″ L 1 = 57°32′16″ L 2 = 73°03′08″ L 3 = 126°51′28″ L 4 = 104°33′20″

?T?pc试用条件平差法，计算各观测值的平差值、PC方向的方位角TPC ，及TPC的精度

解：本题中n = 4，t = 3，则条件方程个数为 r = n – t =1 。 因为是等精度观测，取观测值权阵

?p1?P??n,n?????1?????????p4???????1?

。

p2p311?由AL?A0?0，列出平差值条件方程的纯量形式

??L??L??L??360L1234??0

其矩阵形式为

???L1???L?1111??2??360???L3?????L4????0

由W??(AL?A0)，计算闭合差

?57?32?16?????????730308??360?)??12??W??(AL?A0)??([1111]??126?51?28?????????1043320????

由AV?W?0，写出改正数条件方程式

?v1???v2??1111???12???0?v3????v4?

其纯量形式为

v1?v2?v3?v4?12???0

根据AP?1AK?W?0，写出法方程

T[4][ ka ] – [ - 12″] = 0

纯量形式为

4 ka + 12″= 0

由K?NW，计算联系数

k a =- 0.25× 12 = - 3″

其纯量形式为

k a = - 3″

由V?P?1?1AK，计算各改正数

T?1???1?1T??1111???3??V?PAK????1??1????????????3????3???3????3???

由

n,1?L=

n,1L +

Vn,1，计算观测值平差值

????L?v????L111??57?32?33L????2???L2?v????2?7303?05????????L3L3?v????126?351?25?????L???4???L4?v???104?7?4??33?1????

由(3-1-24)式，计算单位权中误差

?1???3??VTPV???3?3?3?3??1?????3???1???3??36??1?????3??

T??VPV0??r??361??6??

PC边的方位角

TPC?TPA?L?1?L?2?48?24′36″+57?32′13″+ 73?03′05″= 178?59′54″

其矩阵式为

????L1TPC?[1100]?L??2??????4824?36???L3???L?4??

其中系数阵为 f??1100?T 计算PC边的协因数 QT1TPC?fQf?fTQATN?AQf

?1??1??1??1??1???1100??1??????????1??1??0???1100??1??1??1??1?[0.25][1111]?1???1????0????1????1????则PC边方位角的中误差为

??TPC????0QTPC??6??

??1??????1???0??11????0??1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hker.html