研究生数值分析练习题答案

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线 ------------------------------------------------

则用最小二乘法求近似公式y a0 a1x的法方程为（ C ）

A a0 a1 15 5a0 15a1 55

31a0 55a1 105.5 B 15a

允许使用计算器

31a1 105.5一、 填空题 （本大题共10小题，每小题 2分，共 20分）

C 5a0 15a1 31

5a0 31a1 15

15a D

0 55a1 105.5

31a0 55a1 105.5

1. 若x e 2.71828 ，取近似值x* 2.7180，则x*具有 4 位有效数字。 2． 以下矩阵是严格对角占优矩阵的是（ B ）

2.

为了提高数值计算精度，应将8

格式进行计算。

3

210 410 2 100

A 1 3.已知n=3时牛顿—柯特斯系数C(3)1 3,C(3)31

1141 13 10

B

136 1 0 8,C(3)182 8

，那么C(3)3=8 。

0012 01 13

52 10

4211

4.设f(x) x3 x 1，则函数的四阶差商f[0,1,2,3,4]。

C

1 13 1

10 D 1441

5. 用牛顿迭代法解方程x-e-x=0在x=0.5附近的近似实根的牛顿迭代格式为

2141

2 1 0012

1315

x f(xn)xn e xn

3.已知两种递推公式

n 1

xnf (x xn (n 0,1 )

n)1 e xn

(1)In 3 5nIn 1(n 1,2, ,20)6. 对给定的剖分 :a x0 x1 xn b，当s(x)满足条件s(x)(2)

In 1

31

5n 5n

In(n 20, ,1)且在每个子区间上是个3次多项式 时是三次样条函数。

则在数值计算过程中（ C ）。

7．用最小二乘法拟合三点A 0,1 ,B 1,3 ,C 2,2 的直线是y

13

2x 2

。 A算法（1）和（2）都稳定 B算法（1）稳定

C 算法（2）稳定 D算法（1）和（2）都不稳定

T

8.向量序列 x(k)

11 T4. 若f(x)在[a,b]上存在n 1阶导数，则对任意给定x [a,b]的拉格朗日插值多项式的余项

e kcosk,ksink,3 k2 的极限向量为 0,1,3

是（ C ）

9.求积公式 1

0f(x)dx 311

4f(3 4

f(1)的代数精度为 2 。

（A） Rf(n 1)( )

n(x)

(n 1)!

， (a,b)且依赖于x 10.若绝对误差限为1

2

10 3，那么近似数0.03600有

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题 2 分，共 10分）

（B） Rf(n 1)( )n

n(x) n! (x xj), (a,b)且依赖于x j 01. 已知实验数据

（C） Rf(n 1)( )n

n(x) (x(n 1)! (x xj), (a,b)且依赖于x j 0

k,yk)(k 1,2,3,4,5),其中 5

5

5

5

x2k 15, yk 31, 1

xk

55,k 1

xkyk 105.5,

k 1

kk 1

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（D） R(x) f(n)( ) （n 1）! n

n(x xj), (a,b)且依赖于x

1123 xj 0

0212 1 3

x2 1

1 122 x 。 3 22

59 x 3

7 4

1123 5．用简单迭代法求方程的近似根，下列迭代格式不收敛的是（ A ）

解：设

02

12 1

u11uu13u14 12u22u23u 242 l

2112 l31l32

1 u33

u LU 34 （A）x3 2x 5 0, 在区间 [2, 3]上连续, 令x

1 1k 1 x3k xk 5 22

59

l41l42

l43

1

u 44

（B

）x3 2x 5 0, 在区间 [2, 3]上连续, 令xk 1 计算得:

u14 3

（C）x3 x2 1 0, 在区间 [1.4, 1.6]上连续, 令x1

u11 1u12 1u13 2k 1 1

x2

l21

0l31 1l41 2

k

u22 2u23 1u24 2 （D

）x3 x2 1 0, 在区间 [1.4, 1.6]上连续, 令x l32 1l42 0

k 1

u33

1u34 1

三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 8分，共 56分）

l43 1 u44 21.已知列表函数y f(x)

1 1123 L

01

1 11 U

212

11 试求满足上述插值条件的3次Newton插值多项式N 2011

2

3(x)。

解方程组Ly b，得

y1 3,y2 1,y3 1,y4 0. 解

再解方程组Ux y，得

x4 0,

x3 1,

x2 0,

x1 1.

3.用Gauss列主元消去法解下列方程组

则所求

N3(x) f(x0) f[x0,x1](x x0) f[x0,x1,x2](x x0)(x x1)

f[x 0,x1,x2,x3](x x0)(x x1)(x x2)

326 x1 4 0 5(x 1) 2(x 1)(x 2) 1 (x 1)(x 2)(x 3)

10 70 x 7 2 x3 4x2 3

5 15 x3 6

2. 用LU分解法求解方程组

解 (1) 选列主元消元过程

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第1步 在(5.5)将第一个方程与第二个方程交换，得

解：用复化梯形公式得

10 70 x1 T18 2 8

[1 0.8414709 2 (0.9973978 0.9896158

326 x 7 2 4 5 15 x 0.9767267 0.9588510 0.9361556

3 6

0.9088516 0.8771925)] 0.9456909.

在(5.6)中消元，得

用复化Simpson公式得

10 70 S 14 0 0.16 x1 x 7 6 4

[1 0.8414709 4 (0.9973978 0.9767267

2 02.55 x 6.1 3 2.5

0.9361556 0.8771925) 2 (0.9896158

第2步 在(5.5)将第一个方程与第二个方程交换，得

0.9588510 0.9088516)] 0.9460832

10 70 x1 7 02.55 x

2 0 0.16 2.5 x3 6.1

5. 取h 0.1，用改进的欧拉方法求初值问题 在(5.8)中消元，得

dy

y

10 70 x1 7

dx

y(0) 1

02.55 x 2 2.5 006.2 x3 6.2

的解在x 0.1处的近似值y1（计算过程保留3位小数）。

(2) 回代过程 解：预测－校正公式为

由最后一个方程解出x

yk 1 yk hf(xx,yk) yk h( yk)

3 1，代入第二个方程，解得x2 1；再将x2 1,x3 1代入第

yyhh

k 1 k 2[f(xk,yk) f(xk 1,yk 1)] yk x2

yk yk hyk 1 0,一个方程，解得x0. 故所求解为

h=0.1,x0=0，y0=1，x1=0.1，于是有

1 x2 1,

x3

1.

y1 1 0.1( 1) 0.9 4.设I 1

sinx

0x

dx， 0.1

y1 1 2( 1 1 0.1 1) 0.905 根据下表利用n 8时的复合梯形公式和n 4时的复合Simpson公式计算I的近似值（计

所求为y(0.1) y1=0.905

6. 试确定常数A,A1 A0,A12，使求积公式 1

f(x)dx A0f( 1) A1f(0) 2f(1) 具有尽可能高的代数精度,并指出其代数精度是多少?

解 令公式对 (x)=1, x, x2

都精确成立,则

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A0+A1+A2=2 A0 A2 0

解得: A x(k)1(k 1)(k 1)

1 13 x2 x3）0=A2 1/3,A1 4/3。

x(k)2

(k 1)(k2 11 x x 1)

求积公式为

1

1

3 f(x)dx 1

[f( (k)1(k 1)当 (x)= x3时, 左1=0,右=0,3

1) 4f(0) f(1)]公式也精确成立.

x3

225 x(k 1)1 x2）迭代矩阵为

当 (x)= x4时,左=2/5,右=2/3,公式不精确成立 01

1 所以,此公式的代数精度为3.

G2J 0 2

1 7.已知A 4 3

11

1 16

， 求 AA 0 , 1,A ,2,cond(A)

22

解：A 3 6 9 0.50.5

1 max 4 （1分） 其特征方程为 E GJ

1 1 ( 2 1.25) 0.

A 0.5 0.5

max 4 3 6 7 （1分）

因此有 , (GAT

1 02,3 .25i,即J) .25 1, A 4 1 4 3 36 16 17 18

1845

所以雅可比迭代法发散. 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法:

E ATA 17

18

218

45

( 17)( 45) 18 0

即

2

62 441 0 （3分） 解得 1 31 2， 2 31 2， (ATA) 31 2 A

(ATA) 31 2

2

x(k)1(k 1)(k 1) 1 13 x2 x3） 2小题，每小题 7分，共14分）

x(k)2(k)(k 1)

2 11 x1 x3

2xx x(k)1(k)(k)1 x2 3 13

3 225 x1 x2）

1.写出求解线性代数方程组

x1 x2 x3 11的雅可比（Jacobi）迭代法和高斯-塞德尔

迭代矩阵为

x1

x2 2x3 25

（Gauss-Seidel）迭代法的分量计算公式；对任意初值，分析这两种迭代法是否收敛？

00.5 0.5

解:雅可比（Jacobi）迭代法:

G G 0 0.5 0.5, 00 0.5

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0.50.5其特征方程为 E GG 0 0.5

0.5

( 0.5)2 0. -

0.5

因此有 1 0, 2 3 0.5,即 (GG) 0.5 1, 所以高斯-塞德尔迭代法收敛.

2. 试分析用迭代格式xk 1

16

x1

求方程f(x) x2 x 16 0在[3.2,4]上的根时的收敛性。 k 解：迭代格式xk 1

16x的迭代函数是 (x) 16

， k 1x 1

当x [3.2,4]时 (x)

16(x 1)2

0 ， (3.2) 164.2 3.8， (4) 16

5

3.2 所以 (x) [3.2,4]。

当x [3.2,4]时， (x)

16

4.22

1 所以，此迭代格式是收敛的。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hk7i.html