2009年《随机过程》课程试卷答案及评分标准

北方工业大学

《随机过程》课程试卷参考答案及评分标准

2009年秋季学期

一、（共20分）

设随机变量X服从几何分布G(p)，求 （1）X的特征函数g(t)；

（2）利用特征函数计算X的数学期望及方差。

解：（1）g(t)?E(eitX) 5分 =?eitkpqk?1 8分

k?1??

=?(qe)k?1itk?1peitp 10分 pe=?1?qeite?it?qit（2）由g(k)(0)?ikEXk得 13分

1 EX??i?g(0)? 16分

p EX2?(?i)2g??(0)?1?q 18分 p2q 20分 2p DX?EX2?(EX)2?二、（共20分）

设随机过程X(t)?Ucos2t，其中U是随机变量，E(U)?5，D(U)?6。

求此随机过程的（1）均值函数；（2）相关函数；（3）协方差函数；（4）方差函数。 解：（1）mX(t)? E [ X (t )] ? E [U cos 2 t ] 3分

?cos2tE[U]?5cos2t 5分

（2）RX(s,t)?E[X(t1)X(t2)]?E(U2cos2t1cos2t2)?31cos2t1cos2t2 10分 （3）BX(s,t)?RX(s,t)?mX(s)mX(t)=E[(X(t1)?m(t1)(X(t2)?m(t2)]

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st1?(U?5)co2st2]?cos2t1cos2t2E[(U?5)2] ?E[(U?5)co2 ?cos2t1cos2t2D[U]?6cos2t1cos2t2 16分 （4）令t1?t2?t得D[X(t)]?6cos22t 20分

三、（共20分）

顾客到达某商店服从参数??4人/小时的齐次泊松过程，已知商店上午9：00开门。

试求（1）到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。

（2）到9：30时仅到一位顾客，到11：30时总计已达5位顾客，而第六位顾客在12点前到达的概率。

解：设X(t)表示在时间t时到达的顾客数 （1） P(X(0.5)?1,X(2.5)?5)

?P(X(0.5)?1,X(2.5)?X(0.5)?4) ?P(X(0.5)?1)P(X(2)?4)

(4?0.5)1?4?0.5(4?2)4?4?2?e?e?0.0155 ………………………10分

1!4! （2）所求概率为

p?P(X(0.5)?1,X(2.5)?X(0.5)?4,X(3)?X(2.5)?1)……………….12分 ?P(X(0.5)?1)P(X(2)?4)P(X(0.5)?1) ……………18分

(4?0.5)1?4?0.5(4?2)4?4?2e?e ?(1?e?4?0.5)…………………………20分 1!4!

四、（共20分）

?1?3?1设马氏链{Xn,n?0}的状态空间I={1，2，3}，其一步转移矩阵为 P1???3??0?23013?0?2?? 3?2?3??（1）画出概率转移图；（2）讨论各状态的常返性及周期性；（3）求两步转移概率矩阵；

（4）此链是否具有遍历性，若是求出平稳分布。 解：（1）概率转移图略 4分

（2）该链的每一状态都可达另一状态，即：三个状态是相通的

(1)(2)f22?0,f22?由上图可计算得

(k)f224,9 8分

21k?222k?2?()?()(k?3)9393北方工业大学试卷 第2页 共4页

(k)所以f22??f22?1，各状态是常返的 10分

k?1?(k)又?kf22??，因而各状态是正常返、遍历的 12分 k?1??1?3?12（3）两步转移概率矩阵P? ??9?1?9?2949294?9?4?? . 15分 9?2?3??(2)（4）对于一切i,j?I，pij?0，该马氏链具有遍历性

11??(1)??(1)??(2)?33?21??(2)??(1)??(3) ， (?(1),?(2),?(3))?(?(1),?(2),?(3))P ?33?22??(3)??(2)??(3)33??(1)??(2)??(3)?1??(1)?124，?(2)?，?(3)? 777所以马氏链的平稳分布为

X

?(i)171

272

473

20分

五、（共20分）

设有两个随机过程X(t)?Ucos?t?Vsin?t、Y(t)??Usin?t?Vcos?t，???t???，其中U和V是均值都为零、方差都为?2的不相关随机变量，试讨论它们的平稳性，并求互相关函数。

解：因为 E(U)?E(V)?0，D(U)?D(V)??2

所以 mX(t)?E[X(t)]?E[Ucos?t?Vsin?t]=0

mY(t)?E[Y(t)]?E[?Ucos?t?Vsin?t]=0为常数

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且X(t)、Y(t)是二阶矩过程

X(t)的自相关函数RX(t,t??)?E[X(t??)X(t)]

?E[(Ucos?(t??)?Vsin?(t??))?(Ucos?t?Vsin?t)]

?E(U2)cos?(t??)cos?t?E(V2)sin?(t??)sin?t??2cos??

同样可求得 RY(t,t??)??2cos?? 故X(t)、Y(t)都是平稳过程。

X(t)、Y(t)的互相关函数为

BXY(?)?E[X(t??)Y(t)]

?E[(Ucos?(t??)?Vsin?(t??))(?Usin?t?Vcos?t)] ??2(?cos?(t??)sin?t?sin?(t??)cos?t)??2sin??

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