第二十一章 数据的整理与初步处理 知识点+例题详解

第二十一章 数据的整理与初步处理

一、知识结构

二、知识点解析

1. 平均数：反映了这组数据中各数据的平均大小。平均数＝总量÷总份数。数据的平均数只有一个

一般地，对于n个数x1，x2，??，xn，把为x.

在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”不相同时，往往给每个数据一个权重，这时，求出的结果就是加权平均数。

2. 中位数：将一组按由小到大的顺序排列好的数据平分为左右两部分（这两部分所含的数据个数相等），中位数就是这两部分的分界线。 3.

众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

1?x1?x2???xn?叫做这n个数的平均数，记n 统计数据个数的时候，相等的数据不能合起来只算作一个数据 一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数

4. 极差：极差是指一组数据中最大值减去最小值所得的差，它可以反映一组数据的变化范围，只和极端值相关。

5.

方差：方差是指一组数据x1，x2，?，xn中，各数据与它们的平均数x的差的平方的

平均数，通常用“S2”表示，它可以比较全面地反映一组数据与其平均值的离散程度，方差越大，波动越大。 S2 ＝6.

1n??x－x?＋?x－x?＋?＋?x2212n?x?2?

标准差：标准差是指方差的算术平方根，它的数量单位与原数据的数量单位一致。

2S ＝S

7、平均数、极差、方差、标准差的变化规律

一组数据同时加上或减去一个数,极差不变，平均数加上或减去这个数,方差不变,标准差不变

一组数据同时乘以或除以一个数,极差和平均数都乘以或除以这个数,方差乘以或除以该数的平方,标准差乘以或除以这个数的绝对值。 一组数据同时乘以一个数a，然后在加上一个数b，极差乘以这个数a，平均数乘以这个数a，再加上b,方差乘以a的平方，标准差乘以|a|.

三、实践应用

(以下例题由教师分析，并在学生集体完成后作简要评注．)

例1 初二年级共有学生约300人，其中十三周岁的约有60人，十四周岁的约有200人，十五周岁的约有40人，请绘制扇形统计图表示不同年龄学生的比例数．

分析 绘制扇形统计图分三步：

(1)计算出十三周岁、十四周岁、十五周岁的学生占总人数的百分比； (2)按百分比计算在扇形统计图中不同年龄所对应的扇形圆心角的度数； (3)绘制扇形统计图． 解 (1)列表：

(2)绘制扇形统计图

小结 简洁的扇形统计图更具表现力，因此我们常常会用它来表示各部分所占的比例．

例2 （2001年湖北荆门市中考试题）初三（1）班分甲、乙两组，每组各选

10名学生进行数学抢答赛，共有10道选择题，答对8题（含8题）以上为优秀，各组选手答对题数统计如下：

请你完成上表，再根据所学的统计知识，从不同方面评价甲、乙两组选手的成绩． 分析 本题要求考生在多角度运用统计知识进行综合分析、比较的基础上做出判断．从平均数、中位数、众数、方差、优秀率进行评价，首先要理解题意，然后处理数据，接着根据数据进行分析判断，最后表述结论．计算乙组选手的数据：

中位数为8，众数为7．

方差S2=(1+1+1+1+0+0+0+1+1+4)/10=1.0，优秀率为60%． 解 (1)在乙组选手一行中依次填入：8，8，7，1.0，60%．

(2)可从以下四个不同方面进行评价：

①从平均数、中位数看，两组都是8题，成绩均等； ②从众数看，甲组8题，乙组7题，甲组成绩比乙组成绩好； ③从方差看，甲组成绩差距大，乙组成绩相对稳定，差距较小； ④从优秀率看，甲组优生比乙组优生多．

说明 本题考察统计知识的综合能力，最后结论不能笼统地讲甲组好或是乙组好，从不同侧面出发会形成不同的评价．

例3 （2000年上海市中考试题）为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高作调查，现有三种调查方案： (A)测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高； (B)查阅有关外地180名男生身高的统计资料；

(C)在本市的市区和郊县各任选一所完全中学，两所初级中学，在这六所学校有关年级的(1)班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高． (1)为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？（答案分别填在空格内） 答：选_______；理由：________________．

(2)下表中的数据是使用某种调查方法获得的：

初中男生身高情况抽样调查表(注：每组可含最低值，不含最高值)

①根据表中的数据填写表中的空格；

②根据填写的数据绘制频数分布直方图． 分析 本题突出考查了统计的研究方法，即如何抽取样本，题中A由于少年体校男子篮球、排球队员身高显然都较高，不能代表普通初中生身高，不具普遍性；B外地男生身高不能适合于上海市，而C是本市学生中“随机抽样”当然具有代表性，可以被用来估计总体，选C．

解 (1)答C．因为方案C采用随机抽样的方法，样本比较具有代表性，可以被用来估计总体．

(2)①表格中频数从上往下依次填入：15；33；96；33；3． ②频数分布直方图如下．

说明 我们现在所学习的统计知识主要涉及两类问题：一是如何抽取样本；二是如何对所抽取的样本进行整理、分析，从而对总体情况做出估计．而样本抽取是否得当，直接关系到对总体的估计的准确程度．

例3 袋中装有八张分别写有数字1-8的卡片，搅匀后摸出一张记下数字后放

回，再搅匀再摸出一张，问两次摸出的数字之和有多少种可能？数字之和为多少的机会最大？

分析 此题画树状图较复杂，可列表分析． 解 列表如下：

由表观察可知：数字之和共有15种可能，数字之和为9的机会最大． 说明 (1)上表中共列举了64种等可能的结果；对数字之和而言，共有15种可能，它们并不是等可能的，其中数字之和是9的机会最大，为8/64=1/8．

(2)思考：若把题中“搅匀后摸出一张记下数字后放回，再搅匀再摸出一张”改为“一次摸出两张卡片”，那么结果有没有改变？如果有，将怎样改变？

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