高考数学杨老师-创新型题型秒杀解题策略

高考数学创新型题型秒杀解题策略

【考情分析】

新课程标准要求学生对“新颖的信息、情景和设问选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和探究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．”着新一轮课程改革的深入和推进，高考的改革使知识立意转向能力立意，推出了一批新颖而又别致，具有创新意识和创新思维的新题。从最近几年来高考中探索性问题和创新题型比重逐年攀升，对探索性问题和创新型问题的预测研究应该是我们备考的重点。

预测13年高考探索性问题重点出在函数、数列、不等式、立体几何和解析几何等方面，估计新课标省市试题中此类题目分值10分左右（上海、广东、江苏较为典型），并且主观题、客观题设置较为灵活。今年高考多会结合合情推理知识点出探索性问题（特别是解答题），应加强对这些内容的研究；创新题型多出现与经济、生活密切相关（像概率、线性规划等）的数学问题相关的问题有关，题目新颖，数学知识并不复杂。关注以下两种类型：

1、类比归纳型

类比归纳型创新题给出了一个数学情景或一个数学命题，要求用发散思维去联想、类比、推广、转化，找出类似的命题，或者根据一些特殊的数据、特殊的情况去归纳出一般的规律．这是新课程较为重视的类比推理、归纳推理．主要考查学生的观察、分析、类比、归纳的能力，从不变中找规律，从不变中找变化。

2、信息迁移型

创新题是指以学生已有的知识为基础，并给出一定容量的新信息，通过阅读，从中获取有关信息，捕捉解题资料，发现问题的规律，找出解决问题的方法，并应用于新问题的解答．它既能有效地考查学生的思维品质和学习潜力，又能考查学生的综合能力和创新能力。 【知识归纳】

1．探索型问题

常见的探索性问题，就其命题特点考虑，可分为归纳型、题设开放型、结论开放型、题设和结论均开放型以及解题方法的开放型几类问题；

（1）结论开放型探索性问题的特点是给出一定的条件而未给出结论，要求在给定的前提条件下，探索结论的多样性，然后通过推理证明确定结论；

（2）题设开放型探索性问题的特点是给出结论，不给出条件或条件残缺，需在给定结论的前提下，探索结论成立的条件，但满足结论成立的条件往往不唯一，答案与已知条件对整个问题而言只要是充分的、相容的、独立的，就视为正确的；

（3）全开放型，题设、结论都不确定或不太明确的开放型探索性问题，与此同时解决问题的方法也具有开放型的探索性问题，需要我们进行比较全面深入的探索，才能研究出解决问题的办法来。

解探索性问题应注意三个基本问题:认真审题,确定目标；深刻理解题意;开阔思路,发散思维，运用观察、比较、类比、联想、猜想等带有非逻辑思维成分的合理推理,以便为逻辑思维定向。方向确定后，又需借助逻辑思维,进行严格推理论证,这两种推理的灵活运用,两种思维成分的交织融合,便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略。

解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般解这类问题有如下方法：

（1）直接法：直接从给出的结论入手，寻求成立的充分条件；直接从给出的条件入手，寻求结论；假设结论存在（或不存在），然后经过推理求得符合条件的结果（或导出矛盾）等；

（2）观察——猜测——证明 （3）特殊—一般—特殊

其解法是先根据若干个特殊值，得到一般的结论，然后再用特殊值解决问题； （4）联想类比

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（5）赋值推断 （6）几何意义法

几何意义法就是利用探索性问题的题设所给的数或式的几何意义去探索结论，由于数学语言的抽象性，有些探索性问题的题设表述不易理解，在解题时若能积极地考虑题设中数或式的几何意义所体现的内在联系，巧妙地转换思维角度，将有利于问题的解决；

2．创新题型

根据现行的教学大纲和国家数学课程标准的要求，结合中学数学教材的内容及我国的经济发展的要求，在实际问题中侧重如下几种模型：

（1）社会经济模型

现值、终值的计算及应用（计息、分期付款、贴现等），投资收益，折旧，库存，经济图表的运用；

（2）拟合模型

数据的利用、分析与预测（线形回归、曲线拟合）等问题；

（3）优化模型科学规划，劳动力利用，工期效益，合理施肥，最值问题，工程网络，物资调用等问题；

（4）概率统计模型彩票与模型，市场统计，评估预测，风险决策，抽样估计等问题； （5）几何应用模型工厂选址，展开、折叠，视图，容器设计，空间量的计算，轨迹的应用等；

（6）边缘学科模型与理、化、生、地、医等相关方面的问题。 【考点例析】

题型1：探索问题之直接法

例1．（2012．浙江理10）已知矩形ABCD，AB=1，BC=2。将△沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中。

A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直. B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直. C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.

D.对任意位置，三对直线―AC与BD‖，―AB与CD‖，―AD与BC‖均不垂直 【答案】C

【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C是正确的．

例2．（2010辽宁理，12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是

(A)（0,6?2） (B)（1,22） (C) (6?2,6?2） (D) （0,22）

【答案】A

【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。 【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a

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可以取最大值，可知AD=3，SD=a2?1，则有a2?1<2+3，即a2?8?43?(6?2)2，即有a<6?2

(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时a>0; 综上分析可知a∈（0,6?2）。

点评：这也是一道结论探索型问题，结论不唯一，应从题设出发，通过分类以简化思维，再利用射影的概念，得到正确的结论。

bx?c1例3．已知函数f(x)?2(a,c∈R,a＞0,b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值，且f(1)

ax?122＞.（1）求函数f(x)的解析式；（2）是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，并且使5得P、Q两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.

分析：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力. 解析：（1）∵f(x)是奇函数，

?bx?cbx?c??2∴f(–x)=－f(x)，即2，∴－bx+c=－bx–c，∴c=0，

ax?1ax?1bx∴f(x)=2.由a＞0，b是自然数得当x≤0时，f(x)≤0，

ax?1当x＞0时，f(x)＞0，∴f(x)的最大值在x＞0时取得.

∴x＞0时，f(x)?1a1x?bbx?212ab21ab2?当且仅当

a1x? bbx即x?1时，f(x)有最大值aa1∴2=1,∴a=b2 ① 2b2b2又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a+2 ②

5a?151x把①代入②得2b2–5b+2＜0解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)=2

2x?1（2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称，

?x0?x2?1?y0?P(x0,y0)则Q（2–x0,–y0)，∴?0,消去y0，得x02–2x0–1=0

?2?x0??y02??(2?x0)?1高考数学杨老师3

解之，得x0=1±2,∴P点坐标为(1?2,22)或(1?2,?)， 44进而相应Q点坐标为Q（1?2,?22）或Q(1?2,)，

44过P、Q的直线l的方程：x－4y－1=0即为所求。

点评：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证。 题型2：探索问题―观察——猜测——证明‖

例4．（2012上海．23）对于数集X?{?1,x1,x2,?,xn}，其中0?x1?x2???xn，n?2，定义向量集Y?{a|a?(s,t),s?X,t?X}. 若对于任意a1?Y，存在a2?Y，使得a1?a2?0，则称X具有性质P. 例如X?{?1,1,2}具有性质P.

（1）若x＞2，且{?1,1,2,x}，求x的值；（4分）

（2）若X具有性质P，求证：1?X，且当xn＞1时，x1=1；（6分） （3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列x1,x2,?,xn的通项公式.（8分）

[解]（1）选取a1?(x,2)，Y中与a1垂直的元素必有形式(?1,b). ……2分 所以x=2b，从而x=4. ……4分 （2）证明：取a1?(x1,x1)?Y.设a2?(s,t)?Y满足a1?a2?0. 由(s?t)x1?0得s?t?0，所以s、t异号.

因为-1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为-1，另一为1，

故1?X. ……7分 假设xk?1，其中1?k?n，则0?x1?1?xn.

选取a1?(x1,xn)?Y，并设a2?(s,t)?Y满足a1?a2?0，即sx1?txn?0， 则s、t异号，从而s、t之中恰有一个为-1. 若s=-1，则2，矛盾；

若t=-1，则xn?sx1?s?xn，矛盾.

所以x1=1. ……10分 （3）[解法一]猜测xi?qi?1，i=1, 2, …, n. ……12分 记Ak?{?1,1,x2,?,xk}，k=2, 3, …, n.[来源:www.shulihua.net] 先证明：若Ak?1具有性质P，则Ak也具有性质P.

任取a1?(s,t)，s、t?Ak.当s、t中出现-1时，显然有a2满足a1?a2?0； 当s??1且t??1时，s、t≥1.

因为Ak?1具有性质P，所以有a2?(s1,t1)，s1、t1?Ak?1，使得a1?a2?0， 从而s1和t1中有一个是-1，不妨设s1=-1.

假设t1?Ak?1且t1?Ak，则t1?xk?1.由(s,t)?(?1,xk?1)?0，得s?txk?1?xk?1，与

s?Ak矛盾.所以t1?Ak.从而Ak也具有性质P. ……15分

现用数学归纳法证明：xi?qi?1，i=1, 2, …, n. 当n=2时，结论显然成立；

假设n=k时，Ak?{?1,1,x2,?,xk}有性质P，则xi?qi?1，i=1, 2, …, k；

当n=k+1时，若Ak?1?{?1,1,x2,?,xk,xk?1}有性质P，则Ak?{?1,1,x2,?,xk}，也有性质P，

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所以Ak?1?{?1,1,q,?,qk?1,xk?1}.

取a1?(xk?1,q)，并设a2?(s,t)满足a1?a2?0，即xk?1s?qt?0.由此可得s与t中有且只有一个为-1.

若t??1，则1，不可能；

所以s??1，xk?1?qt?q?qk?1?qk，又xk?1?qk?1，所以xk?1?qk. 综上所述，xi?qi?1xi?qi?1，i=1, 2, …, n. ……18分 [解法二]设a1?(s1,t1)，a2?(s2,t2)，则a1?a2?0等价于

s1t1t2??s. 2记B?{s|s?X,t?X,|s|?|t|}，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对t称. ……14分

注意到-1是X中的唯一负数，B?(??,0)?{?x2,?x3,?,?xn}共有n-1个数， 所以B?(0,??)也只有n-1个数. 由于xnn?1?xnxn?1xn?1xn?2xxnxn?2???xnx2xnx2?xnx1xnx1，已有n-1个数，对以下三角数阵

??x2x1xnxn?2xn?1xn?3???????

xn?1x1……

xnx1注意到

?xn?1x1???x2x1，所以xnn?1?xxn?1xn?2???x2x1，从而数列的通项公式为

k?12k?1xk?x1(x)?q，k=1, 2, …, n. ……18分 x1【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义―X具有性质P‖这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．

例5.（2003高考上海卷）已知数列{an}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列。

0120123 （1）求和：a1C2?a2C2?a3C2,a1C3?a2C3?a3C3?a4C3;

（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.

0123n（3）设q≠1，Sn是等比数列{an}的前n项和，求：， S1Cn?S2Cn?S3Cn?S4Cn???(?1)nSn?1Cn解析：（1）

012a1C2?a2C2?a3C2?a1?2a1q?a1q2?a1(1?q)2,a1C?a2C?a3C?a4C?a1?3a1q?3a1q?a1q?a1(1?q).（2）归纳概括的结论为：

若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列， 则：

03132333233

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0123na1Cn?a2Cn?a3Cn?a4Cn???(?1)nan?1Cn?a1(1?q)n,n为正整数.0123n证明:a1Cn?a2Cn?a3Cn?a4Cn???(?1)nan?1Cn?a1C?a1qC?a1qC?a1qC???(?1)a1qC0n1n22n33nnnnn

0123n?a1[Cn?qCn?q2Cn?q3Cn???(?1)nqnCn]?a1(1?q)na1?a1qn（3）因为Sn?,

1?q0123n所以S1Cn?S2Cn?S3Cn?S4Cn???(?1)nSn?1Cnn?1a1?a1q0a1?a1q21a1?a1q32na1?a1qn?Cn?Cn?Cn???(?1)Cn1?q1?q1?q1?q a10123nn?[Cn?Cn?Cn?Cn???(?1)Cn]?1?qa1qaq0123n[Cn?qCn?q2Cn?q3Cn???(?1)nqnCn]?1(1?q)n.1?qq?1

2，n}，n?N*．记f(n)为同时满足下列条件的例6、(2012江苏．26)设集合Pn?{1，…，集合A的个数：

①A?Pn；②若x?A，则2x?A；③若x?CpnA，则2x?CpA；

n（1）求f(4)；

（2）求f(n)的解析式（用n表示）。

解：（1）当n=4时，符合条件的集合A为：?2?， ?1,4?，?2,3?，?1,3,4?，∴ f(4)=4。 ( 2 ）任取偶数x?Pn，将x除以2 ，若商仍为偶数．再除以2 ，··· 经过k次以后．商必为奇数．此时记商为m。于是x=m?2k，其中m为奇数k?N*。

由条件知．若m?A则x?A?k为偶数；若m?A，则x?A?k为奇数。 于是x是否属于A，由m是否属于A确定。

设Qn是Pn中所有奇数的集合．因此f(n)等于Qn的子集个数。 当n为偶数〔 或奇数）时，Pn中奇数的个数是（

?n2?2?n为偶数?∴f(n)=?n?1。 ?22n为奇数???n2n?1）。 2【点评】（1）找出n=4时，符合条件的集合个数即可。（2）由题设，根据计数原理进行求解。

题型3：探究问题之―特殊—一般—特殊‖

例7．设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R,a≠0)满足条件：

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①当x∈R时，f(x－4)=f(2－x)，且f(x)≥x；

x?12)； ②当x∈(0,2)时，f(x)≤(2③f(x)在R上的最小值为0。

求最大值m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x

分析：本题先根据题设求出函数f（x）解析式，然后假设t存在，取x=1得t的范围，再令x=m求出m的取值范围，进而根据t的范围求出m的最大值。

解法一：∵f(x-4)=f(2-x)，∴函数的图象关于x= -1对称

b??1 即b=2a ∴?2a由③知当x= ?1时,y=0，即a?b+c=0； 由①得 f(1)≥1，由②得 f(1)≤1。 ∴f(1)=1，即a+b+c=1，

111又a?b+c=0，∴a=、b=、c=，

424111∴f(x)=x2?x?，

424假设存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x，

111取x=1时，有f(t+1)≤1?(t+1)2+(t+1)+≤1??4≤t≤0，

424对固定的t∈[－4,0]，取x=m，有：

1112

f(t?m)≤m?(t+m)2+(t+m)+≤m?m2??(1?t)m+(t+2t+1)≤0，

424?1?t??4t≤m≤1?t??4t ∴m≤1?t?4t≤1?(?4)??4?(?4)=9，

11当t= -4时，对任意的x∈[1,9]，恒有f(x?4)?x=(x2?10x+9)=(x?1)(x?9)≤0，

44∴m的最大值为9。

解法二：∵f(x-4)=f(2-x)，

b??1，b=2a。 ∴函数的图象关于x=－1对称，∴ ?2a由③知当x= ?1时,y=0，即a?b+c=0； 由①得 f(1)≥1，由②得 f(1)≤1。 ∴f(1)=1，即a+b+c=1，又a?b+c=0

1111111∴a= b= c=∴f(x)=x2?x?=(x+1)2 ，

42442441 由f(x+t)=(x+t+1)2≤x 在x∈[1,m]上恒成立

4 ∴4[f(x+t)-x]=x2+2(t-1)x+(t+1)2≤0当x∈[1,m]时，恒成立； 令 x=1有t2+4t≤0??4≤t≤0

令x=m有t2+2(m+1)t+(m-1)2≤0当t∈[-4,0]时，恒有解； 令t= ?4得，m2?10m+9≤0?1≤m≤9，

11即当t= ?4时，任取x∈[1,9]恒有f(x-4)-x=(x2?10x+9)=(x?1)(x?9)≤0，

44∴ mmin=9。

点评：本题属于存在性探索问题，处理这道题的方法就是通过x的特殊值得出t的大致

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范围，然后根据t的范围，再对x取特殊值，从而解决问题。

题型4：探究性问题之―联想类比‖ 例8．(2012湖北.22）（Ⅰ）已知函数f(x)?rx?xr?(1?r)(x?0)，其中r为有理数，且0?r?1. 求f(x)的最小值；

（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设a1?0,a2?0，b1,b2为正有理数. 若b1?b2?1，则a1ba2b?a1b1?a2b2；

（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题. ．．．．．

12注：当?为正有理数时，有求导公式(x?)???x??1. 【答案】（Ⅰ）f?(x)?r?rxr?1?r(1?xr?1)，令f?(x)?0，解得x?1. 当0?x?1时，f?(x)?0，所以f(x)在(0,1)内是减函数； 当 x?1 时，f?(x)?0，所以f(x)在(1,??)内是增函数.

故函数f(x)在x?1处取得最小值f(1)?0. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x?(0,??)时，有f(x)?f(1)?0，即xr?rx?(1?r) ① 若a1，a2中有一个为0，则a1ba2b?a1b1?a2b2成立； 若a1，a2均不为0，又b1?b2?1，可得b2?1?b1，于是

12在①中令x?11a1aa，r?b1，可得(1)b1?b1?1?(1?b1)， a2a2a212即a1ba21?b?a1b1?a2(1?b1)，亦即a1ba2b?a1b1?a2b2.

综上，对a1?0,a2?0，b1，b2为正有理数且b1?b2?1，总有a1ba2b?a1b1?a2b2. ② （Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：

设a1,a2,?,an为非负实数，b1,b2,?,bn为正有理数.

bb若b1?b2???bn?1，则a1ba2?an?a1b1?a2b2???anbn. ③ 用数学归纳法证明如下：

（1）当n?1时，b1?1，有a1?a1，③成立.

（2）假设当n?k时，③成立，即若a1,a2,?,ak为非负实数，b1,b2,?,bk为正有理数，

bb且b1?b2???bk?1，则a1ba2?ak?a1b1?a2b2???akbk. 当n?k?1时，已知a1,a2,?,ak,ak?1为非负实数，b1,b2,?,bk,bk?1为正有理数， 且b1?b2???bk?bk?1?1，此时0?bk?1?1，即1?bk?1?0，于是

1212n12kbk?1aa?aa?(aa?a)a=(aa?a)ak?1.

bbb因1?2???k?1，由归纳假设可得 1?bk?11?bk?11?bk?1b11b22bkkbk?1k?1b11b22bkkbk?1k?1b11?bk?11b21?bk?12bk1?bk?11?bk?1kab11?bk?11ab21?bk?12?abk1?bk?1k?a1?ab?a2b2???akbkbkb1b2?11?a2????ak?，

1?bk?11?bk?11?bk?11?bk?11?bk?1bk?1ak?1.

?ab?ab???akbk?从而aa?aa??1122?1?bk?1??又因(1?bk?1)?bk?1?1，由②得

b11b22bkkbk?1k?1?a1b1?a2b2???akbk?a1b1?a2b2???akbkbk?1??(1?bk?1)?ak?1bk?1 a??k?11?b1?bk?1k?1???a1b1?a2b2???akbk?ak?1bk?1，

bbb从而a1ba2?akak?1?a1b1?a2b2???akbk?ak?1bk?1. 故当n?k?1时，③成立. 由（1）（2）可知，对一切正整数n，所推广的命题成立.

12kk?11?bk?1高考数学杨老师8

说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对n?2成立，则后续证明中不需讨论n?1的情况. 例9．（2012福建．18）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）sin2130?cos2170?sin130cos170； （2）sin2150?cos2150?sin150cos150； （3）sin2180?cos2120?sin180cos120； （4）sin2(?130)?cos2480?sin(?18)0cos480； （5）sin2(?250)?cos2550?sin(?25)0cos550。

（I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（II）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。

1302000?cos15?sin15cos15?1?0sin30? 解析：（I）选择（2）：sin215243（II）三角恒等式为：sin2??cos2(300??)?sin?cos(300??)?

40sin2??cos2(300??)?sin?cos(30??) ?sin2??(3131cos??sin?)2?sin?(cos??sin?) 2222333?sin2??cos2??444。

题型5：探究性问题之―赋值推断‖

例11．（2012湖北理.10）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积求其直径d的一个近似公式d?V，

3316V. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159?9判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ）

Ａ．d?【答案】D 【解析】

34d36Va6b6?9由V??()，得d?,设选项中常数为,则?=；A中代入得?==3.375，32?ba166?16?1576?11B中代入得?==3，C中代入得?==3.14,D中代入得?==3.142857，

230021由于D中值最接近?的真实值，故选择D。例12.（2004年高考江苏卷）二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：

321330016V B．d?32V C．d?V D．d?V 915711

x y -3 6 -2 0 -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 0 4 6 高考数学杨老师9

则不等式ax2+bx+c>0的解集是(??,?2)?(3,??)。

题型6：探究性问题之―几何意义法‖

例13．设x、y为实数，集合A＝{(x,y)|y2―x―1=0},B={{(x,y)|16x2+8x―2y+5=0}, C={(x,y)|y＝kx+b}，问是否存在自然数k,b使（A∪B）∩C＝φ？

分析：此题等价于是否存在自然数k，b，使得直线y＝kx+b与抛物线y2―x―1=0和16x2+8x―2y+5=0都没有交点。

5解析：因为抛物线y2―x―1=0和16x2+8x―2y+5=0在y轴上的截距分别为1、，所以

2?y?kx?233?k?1?取b=2，由?2无实数解，得1?，从而k=1，

y?x?122??y?kx?2?此时方程组?5无实数解.故存在k=1，b=2满足（A∪B）∩C＝φ. 2y?8x?4x???2点评：与集合运算有关的一类探索性问题，它的题设往往都具有鲜明的几何意义。

题型7：开放型题目

例14．（社会经济问题）（2012年高考（福建文））某工厂为了对新研发的一种产品进行合理

定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:

单阶8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 x(元) 销量90 y(件) 84 83 80 75 68 ??bx?a,其中b??20,a?y??bx; (I)求回归直线方程y(II)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)

【考点定点】本题主要考查回归分析,一元一次函数等基础知识,考查运算能力、应用意识、转化与化归思想、特殊与一般思想.

1解:(1)?x?(x1?x2?x3?x4?x5?x6)?8.5

61y?(y1?y2?y3?y4?y5?y6)?80 ?a?y?bx?80?20?8.5?250,

6???20x?250 回归直线方程为:y (2)设工厂获利润为L元,依题意:

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L?x(?20x?250)??4(?20x?250)??20x2?330x?100033??20(x?)2?361.254

当单价定为x?8.25时,工厂获利最大.

例15．（拟合问题）“人口问题”是我国最大社会问题之一,估计人口数量'和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础.由人口统计年鉴，可查得我国从1949年至1994年人口数据资料如下： 年 1949 1954 1959 1964 1969 人口数541.67 602.66 672.09 704.99 （百万） 年 1974 1979 1984 1989 806.71 1994[来源:www.shulihua.net] 人口数1176.74[来908.59 975.42 1034.75 1106.76 （百源:www.shulihua.netwww.shulihua.net] 万） 试估计我国1999年的人口数.（第一届北京高中数学知识应用竞赛初赛题五）

方法1 ：(利用计算器) (1) 在坐标系中描出数据的散点图,直观判断散点近似在一直线上； (2) 用回归直线作为其拟合模型,为便于计算,可将数据适当简化,再用计算器计算相应的数据之和. 7125a＋225b=221 860.55, 由 225a＋10b=8530.38, 解得 a=14.510 06,b=526.561 6.

(3) 预测：根据上述模型，当x=50(即2005年)时，y=1 252.064 6≈12.52（亿）

Xi Yi Xi2 Yi2 Xi Yi Xi2 Yi2 30 975.42 35 1034.75 40 1106.76 0 541.67 5 602.66 10 672.09 45 1176.74 225 8530.38 7125 221860.55 15 704.99 20 806.71 25 908.59 例16．（优化问题）（2012四川理．9）某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千

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克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）

A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元 【答案】C.

【解析】设生产x桶甲产品，y桶乙产品，总利润为Z，

?x?2y?12??2x?y?12则约束条件为?，目标函数为Z?300x?400y，

x?0???y?0可行域为，当目标函数直线经过点M时z有最大值，联立

?x?2y?12方程组?得M(4,4)，代入目标函数得z?2800，故选C.

2x?y?12?

例17．（概率模型）（2012年高考（课标文））某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.

(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式.

(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量14 15 16 17 18 19 20 n 16[来源:w频数 10 20 16 15 13 10 ww.shulihu高考数学杨老师12

a.net] (i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;

(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.

【命题意图】本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事件的

和概率,是简单题.

【解析】(Ⅰ)当日需求量n?17时,利润y=85; 当日需求量n?17时,利润y?10n?85,

?10n?85,n?17,∴y关于n的解析式为y??(n?N);

?85, n?17,(Ⅱ)(i)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的平均利润为 1(55?10?65?20?75?16?85?54)=76.4; 100(ii)利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝,故当天的利润不少于75元的概率为

p?0.16?0.16?0.15?0.13?0.1?0.7

【方法技巧】

随着以培养学生的创新精神和实践能力为重点的素质教育的深入发展和新课程改革的不断深入，高考命题将更加关注“探索性问题”和“创新题型”。从最近几年来高考中探索性问题逐年攀升的趋势，可预测探索性问题和创新题型仍将是高考命题“孜孜以求的目标”。我们认为进行探索性问题和创新题型的训练，是数学教育走出困境的一个好办法。由于数学开放探索题有利于学生创新意识的培养和良好思维品质的形成，它越来越受到教育界人士的关注和深入研究，在高考中起着愈来愈重要的作用。我们预测：

1．从2000年～2012年的高考中，探索性问题和创新题型逐年攀升的趋势，可预测今后将会加大开放探索性考题的力度；

2．连续多年高考题中（特别是上海市高考题），出现以解析几何、立体几何和函数为背景的结论开放型探索性的解答题，说明这类题型仍将是高考解答题的重点；

3．设计开放探索题和创新题型，能考查学生的创新意识，特别应鼓励学生创新性的解答，这就反映学生的创新意识，应该很好鼓励；

4．将在方法型开放探索题和创新题型中有所突破，用非常规的解题方法，或者指定两种以上方法解同一个问题，或者在题设或结论开放型的问题中解决方法也具有一定的开放性问题，都可能在高考中出现。 【专题训练】

1?S １.已知元素为实数的集合S满足下列条件：①1、0?S；②若a?S，则1?a?1?若?2,?2??S，求使元素个数最少的集合S；

?2?在上一小题求得的集合S中，任取3个不同元素a,b,c，求使abc??1的概率。

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?3?（本小题选理科的学生做，选文科的学生不做）

若非空集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确。

２.已知二次函数f(x)?ax2?bx(a、b为常数且a?0)满足条件：f(?x?5)=f(x?3)，且方程

f(x)=x有等根。

(1)求f(x)的解析式；

(2)是否存在实数m、n(m

1x?a2３．已知函数f(t)?at?bt?(t?R,a?0)的最大值为正实数，集合A?{x|?0}，

x4a集合B?{x|x2?b2}。

（1）求A和B；

（2）定义A与B的差集：A?B?{x|x?A且x?B}。设a，b，x均为整数，且x?A。P(E)为x取自A?B的概率，P(F)为x取自A?B的概率，写出a与b的二组值，使P(E)?1P(F)?。

32，3（3）若函数f(t)中，a，b 是（2）中a较大的一组，试写出f(t)在区间[n?82,n]上的最大值函数g(n)的表达式。

４．给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x0，都有函数值f(x0)?D，则称函数y=f(x)在D上封闭。 （1）若定义域D1=（0，1），判断下列函数中哪些在D1上封闭，且给出推理过程： f1(x)=2x-1，

x21f2(x)=?1，f(x)=2-1，f4(x)=cosx.； x?x?1322 （2）若定义域D2=（1，2），是否存在实数a使函数f(x)=5xx??2a在D2上封闭，若存在，求

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出a的值，并给出证明，若不存在，说明理由。

[来源:www.shulihua.net]

2?3n?2(n?N)，试求{an}最大项的值； ５．（1）已知数列{an}的通项公式：an?n3?11an?p（2）记bn?，且满足（1），若{(bn)3}成等比数列，求p的值；

an?2C?p,C1??1,C1?2，且p是满足（2）的正常数，试证：对于任（3）（理）如果Cn?1?nCn?1意

自然数n，或者都满足C2n?1?2,C2n?2；或者都满足C2n?1?2,C2n?2。 （文）若{bn}是满足（2）的数列，且{(bn)3}成等比数列，

试求满足不等式：?b1?b2?b3???(?1)n?bn?2004的自然数n的最小值。

【参考答案】 1、解 ?1?2?S?11111??1?S???S??2?S；

11?21???1?21?211131?2?S???S???S???2?S

131???2?321?1?32113???使?2,?2??S的元素个数最少的集合S为?2,?1,,?2,,?

232???2?设a,b,c是S???2,?1,?113?且使abc??1，由于S中仅有2个负数，,?2,,?中三个不同元素，

232?113??1,??2?????1 232故只有如下两种可能：2???1???所相对的概率为P?21? 3C610?3?非空有限集S的元素个数是3的倍数

证明如下： 设a?S,则a?0,1且

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