高等数学（同济第六版）上册 期末复习题（含答案）

※高等数学上册期末复习

一.填空题

3e3x?cos2x? 1.limx?02sin2x2.曲线y?xe?x的拐点是 (2,2e?2) 3.设f(x)在x?0处可导且f(0)?0,则limx?0f(x)? f?(0) x4.曲线y?1?cos2x???x在(,1?)处的切线方程为 y?x?1 222x25.曲线y?2有垂直渐近线 x??1和水平渐近线 y?1

x?16.设f(u)可导，y?sin2[f(ex)]，则dy? sin2[f(ex)]?f?(ex)?exdx

#7.?0exdx? 2(e2?1)

8.若f?(x0)??3，则limh?04f(x0?h)?f(x0?3h)? ?12

h9.若

???1xpdx收敛，则p的范围是 p??1

2x?3x?1)? e 2x?11F(2x)?c 2(#10.limx??11.设

?f(x)dx?F(x)?c，则?f(2x)dx?

x2x2#12.设f(x)的一个原函数是xlnx，则?xf(x)dx? ?lnx?c

421?x2,x?0113.设f(x)??，则?f(x)dx? ?

?16?x,x?0#14.过点(1,3)且切线斜率为2x的曲线方程为 y?x2?1

?sinx?,x?015.已知函数f(x)??x，则当x? ?时，函数f(x)是无穷小；当

??a,x?0 a? 1时，函数f(x)在x?0处连续，否则x?0为函数的第 （一）类间断点。16.已知

?f(x)dx?F(x)?c，则?11?x2f(arcsinx)dx? F(arcsinx)?c

1

17.当x?0时，(1?ax)?1与1?cosx是等价无穷小，则a? 1233 2?x3sint??0tdt#18.f(x)??,x?0是连续函数，则a? 1 3x?a,x?0?19.f(x)在[0,1]上连续，且f(1)?0,[f(x)]dx?1，则

?121?? xf(x)f(x)dx??1002提示：

?1120xf(x)f?(x)dx??0xf(x)df(x)?xf(x)1??100f(x)d(xf(x))

???10f(x)[f(x)?xf?(x)]dx???1f2(x)dx??100xf(x)f?(x)dx，移项便得。

#20.?(x)??xx210xedx，则?(1)? 2(e?1)，??(1)? e

21.df(x2)dx?1x，则f?(x)? 12x

提示：f?(x2)?2x?11x?f?(x2)?2x2 22.曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线平行于直线y?3x?1，则f?(2)? 3

#23.设f(x)?arctanx，则xf(x?x0)?f(x0)0?0,limx?0x? 12x0(1?x0)24.y?2lnx?3x?3的水平渐近线是 y??3 25.函数y?xx的导数为 xx(lnx?1) 26.

???0xe?x2dx?

12 #27.?1x2sinx?1(x?1?x2)dx? 1 28.广义积分

???11x3dx? 12 29.f(x)?x的积分曲线中过(1,?1x22)的那条曲线的方程 ______

2?1 #30.设s为曲线y?xlnx与x?1,x?e及x轴所围成的面积，则s? 14(e2?1)

31.

?f?(2x)dx? 12f(2x)?c 2

32.曲线y?ln(e?)的全部渐近线为 y?1,x?0,x?1x1 e3? 10#33.曲线y?x2与y2?x所围图形绕y轴旋转一周所成的旋转体体积

34.点(0,1,1)到平面2x?y?2z?2?0的距离为

5 3??????????35.设向量a?2i?j?k,b?4i?2j??k，则当?? ?10时，a?b；当??

??2,a//b。

?x2?y2?z2?1本题不作要求36.空间曲线?2在xoy平面上的投影曲线方程为 22z?3(x?y)?1??x2?y2??4 ??z?0???????37.设a?5,b?2,(a,b)?，则2a?3b? 219

3????38.设向量a?{2,1,?2},b?{3,4,?5}，则a在b上的投影为 22

???????1?39.已知向量a?mi?5j?k和向量b?3i?j?nk共线，则m? 15,n? ?

5??40.设平行四边形二边为向量a?{1,?3,1},b?{2,?1,3}，则其面积为 310

??31,cos??41.设点A(4,0,5),AB?214，向量AB的方向余弦为cos??， 1414cos???2，则B点坐标为 (10,2,1) 14?3x2?2y2?12本题不作要求42.曲线?绕y轴旋转一周所得的旋转曲面方程为

z?0?3x2?3z2?2y2?12

?????????43.设a?2,b?3,且a//b，则a?b? ?6,a?b? 0

?x?1,x?005?44.设f(x)??0,x?0,?f(x?1)dx=

?26?x2,x?0?#45.?(x)??0sin(x?t)dt,??(x)? sinx

3

x二.选择题

n?1.设lim?2005，则?,?的值为（ ） C

n??(n?1)??n?1120042004120041,?,,? B. C.? D.

20052005200520052005200520051?2?xcos,0?x?1#2.设f(x)??，在x?0处( ) A x??x,?1?x?0A.连续，不可导 B.连续，可导 C.可导，导数不连续 D.为间断点 A.?2004,3.曲线y??2?sinx在x?0处的切线与x轴正方向的夹角为（ ） B

A.?? B. C.0 D.1 244.设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，f(0)?1,f(1)?0，则至少存在一点??(0,1)，有 A 设F(x)?xf(x)利用,Ro定理lle

f?(?) D.f(?)?A.f?(?)??f(?)? B.f?(?)?f(?)? C.f(?)??f?(?)??

#5.若a2?3b?0，则f(x)?x3?ax2?bx?c?0（ ） B

A.无实根 B.有唯一实根 C.三个单实根 D.重根

#6.函数f(x)在x?x0处取得极大值，则（ ） D

A.f?(x0)?0 B.f??(x0)?0 C.f?(x0)?0,f??(x0)?0 D.f?(x0)?0或不存在

7.设f(x)的导函数为sinx，则f(x)的一个原函数为（ ） D

A.1?sinx B.x?sinx C.1?cosx D.x?sinx

#8.设lnf(t)?cost,则?tf?(t)dt?（ ） A f(t)A.tcost?sint?c B.tsint?cost?c C.t(cotst?c ?sint)?c D.tsin9.设f(x)连续，F(x)??x20f(t2)dt，则F?(x)?（ ） C

A.f(x4) B.x2f(x4) C.2xf(x4) D.2xf(x2)

10.下列广义积分收敛的是（ ） C

A.???e??????lnx111dx B.?dx C.?dxD.dx 2?eeexxlnxx(lnx)xlnx 4

#11.广义积分?0A.??dx?（ ） C

ex?e?x?? B.? C. D.发散 2412.下列函数中在区间[0,3]上不满足拉格朗日定理条件的是（ ） C

x2A.2x?x?1 B.cos1(?x) C. C.ln(1?x)

(1?x2)213.求由曲线y?lnx,直线x?0,y?lna,y?lnb(b?a?0)所围图形的面积为（ ）C

A.a?b B.b2?a2 C.b?a D.b?a

#14.若?f(x)edx?e?c，则f(x)?（ ） B

A.?1111 B.2 C. D.?2

xxxx?1x?1x15.点M(3,?2,1)关于坐标原点的对称点是（ ） A

A.(?3,2,?1) B.(?3,?2,?1) C.(3,?2,?1) D.(?3,2,1) ???16.向量a?b与向量a的位置关系是（ ） C

A.共面 B.平行 C.垂直 D.斜交

17.设平面方程为Ax?Cz?D?0，其中A,C,D均不为零，则平面（ ） B

A.平行于x轴 B.平行于y轴 C.经过x轴 D.经过y轴

18.设直线方程为??A1x?B1y?C1z?D1?0且A1,B1,C1,D1,B2,D2?0，则直线（ ）C

By?D?022?A.过原点 B.平行于x轴 C.垂直于y轴 D.平行于z轴

19.直线

x?3y?4z??和平面4x?2y?2z?3的位置关系为（ ） C ?2?73A.斜交 B.垂直 C.平行 D.直线在平面上

x?a20.已知limf(x)?f(a)??1，则在x?a处 （B）

(x?a)2A.f(x)导数存在且f?(a)?0 B.f(x)取极大值 C.f(x)取极小值 D.f(x)导数不存在

5

三.计算题

tlntdtlncosx111?2cosx(?xsin)??lim#1.lim # 2. x?0x?08x2x2x4(cosx) e3.lim(x?1?x?1) 0 4. lim?1221x?12

x??x?0#5. lim?xx?1(1?x)tan2

2?

求limxx6. ?1x?0?xlnx=1

解：一）原式?limxx(1?lnx)?lnx?1?limx?0xx?limxlnx0x?0e?e?1， x?0??二）原式?limexlnx?1xlnx,x?0??limx?0?xlnx?0,?exlnx?1~xlnx,x?0 ?1。

7.设f(x)为连续函数，计算limx2xx?ax?a?af(t)dt a2f(a) 8.?sin(lnx)dx x2[sin(lnx)?cos(lnx)]?c 9.

?? 22 10.?a01?cos2xdx0x2a2?x2dx 11.设y?(sinx)cosx，求y? (sinx)cosx[?sinxln?sinx??cos2xsinx]

#lny212.设?tx0edt??0costdt?0，求dy ?2xcosx2dx

?13.设f?(x)在[0,1]上连续，求积分

?22??[f(cosx)cosx?f?(cosx)sinx]dx

2??提示：原式??2??f(cosx)cosxdx??2??sinxdf(cosx)

22?????2??f(cosx)cosxdx?sinxf(cosx)2????2??f(cosx)cosxdx?2f(0)

22214.

?3x?1x2?4x?8dx 32lnx2?4x?8?52arctaxn?22?c 15.设??x?f(t)??，其中f可导，且f?(0)?0，求dy?y?f(e3t?1)dx 3 t?0

?16a4 6

#16.?17.

arcsinx(1?x)dx arcsinx?3x1?x2?ln1?x2?c

22??0sin2x?sin4xdx

提示：原式?18.

??0sin2xcos2xdx??sinxcosxdx?1

0??2ln2?1x2(1?) 发散 19. dxe?1dx2?0(1?x)020.?dxxx2?1 arccos1?x?c 21.?234??(x?4)cosxdx 222.?ln3xxdx 12ln2(3x)?c 23.?ln22110x3?e?xdx ?4ln2?2#24.?dxex(1?e2x) ?e?x?arctanex?c 25.?1?2x1?2xdx 26.设f?(ex)?1?x，求f(x)?xlnx?c 27.?x5cosx3dx ?13x3sinx3?cosx3?c 28.

?arcsinxx21?x2dx??arcsinx1?x2?lnx?c

29.

?dxx?1?x?1?1333[(x?1)2?(x?1)2]?c

#30.?dxx(1?x10)?lnx?110ln1?x10?c #31.已知f(x)的一个原函数为(1?sinx)lnx，求?xf?(x)dx

?xcosxlnx?1?sinx?(1?sinx)lnx

32.?xln1?x1?xdx?12ln1?x1?x(x2?1)?x?c #33.?ln(x?1)xdx?2xln(x?1)?4x?4arctanx?c ?#34.?2esinxesinx?ecosxdx ??2 35.?a100x?a2?x2dx??4 本题不作要求36.已知?(x)为连续函数，令

432? 7

?x[(t?1)t?(u)du]dt?0??0,x?0试讨论f(x)在x?0处的连续性与可微性。 f(x)??ln(1?x2)?0,x?0?连续，可微

2#37.设f(x)在[0,1]上可导，且满足f(1)?2?xf(x)dx，证必存在一点??(0,1)，使

f?(?)??f(?)120?。提示：利用积分中值定理和Rolle定理

#38.设f(x)在[0,1]上连续，单调减且取正值，证：对于满足0?????1的任何?,?有

??f(x)dx???f(x)dx。

0???提示：??f(x)dx???f(x)dx???f(x)dx???f(x)dx???f(x)dx0??????0?????f(x)dx?(???)?f(x)dx?0??

?39.设f(x)在[0,??)上连续，单调不减且f(0)?0，试证：

1x???tnf(t)dt,x?0在[0,??)上连续且单调不减。（n?0） F(x)??x0?0,x?0?11x40.?xln(1?e)dx ?

?13原?x??t?1?1(?tln(1?e?t)dt??[?xln(1?ex)?x2]dx???xln(1?ex)dx??x2dx

?1?1?1111#41.设f(x)??1e?tdt，求?0xf(x)dx。?(e?1?1)

?b2?a2?11?xt?x??b1?32?242.?tt?xdt ? 43.?xdx,(a?b)?22a0?1x?1t?x?a?b??3?2?2x?0

x22114x?044.设f(x)在(??,??)上连续，且对?x,y,f(x?y)?f(x)?f(y)，求

?1?1(1?x2)f(x)dx

提示：f(x)为奇函数

sin2x#45.I???dx

?1?e?x44? 8

sin2xsin2xe?xsin2x(e?x?1?1)sin2x提示：f(x)?,f(?x)????xx?x1?e1?e1?e1?e?xsin2x1222 ?sinx??sinx?f(x)f(x)?sinx1?e?x21?原??4?sin2xdx?2?41

x?0x6ex3??????????r?14 47.设向量a?{2,?3,1向量r满足r?a,r?b，且Prjc},b?{1,?2,3},c?{2,1,2}，

46.lim0?x2tet?sintdt?求向量r。 {14,10,2}

48.1）求过z轴和点(?3,1,?2)的平面方程， x?3y?0 2）求过三点P(2,3,0),Q(?2,?3,4),R(0,6,0)的平面方程。 3x?2y?6z?12?0 49.求过点P(2,?1,?1),Q(1,2,3)且垂直于平面2x?3y?5z?6?0的平面方程。

?9x?y?3z?16?0

50.求过点A(3,1,?2)且通过直线L:x?4y?3z??的平面方程。8x?9y?22z?59?0 52151.求与平面2x?y?2z?5?0平行且与三坐标所构成的四面体体积为1的平面方程。

2x?y?2z?233?0

52.求过点M(2,4,0)且与直线L:??x?2z?1?0平行的直线方程。

?y?3z?2?0x?2y?4z?? ?23153.求点A(?1,2,0)在平面x?2y?z?1?0上的投影。 (?,,) 54.求过直线L:?522333?x?5y?z?0?且与平面x?4y?8z?12?0成角的平面方程。

4?x?z?4?0x?20y?7z?12?0

本题不作要求55.若动点到坐标原点的距离等于它到平面z?4的距离，该动点轨迹表示何种曲面？ x?y?8z?16 旋转曲面

四.列表讨论函数y?x?e的单调区间、极值及曲线的凹凸区间、拐点、渐近线。

9

?x221?x?sinx,0?x??#五.设f(x)??2，求?(x)??f(t)dt在(??,??)内的表达式。

0?0,x?0orx???

0,x?0?x?1?(x)??f(t)dt???(cosx?1),0?x??

0?21,x???dx(x?t)f?(t)dt?f(x)?f(a)。 六.设f(x)在(??,??)内连续，证明?0dx七..设D1:y?2x2,x?a,x?2,y?0;D2:y?2x2,y?0,x?a,0?a?2 1.试求D1绕x轴旋转得旋转体体积V1；D2绕y轴旋转得旋转体体积V2； 2.问当a为何值时V1?V2得最大值？并求该最值。

4129V1??(32?a5)，V2??a4，a?1，(V1?V2)max??

55八.已知f?(sin2x)?cos2x?tan2x，求f(x)。

sin2xu??f(u)?1?2u?提示：f?(sinx)?1?2sinx?，

1?sin2x1?u22f(x)?x2?lnx?1?c

2九.设y?c与y?2x?x相交于第一象限（如图）。

Y II 1.求使得两个阴影区域面积相等的常数c；

2.在1的情况下，求区域I绕x轴旋转的旋转体体积。

提示：sI?sII?sI?III?sII?III，

C I (b,c) III 0 X 122cdx?(2x?x)dx?c?b?b，又c?2b?b2， ?0?03bb3?1333?y??x?,x??b?,c?,?， 41224?y?2x?x222?V?41?。 240??#十.设f(x)?x??0f(x)cosxdx，证：?0f(x)dx?

?22?2?。

10

提示：设

??0f(x)cosxdx?A，A??2

十一.设直线y?ax?b与直线x?0,x?1及y?0所围成的梯形面积为A，求a,b，使这块面积绕x轴旋转所得体积最小。(a?0,b?0)

1a2a2提示：V???(ax?b)dx??(?ab?b),A??(ax?b)dx??b，

003212a?0,b?A时，体积最小

#十二.求抛物线y??x2?1在(0,1)内的一条切线，使它与两坐标轴和抛物线y??x2?1所

围图形的面积最小。

x2?1,0),B(0,x2?1)， 提示：切线Y?(?x?1)??2x(X?x),A(2x21(x2?1)213， s???(?x2?1)dx?s?(x)?0?x?022x3所求切线为y??十三.求通过直线

234x? 33xz?1?y?2?与平面x?y?z?15的交点，且与平面 23x?4y?4z?7??2x?3y?4z?5?0垂直相交的直线方程。 2?34xdx?0在区间(0,1)内有唯一的实根。 十四.证明3x?1??01?x2xdx?F(0)?F(1)?0，再证唯一性。 提示：令F(x)?3x?1??01?x2本题不作要求 十五.设f(x)可导，且f(0)?0,F(x)??x0tn?1f(xn?tn)dt，证：

limx?0F(x)1?f?(0) 2nx2nxn?10提示：F(x)??t101xnf(x?t)dt???nf(u)du??f(u)du

nxn0nnxn?tn?u十六.设x?0,f(x)满足

a32?x2(1?x)0f(x)dx?x,求f(2)。提示：对?x2(1?x)0f(x)dx?x求导,

1a232十七.证：?xf(x)dx??xf(x)dx,f(x)连续，a?0，并求?2xsin(x)dx。

0020? 11

2?ax3f(x2)dx?1a222x?t1a202?0xf(x)dx?2?0tf(t)dt所求值为1

2十八.求f(x)??x0(2?t)e?tdt的最大、小值。最小值为1,最大值为1?e?2

十九.已知f(0)?1,f(2)?3,f?(2)?5,求

?10xf??(2x)dx。?2

二十.已知

???sinxxdx????sin2x?02,求?0x2dx。?2

提示：用分部积分，先将1x2凑入微分 2二十一.设f(x)??x?t211edt,求?0xf(x)dx。同41题

二十二.f(x)??xlnt1?tdt,x?0,求f(x)?f(111x)。?2(lnx)2 二十三.1)设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)?0,0?f?(x)?1，证：

(?1f(x)dx)2??100f3(x)dx。

提示：可利用已知条件知f(x)?1

2)设f(x)?C[a,b]，证：(?b2baf(x)dx)?(b?a)?af2(x)dx。

)?(?x2af(t)dt)?(x?a)?x提示：

设F(xaf2(t)dtx?(a,b)

?F'(x)?0#3)设f(x)?C[a,b]，且f(x)?0，证：?bb1af(x)dx??a(x)dx?(b?a)2f 提示：设F(x)??xf(t)dt?x1aaf(t)dt?(x?a)2?F'(x)

4) 设f(x)?C[a,b],且严格单调增加，证：(a?b)?bbaf(x)dx?2?axf(x)dx。

提示：设F(x)?2?xxatf(t)dt?(a?x)?af(t)dt?F'(x)

5) 设f(x)在[a,b]上可导，且f?(x)?M,f(a)?0，证：

?bf(x)dx?Ma2(b?a)2。提示：x?[a,b],有微分中值定理：f(x)?f(a)?f'(?)(x?a)??(a,x)?baf(x)dx??bf'(?)(x?a)dx

a?二十四. 设f(x)在[0,?]上连续，在(0,?)内可导，且

12

??0f(x)cosxdx??f(x)sinxdx?0，证明：?一个??(0,?)，使得f?(?)?0。

0?证：在(0,?)内sinx?0，由?f(x)sinxdx?0可知，f(x)在(0,?)内不能恒正或负，

0?由于f(x)的连续性可知f(x)在(0,?)内必有零点。若能证明零点有两个以上，则可由罗尔定理可得证。

反证：若x0?(0,?)是f(x)的唯一零点，则当x?x0,

sin(x?x0)f(x)就恒正或负，于是

??0sin(x?x0)f(x)dx?0，

而

???0sin(x?x0)f(x)dx??0(sinxcosx0?cosxsinx0)f(x)dx

?cosx??0?0sinxf(x)dx?sinx0?0cosxf(x)dx?0，矛盾，

所以f(x)在(0,?)内至少有两个零点，由罗尔定理便得证。

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