中国地质大学(武汉)大学物理下册习题答案

作业2 动量与角动量 功与能

2-1一步枪在射击时，子弹在枪膛内受到的推力满足 F?400?4?105t 的规律，已

3知击发前子弹的速率为零，子弹出枪口时的速度为300 m/s，受到的力变为零． 求： ⑴ 子弹受到的冲量？ ⑵ 子弹的质量为多少克？ 原题 3-3

2-2 一个质量m = 50 g，以速率?= 20 m/s作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力加给它的冲量是多大？ 原题 3-4

1

2-3 有一运送砂子的皮带以恒定的速率?水平运动，砂子经一静止的漏斗垂直落到皮带上，忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端的其它影响，试问： ⑴ 若每秒有质量为M??d Md t的砂子落到皮带上，要维持皮带以恒定速率?运动，需要多大的功率？

⑵ 若M??20 kg/s，??1.5m/s，水平牵引力多大？所需功率多大？ 解： ⑴ 设t时刻落到皮带上的砂子质量为M， 速率为?，

t + d t 时刻，皮带上的砂子质量为 M + d M，速率也是?，根据动量定理，皮带作用在砂子上的外力 F 的冲量为：

F d t?(M?d M)??(M??d M?0)?d M??

∴ F??d Md t??M?

由第三定律，此力等于砂子对皮带的作用力F?，即F??F．

由于皮带匀速运动，动力源对皮带的牵引力F???F?，因而，

??F???F，F???F，F??与?同向，

????动力源所供给的功率为： P?F??????dMdt??2dMdt??2M?

⑵ 当M??d Md t＝20 kg/s，??1.5m/s，时， 水平牵引力 F????M?＝ 30N 所需功率 P??2M?＝45W

2-4 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个非常扁的椭圆，它离太阳最近的距离是r1?8.75?1010m，此时它的速度是 ?1?5.46?104m/s，它离太阳最远时的速率是

?2?9.08?102m/s，这时它离太阳的距离r2是多少？

原题 3-8

2

2-5 假设一个运动的质子P只受某重核N的有心排斥力的作用．已知质子的质量为

?m，当它运动到与N 相距最近的A点时，距离为a，速度为?A，运动到某点B时，

???速度为?B，求此时重核N到速度?B的垂直距离b．（图左侧的长虚线为与?B方向平行的直线）． 解：

重核N的质量 M >> m，在质子P从接近到远离重核N的全过程中，重核 N 可视为静止． 质子P只受重核N的有心排斥力作用，P对N中心的角动量守恒．

??? L?r?m? = 恒矢量

N ?Ab ?B ?a A ?BP 题2-5图

N ?A?rBm?Bsin?B rAm?Asin?A?a， rBsin?B?b rAsin ∴ m?Aa?m?Bb 得 b?

?BvAb rBB vBa A ?Aa ?BP x (SI),2-6 一质量为 2?10?3kg 的子弹，在枪膛中前进时受到的合力 F?400?80009子弹在枪口的速度为300 m/s．试计算枪筒的长度．

原题 4-1

3

2-7 一质量为m的质点在指向圆心的平方反比力F??kr?2的作用下，作半径为r的

圆周运动，此质点的速度为 k(mr) ．若取距圆心无穷远处为势能零点，则其机械能为 ?k(2r) ．

原题 4-3

2-8 有一劲度系数为 k 的轻弹簧，竖直放置，下端悬一质量为 m的小球，先使弹簧为原长，而小球恰好与地接触，再将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚能脱离 地面为止．在此过程中外力所作的功为 m2g2(2k) ．

原题 4-7

2-9 有一人造地球卫星，质量为m，在地球表面上空 2 倍于地球半径 R 的高度沿圆轨道运行，用m，R，引力常数 Ｇ 和地球的质量 M 表示

⑴ 卫星的动能 ；⑵ 卫星的引力势能为 ． 原题 4-8

2-10 一长方体蓄水池，面积为S = 50 m2，贮水深度为 h1 = 1.5 m．假定水平面低于地面的高度是h2 = 5 m，问要将这池水全部抽到地面上来，抽水机需做功多少？若抽水机的功率为80％，输入功率为P = 35 kw，则抽光这池水需要多长时间？ 原题 4-2

4

2-11 某弹簧不遵守胡克定律，若施力F，则相应伸长为x，力与伸长的关系为： F = 52.8 x + 38.4 x2（SI），求：

⑴ 将弹簧从伸长x1 = 0.50 m 拉伸到伸长 x2 = 1.00 m时所需做的功；

⑵ 将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为2.17 kg的物体，然后将弹簧拉伸到伸长 x = 1.00 m，再将物体由静止释放．求当弹簧回到伸长x1 = 0.50 m时，物体的速率． 原题 4-5

???qsin? t?2-12 一质量为m 的质点在xOy平面上运动，其位置矢量为r?pcos? t ij

(SI)，式中p、q、?是正值常数，且p > q．求：⑴ 求质点在点 P ( p, 0 ) 和点Q ( 0,

?q ) 处的动能； ⑵ 质点所受的作用力 F，以及当质点从点 P运动到点Q的过程中的分力Fx和Fy分别作的功．

???qsin? t?? t ，y?qsin? t 解：⑴ 由位矢 r?pcos? t ij 可知： x?pcos? t ?x?d xd t??p?sin? t， ?y?d yd t?q?cos22s t ?1， sin? t ?0， EkP?1mvx?1mvy?1mq2?2 点P ( p, 0 ) 处 co?22222? t ?0， sin? t ?1， EkQ?1mvx?1mvy?1mp2?2 点Q ( 0, q ) 处 cos2222? t ⑵ ax?d?xd t??p?2cos? t ， ay?d? yd t??q?sin???qsin??Fy???ay? F?Fxi? t i? t ?j) j?m(axij)??m?2(pcos0000由点P→Q Ax??pFxd x??pmaxd x???pmp?2cos? t?d x???pm?2x d x?1mp2?2

2Ay??0Fyd y??0mayd y???0mq?2sin? t?d y???0m?2y d y??1mq2?22qqqq 5

作业6 狭义相对论基础

6-1 惯性系S和S?的坐标在 t?t??0 时重合，有一事件发生在S?系中的时空坐标为60, 10, 0, 8?10?8．若s?系相对于s以速度u = 0.6c 沿x?x?轴正方向运动，则

??该事件在S系中测量时空坐标为( , , , )． 原题 6-1

6-2 天津和北京相距120 km．在北京某日19时整有一工厂因过载而断电，在天津同日19时0分0.0003秒有人放了一响礼炮． 试求在以 u?0.8c 速度沿北京到天津方向飞行的飞船中，观察者测量到这两个事件之间的时间间隔．哪一个事件发生在前．

原题 6-3

6-3 长为4m的棒静止在s系中xOy平面内，并与x轴成30?角，s?系以速度0.5c相对于s系沿x?x?轴正向运动，t?t??0时两坐标原点重合，求s?系中测得此棒的长度和它与x?轴的夹角．

原题 6-4

6-4 中子静止时的平均寿命为15 min 30 s，它能自发地衰变为三个粒子（质子、电子和中微子）．已知地球到太阳的平均距离为1.496?1011m．有一个中子被太阳抛 向地球，它必须具有 1.418×108 = 0.473 c m/s 的速率，才能在衰变前到达地球．

解： ????0??0

1?(uc)2 ? l?u??u?011

1?(uc)2 ? u?l2?0?(lc)2

6-5 一火箭静止在地面上测量时长度20 m，当它以 0.8 c 在空间竖直向上匀速直线飞行时，地面上观察者测得其长度为 ．若宇航员在飞船上举一次手用2.4 s，则地面上测到其举手所用时间为 ．

原题 6-6

6-6 以地球-月球作为参考系测得地-月之间的距离为 3.844?108m，一火箭以0.8 c 的速率沿着地球到月球的方向飞行，先经过地球（事件1），之后又经过月球（事件2）．要求分别用：⑴ 洛仑兹变换公式，⑵ 长度收缩公式，⑶ 时间膨胀公式，求在地球-月球参考系和在火箭参考系中观测，火箭由地球飞向月球各需要多少时间？ P369 15.4；P371 15.9 解： 取地-月系为S系，地-月距离?x?3.844?108m，固定在火箭上的坐标系为S?系，

其相对S系的速率 u = 0.8 c，则在S系中火箭由地球飞向月球的时间为

?t??xu= ?= 1.6 s

由已知 ??uc?0.8 ??11??2?5

3??⑴ 由洛仑兹变换公式 t???(t?cx) ? ?t???(?t?c?x)

可求得在火箭S?系中 ?t?= ?= 0.96 s

⑵ S?系中，测地-月距离为l?，是运动长度，由长度收缩公式 l?? l? 有 l??l? 则 ?t??l?u?t??l(u?) =?= 0.96 s

⑶ S?系中，两个事件在同一个地点发生，?t?为固有时间?0；S系中两事件时间间隔?t为运动时间?，由时间膨胀公式 ????0

?t???0?????t?=?= 0.96 s

6-7一匀质薄板静止时测得长、宽分别是a、b，质量为m，假定该板沿长度方向以接近光速的速度?作匀速直线运动，那么它的长度为 a1?(?2c2) ，质量为

m面积密度（单位面积的质量）为 1?(?2c2) ，m ．(原题6-8)

ab(1??2c2)解：∵ 沿运动方向 l?l0?，? a??a??a1?(?2c2)；m??? m?m?m∵ b ⊥ 运动方向，? b??b， ? ??m?

a?b?ab(1??2c2)

12

1?(?2c2)

6-8 一静止长度为 l0 的火箭，相对于地面以速率 u 飞行，现从火箭的尾端发射一个光信号．试根据洛仑兹变换计算，在地面系中观测，光信号从火箭的尾端到前端所经历的位移、时间和速度． P370 15.6 解：

取固定在地面上的坐标系为S系，固定在火箭上的坐标系为S?系，自火箭尾端发射光信号为事件“1”， 光信号到达火箭前端为事件“2”，则有 S系中：事件1(x1,t1)，事件2(x2,t2)， ?x?x2?x1， ?t?t2?t1

?,t1?)，??x1??l0，??t1???x?c?l0c ?,t2?)，S?系中：事件1(x1事件2(x2 ?x??x2 ?t??t2S?系相对S系运动速率为u，由洛仑兹变换x??(x??? ct?)，t??(t??cx?)可得

?位移 ?x??(?x??? c?t?)?[l0?u(l0c)]1?(uc)2?l01?uc

1?uc?时间 ?t??(?t??c?x?)?[l0c?u(l0c2)] 速度 ???x?t?c

l01?uc 1?(uc)2?c1?uc

6-9 设火箭的静止质量为100 t，当它以第二宇宙速率 ??11.2?103m/s 飞行时，其质量增加了 0.7×10?? kg． P374 15.13 解： ???c，Ek?(m?m0)c2?m0?22，?m?(m?m0)?Ekc2?m0?2(2c2)=? 6-10 电子静止质量 m0?9.1?10?31Kg，当它具有2.6 ? 105 eV动能时，增加的质量与静止质量之比是 0.508

Ek??mc2，?原题 6-9 解：? ?m?Ek?mEk? ?，= 0.508 = 50.8%

m0m0c2c26-11 ? 粒子在加速器中被加速，当其质量为静止质量的5倍时，其动能为静止能量E?m5m0?m0? Ek??mc2，? k2?的 4 倍． (解：? = 4 )

m0cm0m0原题 6-10

6-12 设某微观粒子的总能量是它的静止能量的k倍，求其运动速度的大小．（用c表示真空中光速） 原题 6-11 Emc2m12????ck2?1, ??解： k?， ? ???c1?1k2k22E0m0cm01??c

13

6-13 ⑴ 粒子以多大速度运动时，它的相对论动量是非相对论动量的两倍？ ⑵ 如果粒子的动能与它的静能相等，粒子的速率是多少？ 原题 6-12

p解：⑴ ?p???0 = 2，? ??3c= 0.866 c

21??2c21⑵ ? E k?mc2?m0c2?? m0c2?m0c2?m0c2，? ??2，? ??3c= 0.866 c

2

6-14 要使电子的速率从1.2 ×108 m/s 增加到 2.4 ×108 m/s，需做多少功？P374 15.15

解：做功等于电子动能的增量

??11?? ? ?Ek?(m2?m0)c?(m1?m0)c?(m2?m1)c?m0c?1??2c21??12c2?2??2222 = ? = 4.7×10??? J = 2.94×10? eV

6-15 在氢的核聚变反应中，氢原子核聚变成质量较大的核，每用 1 g 氢约损失0.006

g 静止质量．而1 g 氢燃烧变成水释放出的能量为1.3 ×105?J．氢的核聚变反应中 释放出来的能量与同质量的氢燃烧变成水释放出的能量之比为 4.1×106 ． 解：每用1g氢释放核能 ?E1??mc2=?= 5.4×1011 J；1g氢燃释放能量?E2= 1.3×105 J

6-16 两个静止质量都是m0的小球，其中一个静止，另一个以??0.8c的速度运动，在它们作对心碰撞后粘在一起，求碰撞后合成小球的质量、速度及静止质量． ??2.31m0 6-13 (没详解) 原题 6-13 m=2.67m0，??0.5c，m0

14

*6-17 ⑴ 如果要把一个粒子的动能写作 m0?22，而误差不大于1%，试问这个粒子的最大速率等于多少？

⑵ 以这个速率运动的电子动能是多少？（电子静止质量 me?9.1?10?31Kg） ⑶ 以这个速率运动的质子动能是多少？（质子静止质量 m0?1840me） P377 15.21 解： ???c，??11??2

⑴ 相对论动能 Ek?(m?m0)c2?(??1)m0c2?[ 11??2?1]m0c2 Ek?m0?22?2?1% ? 1?依题意有 ?1%

22Ek2[ 11???1]c? 1??22[ 11???1]2?0.01

∵ ??11??2， 则 ?2?1?1?2，上式可写为

111?1?21???0.01 ? 1?2(??1)?0.01 ? 1.98?2???1?0

2?2 ??1解方程 1.98?2???1?0 ? ??1?1?4?1.98

2?1.98?取正值有 ??11??2?1.0067 ? ?2?1?1?2?0.115 即 ??0.115c(= 3.45×107 m) ∴ ?max?0.115c

⑵ 以速率??0.116c时， ?= 0.115，?= 1.0067运动的电子动能 10?16 (J) = 3.43×103 eV Eke?(m?me)c2?[ 11??2?1]mec2=?= 5.49×

（电子加速电压 V ?3.5 kV 时，电子速率??=3.5×107 m时，要用相对论公式！！） ⑶∵ 质子的静止质量 mp?1840me

∴以速率??0.116c运动的质子动能 Ekp?1840Eke= 6.31×106 eV

15

习题参考答案

作业2 动量与角动量 功与能

2-1 0.6 N·s； 2 g 2-2 1.41 Ns

2-3 P??2M?；F???30N，P?45W 2-4 5.30 × 1012 m 2-5 b?a?A?B 2-6 0.45 m 2-7

4-11 N??dN??NP????100f(?) d?，

??100?f(?) d?，

????f(?) d? 100??100f(?)d?

k(mr)，?k(2r)

4-12 D

4-13 P?1.35?105Pa 4-14 n = 3.2×1017 m?3 ，

??7.8 m，z?59.9 s?1 ?1?4-15 ???????2m?1?41， ???? π kT???π ?2-8 m2g2(2k)

2-9 GMm(6R)，?GMm(3R)

2-10 4.23×106 J， 151 s 2-11 31 J，5.345 m/s

2-12 EkP?mq2?22，EkQ?mp2?22

4-16 a?2(3?0)，?N?0.333 N，

Ax?mp2?22，Ay??mq2?22

??1.22?0，?2? 1.31?0

作业6 狭义相对论基础

作业4 气体动理论

6-1 93，10，0，2.5×10?7s 6-2 ?3.33?10?5s，天津 6-3 3.61 m，33.69??33?41? 6-4 1.418×108 m/s = 0.473 c 6-5 12 m，4 s

6-6 ?t?1.6 s，?t??0.96 s 6-7 a1?(?2c2)，mm 22ab(1??c)

4-1 0.13 kg ，117升

4-2 平衡状态，气体的准静态过程 4-3 1.53 × 104 Pa

4-4 相同，不同，不同 4-5 N?pV kT1?(?2c2)，

4-6 10 : 3， 5 : 3， 1 : 1 4-7 略

4-8 ?E?41.55 J，?EK?2.07?10?22 4-9 ?T?0.481 K，?p?2.00?104Pa 4-10 2E5R，2E(5?)，4E(5π?)

26

l01?uc6-8 ?x?l01?uc,?t?c,??c

1?uc1?uc6-9 0.7×10??

6-10 50.8% 6-11 4

6-12 ??c1?1k2 6-13 0.866 c，0.866 c 6-14 2.94×10? eV 6-15 4.1×106

??2.31m0 6-16 m = 2.67m0，??0.5c，m08-12 y2?Acos2π (t?x)，

T?y?y1?y2?2Acos2π xcos2π t

?T波腹 x?k?，k = 0, 1, 2, ?

2波节 x?(2k?)?，k = 0, 1, 2, ?

48-13 y?10cos(7πt?πx?17π) (cm)

123

6-17 ?max?0.115c，Eke?3.43×103eV，

106eVEkp?1840Eke?6.31×

作业8 波 动

8-1 略 8-2 7.58×105 m 8-3 316， 2.11×1011

8-4 10.5m，5Hz，52.4m/s，x轴正方向

x = 0处质元的振动方程 8-5 600 cm/s，

作业10 光的衍射

10-1 1.0 10-2 1/2 10-3 3

10-4 6， 一级明

10-5 ?1?2?2，?1的第k1极小和?2的

第k2 = 2k1极小重合． 10-6 a = 2.912×10-4m, 2??1.13×10-3m 10-7 10? 10-8 916 10-9 3 10-10 3 10-11 变大

10-12 400 ～ 506.7 10-13 d?5.00?10?6 m

10-14 第±3、±6，…谱线缺级，只出

现 0,±1,±2,±4,±5共9条光谱线. 10-15 2.4 mm， 9条亮纹 10-16 C 10-17 1

10-18 27.6， 9.69×103

10-19 增大透镜直径， 用较短的波长 10-20 13.4

10-21 5.23?10?11 10-22 ??0.1375 nm

10-23 d1?0.586 nm，d2?1.231 nm，

d3?0.982 nm

27

y?0.30sin[2π(25t?x)](cm)

248-6 ???9π2，???π2 8-7 y?4?10?2cos[?(t?x4)]，图略

28-8 0.6?10?4J/m3，1.2?10?4J/m3；

9.24?10?7J 8-9 0.5

8-10 y反?0.01cos?4t?πx?π2? 8-11 y?Acos[2π?(t?xu)?π]

y入?Acos[2π?(t?xu)?π2] y反?Acos[2π?(t?xu)?π2] 波节：x?k?u（k = 0, -1, -2, ?），

2?波腹：x?(k?1)u（k = 0, -1, -2, ?）

24?

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