圆锥曲线的谢国芳定理 - 继帕斯卡定理之后又一朵射影几何的奇葩 - baidu

圆锥曲线的谢国芳定理

——继帕斯卡定理和布列安桑定理之后又一朵射影几何的奇葩

谢国芳（Roy Xie） Email: roixie@163.com

摘要： 本文在帕斯卡定理和布列安桑定理的基础上得到了关于圆锥曲线的一个美妙深刻的新定理，作为推论证明了双心六边形的三条对角线和三条对边切点的连线六线共点。

关键词： 帕斯卡定理 布列安桑定理 极线 配极原理 双心六边形

Abstract: In this article we derive an elegant and deep new theorem concerning conic sections based on Pascal’s theorem and Brianchon’s theorem, and prove that the three diagonals and the three lines connecting two tangent points on each pair of opposite sides of a bicentric hexagon are concurrent as a corollary.

Key words: Pascal’s theorem, Brianchon’s theorem, polar line, polar reciprocation, bicentric hexagon

帕斯卡（Pascal）定理和布列安桑（Brianchon）定理是关于圆锥曲线的两个基本定理，帕斯卡定理断言，圆锥曲线内接六边形的三组对边的交点共线（见图1），其逆定理也同样成立，即如果一个六边形的三组对边的交点共线，则它的六个顶点在一条圆锥曲线上。

图1 帕斯卡（Pascal）定理

布列安桑定理是帕斯卡定理的对偶定理，它断言六条边和一条圆锥曲线相切的六边形的三条对角线共点（见图2），其逆定理亦同样成立，即如果一个六边形的三条对角线共点，则它的六条边和一条圆锥曲线相切。

[1]

图2 布列安桑（Brianchon）定理

把帕斯卡定理和布列安桑定理合在一起，引发人思考这样一个有趣的问题（不知道之前有没有人想到过这一点呢）：

如果一个六边形既外接于一条圆锥曲线，同时其六条边又和另一条圆锥曲线相切，又将有怎样的结论呢？

请读者务必先独立思考这个问题，一定要动手用几何画板或其他几何作图软件画几个图，做一些探索性的实验之后才看下面一页（倘若你不会画圆锥曲线，没关系，可以全部用圆代替），只有这样你才能切身感受到几何的巨大魅力和下面这个定理的神奇绝妙，匪夷所思：

定理1圆锥曲线的谢国芳定理

若一个六边形的六个顶点在一条圆锥曲线上，六条边和另一条圆锥曲线相切，则它的三条对角线和三条对边切点的连线六线共点（见图3和图4）。

图3

图4

实际上，定理1中所描述的六边形可以称为“彭赛列六边形”，因为它正是满足著名的彭赛列闭合定理（Poncelet's Closure Theorem or Poncelet's porism）的六边形。法国人把该定理称为“le grand théorème de Poncelet”，译成中文即“伟大的彭赛列定理”或“彭赛列大定理”，可见其重要，实际上，它堪称是整个几何中最深刻伟大的定理，这并不是我个人的私见，像Richard Schwartz 等大数学家就是这么认为的，参见Dynamiser la géométrie élémentaire - introduction à des travaux de Richard Schwartz 一文（百度文库http://wenku.http://m.wodefanwen.com//view/e39d9e09f78a6529647d536c.html），可惜国内对这个伟大的定理介绍极少。

关于彭赛列闭合定理的一个中文介绍参见

《伟大的彭赛列闭合定理的一个绝妙证明 — An Ingenious Proof of Poncelet's Closure Theorem》 网址：http://www.xieguofang.cn/Maths/GeometryTheorems/Poncelet_porism.htm 英文介绍参见 http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html

我们于是也可以把定理1等价地表述为：

一个彭赛列六边形的三条对角线和三条对边切点的连线六线共点。

作为定理1的特例，我们有下面这个优美的平面几何定理：

谢国芳双心六边形定理

[2]一个双心六边形即既有外接圆又有内切圆（或旁切圆）的六边形的三条对角线和三条对边切点的连线六线共点（见下图）。

为了证明定理1，我们需要下面这个关键的引理。

引理1 谢国芳四边形引理

若一个四边形的四条边和一条圆锥曲线相切，则两条对边切点的连线和两条对角线四线共点（见下图）。

[3]DRCSIQA

PB

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hj8f.html