2017—2018学年下学期南昌十中高二期中考试数学试题(理科)(附解

2017—2018学年下学期南昌十中高二期中考试数学试题（理科）

时间:120分钟 分值:150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

1.已知 ， 为虚数单位，若 为纯虚数，则a的值为

A. 2 B. 1

C. D.

2.已知函数 ，则 的值为

A. 4

B. 0

2

C. D. 1

3．某校教学大楼共有5层，每层均有2个楼梯，则由一楼至五楼的不同走法共有( )

A．2种 B．5种C．10种

D．7种

111*4.设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )

233n－1

A．

11111111???? B． C． D．

3n?23n3n?13n?13n?23n3n?13n?25．设m=6?5,n=7?6,p?8?7,则m, n, p的大小顺序为（ ） A. m>p>n B. p>n>m C. n>m>p D. m>n>p

6.设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是

A. 若 ， ，则 B. 若 ， ， ，则

C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， 则

7.在正方体 中，E是AD的中点，则异面直线 与BC所成的角的余弦值是

A. B. C. D.

8.设a,b,c?(0,??),则a?111,b?,c?（ ） bcaA． 都小于2 B．都大于2

C.至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2

D是侧棱 的中点 点 到平面 的9.已知 是各条棱长均等于a的正三棱柱，距离

A. B. C. D.

10.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为

A. 1

3B. C. D. 2

0?a?2．11．设函数f(x)?x?4x?a，若f(x)的三个零点为x1,x2,x3，且x1?x2?x3，

则 ( )

A．x1＜－2 B．x2＞0 C．x3＜1 D．x3＞2

12.已知三棱锥D- 的四个顶点都在同一球面上，?ABC和?BCD所在的平面互相垂直，

AB?3,AC?3,BC?CD?BD?23,则此球的体积等于( )

A.

32? 39B.? 2C.

16? 3D.

43? 3二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13.设复数z?14.

如

上

i,z ______ ；

1?i2017图

，

直

角

梯

形

ABCD中，

AD?DC,AD//BC,BC?2CD?2AD?2,将该梯形绕BC边旋转一周，则所形成的

几何体的表面积等于； 15．给出以下数对序列 （1，1） （1，2），（2，1）

（1，3），（2，2），（3，1） （1，4），（2，3），（3，2），（4，1） …………

记第m行的第n个数对为am,n，如a4,2?(2,3)，则a20,5=；

16.如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD?平面ABE，已知AB?2，

AE?BE?3，且当规定主（正）视方向垂直平面ABCD时，该几何体的左（侧）

视图的面积为的最小值为．

三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）如图所示，在长方体ABCD - A1B1C1D1中，AD＝CD＝4，AD1＝5，

M是B1D1的中点． (1)求证：BM∥平面D1AC；

(2)求直线DD1与平面D1AC所成角的正弦值．

18.已知函数f(x)?ax?bx?c在点x?2处取得极值c?16. (1)求a，b的值；

(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[?3,3]上的最小值．

3．若M、N分别是线段DE、CE上的动点，则AM?MN?NB

19.如图，在三棱柱 中， ， ， ， 在底面ABC的射影为BC的中点，D是 的中点． 证明： 平面 ；

求二面角B?A1D?B1的平面角的正切值．

20.已知双曲线C： 及直线l： ． 若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

若l与C交于 ， 两点，且AB中点横坐标为 ，求AB的长．

21.如图，在四棱锥 中，底面ABCD为直角梯形， ， ， ， ， ，且平面 平面ABCD． Ⅰ 求证： ；

Ⅱ 在线段PA上是否存在一点M，使二面角 的大小为

若不存在，请说明理由．

22.已知函数f?x??a?x??PM，若存在，求的值；6PA??1???lnx． x?(1)若a=1，求曲线y?f?x?在点(1，f?1?)处的切线方程； (2)若函数f?x?在其定义域内为增函数，求a的取值范围； (3)求证：

2?1?12?2?12n?1??…+?ln?n?1??n?N*? 1?22?3n??n?1?

南昌十中高二数学期中考试参考答案

1-5 D B A D D 6-10 D C C A C 11-12 D A 13.

2 14.(3+2)? 15.(5，16) 16.3 217.解：(1)证明：在长方体ABCD - A1B1C1D1中，

∵AD＝4，AD1＝5， ∴DD1?AD12?AD2?3 --------1分

建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设AC的中点为N，联结ND1，

根据题意得A(4，0，0)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，D(0，0，0)，B1(4，4，3)，D1(0，0，3)，B1D1的中点为M(2，2，3)，AC的中点为N(2，2，0)．

→→

∴BM＝(－2，－2，3)，ND1＝(－2，－2，3)， →→

∴BM∥ND1，∴BM∥ND1.

∵BM?平面D1AC，ND1?平面D1AC，

∴BM∥平面D1AC. ------5分 →→

(2)易得DD1＝(0，0，3)，AC＝(－4，4，0)，AD1＝(－4，0，3)， ------7分 设平面D1AC的一个法向量为n＝(x，y，z)，根据已知得

y＝1，→??AC＝－4x＋4y＝0，?n·?

?取x＝1，得?4

→??AD1＝－4x＋3z＝0，?n·?z＝3，4

∴n＝（1，1，）是平面D1AC的一个法向量， ------9分

3→

DD1·n2 34→

∴cos〈DD1，n〉＝＝， ------11分

17→

|DD1||n|2 34

∴直线DD1与平面D1AC所成角的正弦值等于. ------12分

17

18.解：(1)因为f(x)＝ax＋bx＋c，故f′(x)＝3ax＋b.

3

2

由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，

??f′2＝0，故有?

?f2＝c－16，??12a＋b＝0，?化简得?

??4a＋b＝－8，

??12a＋b＝0，即?

?8a＋2b＋c＝c－16，?

?a＝1，?解得?

??b＝－12.

……………………………………4分

(2)由(1)知f(x)＝x－12x＋c，f′(x)＝3x－12.

令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2. ……………………………………………5分 当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数； 当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．…………8分

可知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3， f(2)＝－16＋c＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4. …………12分

[来

32

源:学科网]

19. 证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、 所在直线分别为x、y、z

轴建系．则 ， ，

易知 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，

， ， ， ， ， ，

， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， 又 ， 平面 ； 解：设平面 的法向量为 ， ， ， ，得 ， 由

取 ，得 ， ， ，

又平面 的法向量为 ， ， ， ，

=2， 二面角 的平面角的正切值7 420.解： 双曲线C与直线l有两个不同的交点，

则方程组 有两个不同的实数根， 分

整理得 分

，解得 且k??1 （5分）

双曲线C与直线l有两个不同交点时，k的取值范围是 ， ， ， 分

设交点 ， ， ， ，

由 得 ，即 ，解得： 且 ．

分

分

或

．

21.

证明： 过B作 ，交AD于O，连接OP．

， ， 四边形OBCD是矩形， ，

， ， ．

， ．

又 平面 ， 平面 ， ， 平面 ， 平面OPB， ．

平面 平面ABCD，平面 平面 ， ， 平面ABCD．

以O为原点，以 ， ， 为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则 ， ， ， ， ， ，

假设存在点 ， ， 使得二面角 的大小为 ， 则 ， ， ， ， ， ．

． 设平面BCM的法向量为 ， ， ，则

得 ， ， ，令

平面ABCD，

， ， 为平面ABCD的一个法向量． ，

解得

．

22.

．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hio7.html